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    對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

    • 把握概念本質(zhì) 破解疑難問(wèn)題 ——以《軸對(duì)稱(chēng)的再認(rèn)識(shí)》一課為例
      的基礎(chǔ)上,用“對(duì)稱(chēng)點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離”等定量刻畫(huà)的方法來(lái)進(jìn)一步分析圖形的特點(diǎn)。在磨課的過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生有以下兩處疑難和困惑點(diǎn)。疑難點(diǎn)1:學(xué)生很難判斷平行四邊形是不是軸對(duì)稱(chēng)圖形。(這節(jié)課所討論的平行四邊形指的是一般的平行四邊形,不考慮特殊的平行四邊形)我們對(duì)全校8 個(gè)班級(jí)近400名學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)。從數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)接近的學(xué)生認(rèn)為“平行四邊形是軸對(duì)稱(chēng)圖形”,在和學(xué)生的訪(fǎng)談中發(fā)現(xiàn)學(xué)生是把平分線(xiàn)和對(duì)稱(chēng)軸混淆了,誤認(rèn)為平分線(xiàn)就是對(duì)稱(chēng)軸。疑難點(diǎn)2:學(xué)生很難體驗(yàn)到軸對(duì)稱(chēng)也是

      小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)(數(shù)學(xué)) 2023年6期2023-06-30

    • 掌握畫(huà)軸對(duì)稱(chēng)圖形另一半的方法
      學(xué)生去尋找其他對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是否也具有這樣的特征。同桌之間互相說(shuō)一說(shuō),得出結(jié)論:對(duì)稱(chēng)點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離相等,對(duì)稱(chēng)點(diǎn)間的線(xiàn)段與對(duì)稱(chēng)軸互相垂直。圖1二、運(yùn)用特征,找點(diǎn)連線(xiàn)出示圖2,根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸,畫(huà)出軸對(duì)稱(chēng)圖形的另一半。學(xué)生動(dòng)手操作,組內(nèi)交流。思考:在畫(huà)的過(guò)程中,你覺(jué)得最重要是找到什么?預(yù)設(shè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)最重要的是找到相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。追問(wèn):你是怎么找到對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的?預(yù)設(shè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A 到對(duì)稱(chēng)軸的距離為3 小格(圖3),那么對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'應(yīng)該到對(duì)稱(chēng)軸的距離也為3 小格,而且在與對(duì)稱(chēng)軸保持互相垂

      小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)(數(shù)學(xué)) 2023年5期2023-05-30

    • 動(dòng)手實(shí)踐,從感知到描述圖形運(yùn)動(dòng) ——以《軸對(duì)稱(chēng)(2)》為例
      涵?!慷?、認(rèn)識(shí)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)及其性質(zhì)1.從不對(duì)稱(chēng)變?yōu)閷?duì)稱(chēng)師:請(qǐng)你判斷一下這棵小樹(shù)是不是軸對(duì)稱(chēng)圖形?(出示圖2)圖2生:我認(rèn)為是軸對(duì)稱(chēng)圖形。生:我認(rèn)為不是軸對(duì)稱(chēng)圖形,右邊樹(shù)枝感覺(jué)沒(méi)有和左邊在一條線(xiàn)上。生:如果有一把尺子就好了。師:(出示方格紙)現(xiàn)在呢,你有什么想說(shuō)的?生:這個(gè)圖形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形。師:你能把它變成軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎?生:可以把點(diǎn)拉過(guò)來(lái)一點(diǎn)。師:是這樣嗎?(出示圖3)圖3師:(出示圖4)為什么他想把這個(gè)點(diǎn)拉到這里呢?圖4生:這樣它們對(duì)折以后就能完全重合。師:我

      小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)(數(shù)學(xué)) 2023年4期2023-05-09

    • 三角形內(nèi)接三角形周長(zhǎng)最小值及其應(yīng)用
      于AB,AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P,Q分別作C關(guān)于CD,CB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M,N,則PQ=MN.證明:PQ,MN均為則△DEF周長(zhǎng)等于PE+EF+QF的最小值,所以PQ=MN.定理3 已知三角形△ABC的三邊上的高分別為AH,BK,CR,則AHsin∠BAC=BKsin∠ABC=CRsin∠ACB.圖5證明:如圖5,由命題1知PQmin=2AHsinθ,同理MNmin=2CRsin∠ACB,由命題2知PQ=MN,∴PQmin=MNmin,∴AHsin∠BAC=CRsin∠A

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2023年3期2023-03-11

    • 幫助學(xué)生從描畫(huà)過(guò)渡到對(duì)稱(chēng)點(diǎn)作圖
      生從描畫(huà)過(guò)渡到對(duì)稱(chēng)點(diǎn)作圖。一、感知軸對(duì)稱(chēng)圖形點(diǎn)線(xiàn)面聯(lián)系1.給出等腰三角形、長(zhǎng)方形、正方形,辨識(shí)軸對(duì)稱(chēng)圖形。(1)判斷它們是否為軸對(duì)稱(chēng)圖形,指認(rèn)對(duì)稱(chēng)軸。(2)操作驗(yàn)證說(shuō)理,重點(diǎn)反饋正方形多個(gè)方向的對(duì)稱(chēng)軸。2.移一移,認(rèn)識(shí)“對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”。(1)出示小樹(shù)方格圖,判斷是否為軸對(duì)稱(chēng)圖形。圖1(2)學(xué)生上臺(tái)移動(dòng),把小樹(shù)變成軸對(duì)稱(chēng)圖形。3.聯(lián)一聯(lián),體會(huì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生從整個(gè)圖形、線(xiàn)段、點(diǎn)來(lái)觀察,討論:它們之間有什么聯(lián)系?小結(jié)指出:左右兩邊,整個(gè)圖形完全重合

      小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)(數(shù)學(xué)) 2022年6期2022-07-07

    • 理解圖形特征 發(fā)展思辨能力 ——《軸對(duì)稱(chēng)圖形》教學(xué)實(shí)錄
      教學(xué)片斷——用對(duì)稱(chēng)點(diǎn)研究軸對(duì)稱(chēng)圖形。1.明確問(wèn)題。(1)任務(wù)驅(qū)動(dòng):不對(duì)折,你能驗(yàn)證它是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎?如何驗(yàn)證?(2)提供兩份學(xué)習(xí)材料。材料一:空白紙上的圖形和三角尺。材料二:方格紙上的圖形。師:想一想,你選擇哪一個(gè)學(xué)習(xí)材料進(jìn)行研究?還有困難的,老師這里還有材料三。材料三:有對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的方格紙上的圖形。(學(xué)生獨(dú)立研究,集體交流)2.獨(dú)立研究。3.集體交流。(1)材料比較。師:你覺(jué)得材料發(fā)生了什么變化?生:我發(fā)現(xiàn)有些是有方格的,有些沒(méi)有。生:我還發(fā)現(xiàn)材料三是有點(diǎn)的

      小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)(數(shù)學(xué)) 2022年6期2022-07-07

    • 探究線(xiàn)段和最小值問(wèn)題的一般解法
      出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′,將同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)為異側(cè),利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),可以得到CB′=CB.這樣,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為: 當(dāng)C在l的什么位置時(shí),AC與CB′的和最小?圖4在連接A,B′兩定點(diǎn)的路徑中,由線(xiàn)段公理可得,線(xiàn)段AB′最短.因此,線(xiàn)段AB′與直線(xiàn)l的交點(diǎn)C的位置即為所求.【思路】①找出定點(diǎn): 點(diǎn)A,點(diǎn)B;動(dòng)點(diǎn): 點(diǎn)C(在直線(xiàn)l上運(yùn)動(dòng),則l為對(duì)稱(chēng)軸).②找出求和中的特殊線(xiàn)段(指由一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)組成的線(xiàn)段):CA,CB.③求和中含有同一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C)的兩條線(xiàn)段CA

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2022年6期2022-04-24

    • 初中數(shù)學(xué)“將軍飲馬”問(wèn)題學(xué)習(xí)障礙分析及策略
      當(dāng)中需要構(gòu)造出對(duì)稱(chēng)點(diǎn),尋找飲馬的最短距離。部分中學(xué)生在求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)不知如何入手,因此需要教師加以指導(dǎo),幫助其找到解題思路。1.初中數(shù)學(xué)“將軍飲馬”問(wèn)題學(xué)習(xí)障礙分析初中生要解決“將軍飲馬”這類(lèi)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,需要明確相關(guān)概念,包括動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)點(diǎn),其中,動(dòng)點(diǎn)就是“飲馬點(diǎn)”,定點(diǎn)就是題干當(dāng)中給定的固定點(diǎn),而對(duì)稱(chēng)點(diǎn)就是通過(guò)作圖而得到的點(diǎn),也就是解題過(guò)程需要連接的點(diǎn)。部分學(xué)生在求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí),可能存在如下困惑:第一,怎么尋找對(duì)稱(chēng)點(diǎn),做哪個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)?簡(jiǎn)單而言,就是題

      讀與寫(xiě) 2021年36期2021-12-01

    • 關(guān)于初中數(shù)學(xué)“最短路徑問(wèn)題”的歸類(lèi)
      )關(guān)于直線(xiàn)L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'(或B')連接A'B(或B'A)交L于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求。鞏固練習(xí)1:如圖,在等邊△ABC中,邊BC上的高AD=5,點(diǎn)P是高AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),E是邊AB的中點(diǎn),在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,存在PE+PB的最小值,則這個(gè)最小值是( ?)A:4 ? B:5 ? ? C:6 ? ? D:10解題思路:顯然B、E兩定點(diǎn)在AD的同旁,欲在AD上求符合條件的點(diǎn)P,只需作B點(diǎn)關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),而B(niǎo)、C關(guān)于AD對(duì)稱(chēng),因此只需連CE交AD于點(diǎn)P,所以CE就是

      科技研究 2021年21期2021-10-12

    • 探求特殊四邊形中線(xiàn)段和的最小值
      + 兩定點(diǎn),對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在形上,探求線(xiàn)段和的最小值.【解答要領(lǐng)】 確定對(duì)稱(chēng)點(diǎn):根據(jù)正方形的對(duì)稱(chēng)性,對(duì)稱(chēng)點(diǎn)就是對(duì)角線(xiàn)的兩個(gè)頂點(diǎn);確定線(xiàn)段和取最小值時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置:對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和另一定點(diǎn)的連線(xiàn)與動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)的交點(diǎn);確定與線(xiàn)段和相等的最短線(xiàn)段:對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一定點(diǎn)構(gòu)成的線(xiàn)段.例1 如圖1,正方形ABCD的面積為12,△ABE是等邊三角形,點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),在對(duì)角線(xiàn)AC上有一點(diǎn)P,使PD + PE的和最小,則這個(gè)最小值為( ).A. ?2[3] B. ?2[6] C. ?

      初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·提升版 2021年4期2021-09-10

    • 探求矩形中線(xiàn)段和的最小值
      一邊為對(duì)稱(chēng)軸,對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在形外,確定最值,用一次函數(shù)求點(diǎn)的坐標(biāo).例1 如圖1,矩形ABOC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(- 4,5),D是OB的中點(diǎn),E是OC上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△ADE的周長(zhǎng)最小時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo)為( ).A. [0,43] B. [0,53] C. (0,2) D.? [0,103]解析:如圖2,作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F,連接DF,交y軸于E,此時(shí)△ADE的周長(zhǎng)最小.∵A(- 4,5),D是OB的中點(diǎn),∴F(4,5),D( - 2,0),設(shè)直線(xiàn)DF的解析式為y

      初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·提升版 2021年5期2021-08-11

    • 例說(shuō)定點(diǎn)與定直線(xiàn)的最短路徑問(wèn)題解決策略
      后重合的點(diǎn)叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn);對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn),即對(duì)稱(chēng)點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸上的任意一點(diǎn)距離都相等?!边@是解決這類(lèi)最短路徑問(wèn)題的關(guān)鍵。下面分別對(duì)幾種定點(diǎn)與定直線(xiàn)的最短路徑問(wèn)題進(jìn)行舉例說(shuō)明。一、兩定點(diǎn)與一條定直線(xiàn)中的最短路徑例1.如圖1,已知直徑a和直線(xiàn)a外兩A、B,A、B在直線(xiàn)a兩側(cè),在直線(xiàn)a上求作一點(diǎn)P,使PA +PB最短。分析:兩定點(diǎn)A、B在直線(xiàn)a兩側(cè),過(guò)兩定點(diǎn)A、B的直線(xiàn)一定與直線(xiàn)a相交,根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短,知交點(diǎn)到兩定點(diǎn)A、B的距離的和最短

      學(xué)校教育研究 2021年13期2021-08-11

    • 初中數(shù)學(xué)中“含有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的線(xiàn)段和(差)的最值問(wèn)題”的解題策略
      (差);最值;對(duì)稱(chēng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn),線(xiàn)段和(差)的最值問(wèn)題一般含有一個(gè)或幾個(gè)動(dòng)點(diǎn),是經(jīng)典的一類(lèi)題型,也會(huì)進(jìn)一步結(jié)合后續(xù)的幾何、函數(shù)等知識(shí)考查學(xué)生,但學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀不容樂(lè)觀.在幾何問(wèn)題中,線(xiàn)段和(差)一般不是簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)算,往往需要構(gòu)造圖形“化曲為直”,最后在點(diǎn)共線(xiàn)的特殊情況下求得最值[1]. 文章從最基本的含一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的情形開(kāi)始探究,歸納此類(lèi)問(wèn)題的模型,旨在給出一個(gè)細(xì)致的思考路徑,用這個(gè)導(dǎo)火索點(diǎn)燃學(xué)生的思維. 我們需要明確,以下

      數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·初中版 2021年11期2021-03-21

    • 對(duì)一道圓錐曲線(xiàn)試題的探究與思考
      詞:圓錐曲線(xiàn);對(duì)稱(chēng)點(diǎn);定值中圖分類(lèi)號(hào):G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A ? ? ?文章編號(hào):1008-0333(2020)16-0020-03解析 本題顯然是例題2的結(jié)論的一個(gè)應(yīng)用,雖然沒(méi)有要求學(xué)生記住這些二級(jí)結(jié)論,但同學(xué)們?nèi)粽莆樟松鲜鐾评磉^(guò)程,就可以通過(guò)一般到特殊的解法很自然地得到答案.對(duì)于思維好的學(xué)生也可以通過(guò)特殊值、特殊點(diǎn)代入的方法得到正確答案. 參考文獻(xiàn):[1]王松岳.對(duì)一道高考模擬題的分析與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2018(8):24-26.

      數(shù)理化解題研究·高中版 2020年6期2020-09-10

    • 從將軍飲馬問(wèn)題談利用軸對(duì)稱(chēng)求最短距離的幾種模型
      M關(guān)于直線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M',連結(jié)M'N交直線(xiàn)m于點(diǎn)P。點(diǎn)P就是符合條件的點(diǎn)。模型2,已知:如圖3,在直線(xiàn)m同側(cè)有兩點(diǎn)M、N,在m上找一點(diǎn)P,使|PM-PN|最小。圖3 圖4 作法:如圖4,連結(jié)MN并延長(zhǎng)交直線(xiàn)m于點(diǎn)P。點(diǎn)P就是符合條件的點(diǎn)。模型3,已知:如圖5,在直線(xiàn)m同側(cè)有兩點(diǎn)M、N和線(xiàn)段a,在直線(xiàn)m上找兩點(diǎn)P、Q兩點(diǎn),使PQ=a且MQ+QP+PN最小。圖5 圖6 作法:如圖6,先將點(diǎn)N向左平移至N',使N'N=a,作N'關(guān)于m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N",連結(jié)MN"交m

      科教導(dǎo)刊 2020年21期2020-08-12

    • 依托想象 理解本質(zhì) ——《圖形的運(yùn)動(dòng)——軸對(duì)稱(chēng)》教學(xué)設(shè)計(jì)
      的。(1)發(fā)現(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離相等。生:我看到A點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離為2小格,所以右邊也找一個(gè)到對(duì)稱(chēng)軸距離為2小格的點(diǎn)。師:這樣的兩個(gè)點(diǎn)沿對(duì)稱(chēng)軸對(duì)折會(huì)怎么樣?生:完全重合。(課件演示A點(diǎn)和A'點(diǎn)沿對(duì)稱(chēng)軸對(duì)折后完全重合的樣子)師:像這樣沿對(duì)稱(chēng)軸對(duì)折后能夠完全重合的一組點(diǎn)叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn),為了研究方便,我們把這兩個(gè)點(diǎn)分別記作A點(diǎn)和A'點(diǎn)。那同學(xué)們?cè)趫D上還能找到這樣的一組對(duì)稱(chēng)點(diǎn)嗎?預(yù)設(shè):B點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離為3小格,所以右邊也找一個(gè)到對(duì)稱(chēng)軸距離為3小格的點(diǎn),記為B'點(diǎn)。

      小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)(數(shù)學(xué)) 2020年6期2020-07-08

    • 對(duì)一個(gè)幾何結(jié)論的深入研究
      關(guān)于一條直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的話(huà)題是個(gè)很重要的話(huà)題。筆者的數(shù)學(xué)老師在課堂教學(xué)中對(duì)這一問(wèn)題只針對(duì)一般情況下的求法做了詳細(xì)的解答。已知點(diǎn)P(m,n),它關(guān)于直線(xiàn)l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P′(x0,y0)。為求P′(x0,y0),可以通過(guò)直線(xiàn)PP′與直線(xiàn)l垂直、及線(xiàn)段PP′的中點(diǎn)在直線(xiàn)l上這兩個(gè)關(guān)系列出方程組;即當(dāng)A≠0時(shí),方程組就是且+C=0,解出x0、y0就可以了;當(dāng)A=0時(shí),直線(xiàn)l是平行于x軸的直線(xiàn),對(duì)稱(chēng)點(diǎn)比較顯然,是容易求的。不過(guò),老師又

      中學(xué)生數(shù)理化(高中版.高考理化) 2019年11期2019-11-30

    • 臺(tái)球桌上的秘密
      點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′,然后連接M′N(xiāo),與AB的交點(diǎn)即為D點(diǎn),如圖2。例 如圖3,點(diǎn)A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn),在∠MON的兩邊OM、ON上各取一點(diǎn)B、C,組成三角形,使三角形周長(zhǎng)最小?!舅悸方馕觥咳鐖D4,作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1、關(guān)于ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A2,連接A1A2。A1A2與OM的交點(diǎn)即為B點(diǎn),與ON的交點(diǎn)即為C點(diǎn),此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小?!咀兪接?xùn)練】如圖5,點(diǎn)P、Q是銳角∠MON內(nèi)部任意兩點(diǎn),在∠MON的兩邊OM、ON上各取一點(diǎn)B、C,組成四邊形

      初中生世界·八年級(jí) 2019年10期2019-11-25

    • 數(shù)學(xué)文化原創(chuàng)題(二)
      2關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)再連結(jié)′交直線(xiàn)l于一點(diǎn)P.則點(diǎn)P便是橢圓C與直線(xiàn)l的公共點(diǎn).詳解 將紙張沿直線(xiàn)l折疊,在l的另一側(cè)得F2關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).連結(jié)交直線(xiàn)l于點(diǎn)M,則過(guò)點(diǎn)M且以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓C與直線(xiàn)l中恰有一個(gè)公共點(diǎn),且M是C與l的唯一公共點(diǎn).圖1依據(jù)上述作圖過(guò)程可知,M是C與l的公共點(diǎn).下面說(shuō)明M是C與l的唯一的共公點(diǎn).假設(shè)它們存在異于M的另一公共點(diǎn),記為M′,則M′在直線(xiàn)l上.所以,點(diǎn)M′不在橢圓C上,這與點(diǎn)M′是C與l的公共點(diǎn)矛盾.所以,過(guò)點(diǎn)M且

      新世紀(jì)智能(數(shù)學(xué)備考) 2019年10期2019-11-25

    • 臺(tái)球桌上的秘密 ——最短路徑問(wèn)題
      點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′,然后連接M′N(xiāo),與AB的交點(diǎn)即為D點(diǎn),如圖2。圖2例 如圖3,點(diǎn)A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn),在∠MON的兩邊OM、ON上各取一點(diǎn)B、C,組成三角形,使三角形周長(zhǎng)最小。圖3 圖4【思路解析】如圖4,作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1、關(guān)于ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A2,連接A1A2。A1A2與OM的交點(diǎn)即為B點(diǎn),與ON的交點(diǎn)即為C點(diǎn),此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小?!咀兪接?xùn)練】如圖5,點(diǎn)P、Q是銳角∠MON內(nèi)部任意兩點(diǎn),在∠MON的兩邊OM、ON上各取一點(diǎn)B、

      初中生世界 2019年38期2019-11-12

    • 順向連接 逆向?qū)ΨQ(chēng) ——二次函數(shù)中線(xiàn)段“和”最小問(wèn)題
      ,但什么時(shí)候作對(duì)稱(chēng)點(diǎn),作哪個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),以哪條直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸作對(duì)稱(chēng),這讓我們的老師和同學(xué)們很困惑.本文針對(duì)幾種問(wèn)題情景談?wù)勛约旱挠^點(diǎn),與大家共勉.一、緣起問(wèn)題情景1:已知直線(xiàn)l及兩點(diǎn)A,B,在直線(xiàn)l上作一點(diǎn)P,使PA+PB最小.如圖1,點(diǎn)A,B在直線(xiàn)l兩側(cè),我們?cè)谥本€(xiàn)l上任找一點(diǎn)P,連接PA,PB,這時(shí),PA+PB可以看成路徑“A到P到B”,這個(gè)路徑穿過(guò)了直線(xiàn)l,我們稱(chēng)這種情形為順向.顯然,要使PA+PB最小,必須使點(diǎn)A,P,B在同一直線(xiàn)上,故連接AB交直線(xiàn)

      數(shù)理化解題研究 2019年14期2019-06-26

    • 線(xiàn)性代數(shù)中矩陣特征值的解析方法
      、三次多項(xiàng)式的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)概述對(duì)于三次多項(xiàng)式ax3+bx2+cx+d(a=0)如果存在某一實(shí)數(shù)x0,對(duì)任意x 都有a(x0-x)3+b(x0-x)2+c(x0-x)+a(x0+x)3+b(x0+x)2+c(x0+x)=2ax30+2bx20+2cx0成立, 就稱(chēng)x0為此三次多項(xiàng)式的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。例如, 三次多項(xiàng)式x3-3x2+2x+1, 實(shí)數(shù)1 滿(mǎn)足(1-x)3-3(1-x)2+2(1-x)+(1+x)3-3(1+x)2+2(1+x) = 2×13+2×(-3)×12

      大眾投資指南 2019年6期2019-05-15

    • 敢于放手 無(wú)問(wèn)西東
      詞] 線(xiàn)段和;對(duì)稱(chēng)點(diǎn);垂線(xiàn)段;轉(zhuǎn)化在學(xué)習(xí)完蘇科版八年級(jí)上冊(cè)第二章軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí),一天數(shù)學(xué)課代表來(lái)辦公室咨詢(xún)一個(gè)含有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)求線(xiàn)段和最小值問(wèn)題. 從學(xué)習(xí)新課到講解習(xí)題課,學(xué)生遇到的多是含一個(gè)動(dòng)點(diǎn)或者兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的線(xiàn)段和最小值問(wèn)題,像這種含三個(gè)動(dòng)點(diǎn)的線(xiàn)段和最小值問(wèn)題,對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)難度過(guò)大. 但筆者所帶的這個(gè)班級(jí)學(xué)生基礎(chǔ)較好,能力較強(qiáng),有好幾個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)十分感興趣的學(xué)生建議將此題拿到班級(jí)講解. 恰逢筆者所在學(xué)校的教研組正實(shí)施初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”教學(xué)的校本化研究,需要筆者

      數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·初中版 2019年11期2019-01-03

    • 對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的歸類(lèi)探析
      間的對(duì)稱(chēng),抓住對(duì)稱(chēng)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系,可將幾何對(duì)稱(chēng)(圖形語(yǔ)言)轉(zhuǎn)化為代數(shù)坐標(biāo)(相關(guān)點(diǎn))及方程(符號(hào)語(yǔ)言).考慮到同學(xué)們剛接觸解析幾何,我們借助例題的形式來(lái)對(duì)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單歸類(lèi),期待能給同學(xué)們一些啟示.一、點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題主要有點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)和點(diǎn)關(guān)于線(xiàn)對(duì)稱(chēng)兩類(lèi).二、直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題有直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)和直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)兩類(lèi).分析 (1)直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),顯然這兩直線(xiàn)是平行關(guān)系且已知點(diǎn)到兩直線(xiàn)的距離相等,這樣,利用待定系數(shù)法即可輕松求解;(2)直線(xiàn)關(guān)

      新高考·高一數(shù)學(xué) 2018年7期2018-12-03

    • 重觀察 抓特征 培養(yǎng)學(xué)生空間觀念
      稱(chēng)圖形有無(wú)數(shù)對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。2.會(huì)在方格紙上補(bǔ)全一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形,掌握畫(huà)圖的方法和步驟。3.讓學(xué)生在探究的過(guò)程中,發(fā)展空間觀念,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。教學(xué)重、難點(diǎn):探索軸對(duì)稱(chēng)圖形有關(guān)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的特征,能在方格紙上畫(huà)出軸對(duì)稱(chēng)圖形的另一半。教具準(zhǔn)備:多媒體課件、松樹(shù)圖案的放大圖、磁扣。學(xué)具準(zhǔn)備:學(xué)習(xí)單。教學(xué)流程:一、課前談話(huà)師:同學(xué)們,今天這堂課是老師盼望很久的一堂課,但是老師有點(diǎn)擔(dān)心,你們猜猜我會(huì)擔(dān)心什么呢?生:擔(dān)心我們回答不對(duì)問(wèn)題。生:擔(dān)心自己講不好課。師:同學(xué)們講

      黑龍江教育·小學(xué) 2018年7期2018-11-24

    • 關(guān)于直線(xiàn)y=±x+m(m≠0)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)的一種簡(jiǎn)單求法
      m(m≠0)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo).證明如圖所示,直線(xiàn)y=x+m(m≠0),方程變形為y-m=x,令y=-y′,x=x′,則將坐標(biāo)原點(diǎn)移到O′(0,m),直線(xiàn)y=x+m在新坐標(biāo)系中的方程為y′=x′,則點(diǎn)M(a,b)在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為M′(a,b-m),那么點(diǎn)M′(a,b-m)關(guān)于直線(xiàn)y′=x′對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)N的坐標(biāo)為(b-m,a),則點(diǎn)N在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)N(b-m,a+m),即點(diǎn)M(a,b)關(guān)于直線(xiàn)y=x+m(m≠0)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)N的坐標(biāo)為(b-m,a+m).同樣,可

      數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2018年11期2018-09-25

    • 例談對(duì)稱(chēng)性法
      到A關(guān)于街道的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)后,利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短,連接BA1交街道于P,此時(shí)AP+BP最短.同樣的方法找B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也是一樣的.這種方法我們可以歸納為:對(duì)稱(chēng)性法.在我們學(xué)習(xí)的過(guò)程中,這樣的問(wèn)題通常有以下的六種變式拓展:一、直接求這個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的最小值.例1、如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是BC上的一個(gè)定點(diǎn),且BE=10,EC=14,點(diǎn)P是BD上的一動(dòng)點(diǎn),則求:PE+PC的最小值.解:C關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好是點(diǎn)A,連接AE交BD于P,連接PC,此時(shí)PE+

      魅力中國(guó) 2018年8期2018-07-30

    • 《軸對(duì)稱(chēng)》教學(xué)設(shè)計(jì)與思考
      詞】數(shù)學(xué)思維 對(duì)稱(chēng)點(diǎn) 軸對(duì)稱(chēng)圖形【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】0450-9889(2018)03A-0086-02《軸對(duì)稱(chēng)》是人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容,教學(xué)時(shí),教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱(chēng)圖形及其對(duì)稱(chēng)軸,掌握軸對(duì)稱(chēng)圖形的特征和性質(zhì),通過(guò)觀察分析、想象、操作發(fā)現(xiàn)等數(shù)學(xué)活動(dòng),指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)在方格紙上補(bǔ)全軸對(duì)稱(chēng)圖形的另一半,進(jìn)而體驗(yàn)對(duì)稱(chēng)美。一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入,激發(fā)興趣1.大家還記得什么樣的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎?找出下列圖形中的軸對(duì)稱(chēng)圖形并在括號(hào)里打√,選

      廣西教育·A版 2018年3期2018-05-29

    • 對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的特殊與一般
      坐標(biāo)軸、原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn),當(dāng)我們把對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心進(jìn)行適當(dāng)平移后,這些對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)又會(huì)有什么樣的變化呢?下面,讓我們共同來(lái)研究.請(qǐng)同學(xué)們思考這樣一道題目:1.在直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-4,5),B(-5,2),C(-1,3).(1)△A0B0C0與△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).在圖1中畫(huà)出△A0B0C0,并寫(xiě)出△A0B0C0三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo);(2)觀察圖中對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,寫(xiě)出直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P(a,b)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)

      初中生世界·八年級(jí) 2018年2期2018-02-26

    • 巧用軸對(duì)稱(chēng)解決最短路線(xiàn)問(wèn)題
      )關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′(或B′),連接A′B(或AB′)交直線(xiàn)l于點(diǎn)P,連接AP,其最短路線(xiàn)為A-P-B.第二,模型應(yīng)用.1.軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)解決四邊形中的最短路線(xiàn)問(wèn)題變式1:如圖2,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),BE=2,AE=3BE.P是AC上一動(dòng)點(diǎn),則PB+PE的最小值是多少?分析:利用點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D進(jìn)行求解.解:如圖2,連接DE交AC于點(diǎn)P,此時(shí)PB+PE的值最小.由軸對(duì)稱(chēng)得PB+PE=DE.在Rt△DAE中,AE=2,BE=6,AD=

      中學(xué)生數(shù)理化·教與學(xué) 2018年1期2018-01-19

    • 父親的帽子
      人間的一系列“對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”:其一是父親“沖我揮手”與“樹(shù)冠巨大的濃蔭”的對(duì)稱(chēng)點(diǎn);其二是父親“漁夫帽、禮帽、太陽(yáng)帽”與“不同盈缺的月亮”對(duì)稱(chēng)點(diǎn);其三是父親“帶著帽子”與“走進(jìn)了帽子”對(duì)稱(chēng)點(diǎn);其四是父親“醒目的銀發(fā)在空中”與“新生的父親”對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。很顯然,一首懷念詩(shī),有一個(gè)個(gè)“對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”,我們就能把詩(shī)歌的雛形、情緒的擴(kuò)張、感情的境像、節(jié)奏的鏗鏹,以及于我們心靈所激發(fā)的影響等等,都聚集在這個(gè)“點(diǎn)”上。這時(shí),我們把《父親的帽子》的內(nèi)容或意旨,把不同的幻象、各種的情緒、智識(shí)

      江南詩(shī) 2017年6期2018-01-15

    • 空間直角坐標(biāo)系學(xué)習(xí)指導(dǎo)
      個(gè)坐標(biāo)。二、求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)例2 在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,點(diǎn)P(—2,l,4)。(l)求點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)。(2)求點(diǎn)P關(guān)于xOy平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)。(3)求點(diǎn)P 關(guān)于點(diǎn)M(2,—l,—4)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)。分析:求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo),可以過(guò)該點(diǎn)向?qū)ΨQ(chēng)平面或?qū)ΨQ(chēng)軸作垂線(xiàn)并延長(zhǎng)使得垂足為所作線(xiàn)段的中點(diǎn),再根據(jù)有關(guān)性質(zhì)即可寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)。解:(l)由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),它在x軸的分量不變,在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù),所以點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Pl(

      中學(xué)生數(shù)理化·高一版 2017年12期2018-01-11

    • 直線(xiàn)方程中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題分類(lèi)解析
      點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B(—a,2a—6)在l2上,代入l2的方程得—a—3(2a—6)+l0=0,解得a=4,即得點(diǎn)A(4,0)在直線(xiàn)l上。所以由兩點(diǎn)式可得直線(xiàn)l的方程為x+4y—4=0。評(píng)注:若點(diǎn) M(xl,yl)與N(x,y)關(guān)于點(diǎn)P(a,b)對(duì)稱(chēng),則點(diǎn)P是線(xiàn)段MN 的中點(diǎn)。二、點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題例 2 已知直線(xiàn)l:2x—3y+l=0,點(diǎn)A(—l,—2),求點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)。解:設(shè)A′(x,y)。由已知條件可得方程組:評(píng)注:若兩點(diǎn) P

      中學(xué)生數(shù)理化·高一版 2017年12期2018-01-11

    • 源于課本的“點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)”的探究
      關(guān)于某定直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)問(wèn)題,比較常規(guī)的解法是利用該直線(xiàn)就是這兩點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn),借助“互相垂直關(guān)系”與“距離相等關(guān)系”列方程組解題,而“距離相等關(guān)系”又可轉(zhuǎn)化成“中點(diǎn)在直線(xiàn)上”的問(wèn)題。在求“點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)”的問(wèn)題上,還有其他更加簡(jiǎn)便的方法嗎?我們不妨從一個(gè)簡(jiǎn)單的例題出發(fā)去剝開(kāi)“點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”的內(nèi)在本質(zhì)。例如:求點(diǎn)M(2,1)關(guān)于直線(xiàn)l:x-y+1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N。方法1:(常規(guī)法)不妨設(shè)N(x1,y1),則M、N中點(diǎn)P(■,■),故■-■+1=0■

      中學(xué)課程輔導(dǎo)·教學(xué)研究 2017年19期2017-09-22

    • 三次多項(xiàng)式的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)及其應(yīng)用 ——從廣州一模的一道選擇題談起
      芬三次多項(xiàng)式的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)及其應(yīng)用 ——從廣州一模的一道選擇題談起華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 尹淑芬處理這道題的關(guān)鍵一步是要找到這個(gè)三次函數(shù)所對(duì)應(yīng)的三次多項(xiàng)式的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),接著利用三次多項(xiàng)式對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的定義與性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.其實(shí)三次多項(xiàng)式的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在高中解題中有比較大的應(yīng)用.因此筆者就寫(xiě)下本文了.筆者將在本文先證明三次多項(xiàng)式ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的存在性,接著給出三次多項(xiàng)式關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的性質(zhì),最后舉例說(shuō)明這些性質(zhì)在解題中的應(yīng)用.三次多項(xiàng)式的對(duì)

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2017年9期2017-06-15

    • 軸對(duì)稱(chēng)研究與解題中的應(yīng)用
      特點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸,對(duì)稱(chēng)點(diǎn),對(duì)稱(chēng)圖形關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系,本文又提供軸對(duì)稱(chēng)必要掌握的基本技能,本文第三部分舉實(shí)例說(shuō)明對(duì)稱(chēng)思想在解題中的應(yīng)用.對(duì)稱(chēng)軸;對(duì)稱(chēng)圖形;對(duì)稱(chēng)點(diǎn);最值問(wèn)題一、基礎(chǔ)知識(shí)要點(diǎn)軸對(duì)稱(chēng)圖形:將一個(gè)圖形沿著某一條直線(xiàn)翻折,如果直線(xiàn)兩旁的部分能夠重合,那么這樣的圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形.兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng):平面上的兩個(gè)圖形,將其中一個(gè)圖形沿著某一條直線(xiàn)翻折過(guò)去,如果它能夠與另一個(gè)圖形重合,那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).這條直線(xiàn)就是對(duì)稱(chēng)軸.對(duì)稱(chēng)點(diǎn):兩個(gè)關(guān)

      數(shù)理化解題研究 2017年11期2017-05-12

    • 淺談高中平面幾何中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題
      的點(diǎn)在以點(diǎn)A為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)下所圍成的圖形.解如果按照一般的思路,應(yīng)進(jìn)行設(shè)點(diǎn)然后建立方程并求解,根據(jù)解來(lái)分析點(diǎn)滿(mǎn)足的曲線(xiàn).但是,通過(guò)觀察我們發(fā)現(xiàn)與點(diǎn)A的距離等于2的右上方的點(diǎn)是一個(gè)扇形,所以該圖形實(shí)際是四分之一的扇形關(guān)于圓心(5,8)的對(duì)稱(chēng)圖形.例2已知長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),一質(zhì)點(diǎn)從與AB夾角為θ的方向射到BC的中點(diǎn)P1后,依次反射到CD,DA和AB上的點(diǎn)P2,P3和P4(入射角等于反射角).若P4的坐標(biāo)為(x4,

      數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2017年1期2017-03-27

    • 一個(gè)定值問(wèn)題的推廣
      點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N.若直線(xiàn)MP、NP分別交x軸于點(diǎn)(m,0)和(n,0),問(wèn)mn是否為定值?若是,請(qǐng)求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.故圓O的方程為x2+y2=2.(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為即 bx+ay-ab=0.由直線(xiàn)l與圓O相切,得當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)直線(xiàn)l的方程為x+y-2=0.(3)設(shè)M(x1,y1),P(x2,y2),則N(x1,-y1),x21+y21=2,x22+y22=2.故mn=2為定值.推廣1能否推廣到一般的圓呢?推廣到

      高中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2016年20期2016-12-30

    • 巧用對(duì)稱(chēng)妙構(gòu)等腰
      行變換,點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E必落在B C上,連接A E,則△A B E為等腰三角形,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)使問(wèn)題迎刃而解.解:因?yàn)锳 D⊥B C,以A D為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行變換,點(diǎn)E為點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).連接A E,則△A B E為等腰三角形,所以∠A E B=∠B=2∠C,且D B=D E.因?yàn)椤螦 E B=∠C+∠C A E,而∠A E B=2∠C,所以∠C=∠C A E,從而A E=C E.因此A B=A E=E C所以A B+B D=E C+D E=D C.二、圖形含

      初中生天地 2016年29期2016-12-02

    • 感受“軸對(duì)稱(chēng)”的洪荒之力
      點(diǎn)A作關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′,連接A′B,與l相交于C,則C點(diǎn)就是飲馬的地方,經(jīng)過(guò)C點(diǎn)走,行走路程最短,為AC+CB=A′C+CB= A′B的長(zhǎng)度.如果將軍在點(diǎn)C外任一點(diǎn)C′處飲馬,所走的路程就是AC′+C′B,連接A′C′,由于AC′+ C′B=A′C′+C′B>A′B.可見(jiàn),在C點(diǎn)外任何一點(diǎn)C′處飲馬,所走的路程都要遠(yuǎn)一些.這里有兩點(diǎn)需要說(shuō)明:(1)由作法可知,河流l相當(dāng)于線(xiàn)段AA′的中垂線(xiàn),所以AC=A′C,AC′=A′C′,理論依據(jù)為“線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上

      初中生世界 2016年38期2016-11-12

    • 化折為直,巧解最值
      )關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′(或B′),連接A′ B(或B′ A)與直線(xiàn)l的交點(diǎn)即為所求。圖1 例1 (2)如圖2,在等邊?ABC中,D為BC 中點(diǎn),P為AC上任意一點(diǎn),求PB+PD最小值。注:例1屬“兩個(gè)定點(diǎn)+一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”類(lèi)問(wèn)題,且兩個(gè)定點(diǎn)都在動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn)的同側(cè),解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí),常需利用圖形的軸對(duì)稱(chēng)性,將其中一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行軸對(duì)稱(chēng)變換(對(duì)稱(chēng)軸即為動(dòng)點(diǎn)所在直線(xiàn))到直線(xiàn)另一側(cè),由“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”,連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一點(diǎn)形成線(xiàn)段即為線(xiàn)段和的最小值。二、兩動(dòng)一定解析:可先

      人間 2016年21期2016-08-15

    • 平面內(nèi)可相交直線(xiàn)序列的遍歷算法研究
      位置關(guān)系算法、對(duì)稱(chēng)點(diǎn)算法、凸包算法等。同對(duì)上述計(jì)算方法進(jìn)行研究和推導(dǎo),最終得出結(jié)論。關(guān)鍵詞:對(duì)稱(chēng)點(diǎn);相交直線(xiàn);科學(xué)算法自20世紀(jì)70年代,由于空間區(qū)域研究的需要,幾何學(xué)誕生。幾何學(xué)最早是由歐洲數(shù)學(xué)家歐幾里得創(chuàng)造的,幾何最早是用來(lái)丈量土地。在現(xiàn)代,幾何學(xué)普遍應(yīng)用于交通路線(xiàn)圖的規(guī)劃、網(wǎng)絡(luò)大數(shù)據(jù)分析、旅行路線(xiàn)安排、GPS導(dǎo)航等領(lǐng)域。通過(guò)對(duì)大數(shù)據(jù)信息的分析,算出路程的最短距離,其核心是解ESP問(wèn)題。在現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中最短路程問(wèn)題隨處可見(jiàn),例如,一個(gè)學(xué)生上課、吃飯?jiān)俚綄?/div>

      無(wú)線(xiàn)互聯(lián)科技 2016年9期2016-06-21

    • 關(guān)于點(diǎn)、直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題
      點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C,即可根據(jù)點(diǎn)B是A、C兩點(diǎn)的中點(diǎn),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出。例1求出點(diǎn)A(1,3)關(guān)于點(diǎn)B(-3,2)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C解設(shè)點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C(x0,y0),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得故對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-7,1)二、點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)求點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),用垂直、平分兩條件列方程組求解較簡(jiǎn)單。設(shè)點(diǎn)P1(x1,y1)關(guān)于直線(xiàn)l:Ax+By+C=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P2(x2,y2),P1P2的中點(diǎn)P0(x0,y0),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用x,y表示x0

      新教育時(shí)代電子雜志(學(xué)生版) 2015年30期2015-11-11

    • 利用對(duì)稱(chēng)求函數(shù)的解析式
      y)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(x,-y)。2.點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(一x,y)。3.點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線(xiàn)x=a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(2a-x,y)。4.點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線(xiàn)y=a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(x,2a-y)。5.點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(y,x)。6.點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線(xiàn)y=x+b的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(y-b,x+b)。例1 設(shè)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng),若當(dāng)x≤1時(shí),,則當(dāng)x>1時(shí),f(x)=____。解析:設(shè)(x,y)(x>l)是x>1時(shí)f(x)的

      中學(xué)生數(shù)理化·高三版 2015年7期2015-07-06

    • 念好三字經(jīng)解題有保證
      定點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn),與這條直線(xiàn)的交點(diǎn)即為所求作的動(dòng)點(diǎn),利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)把兩條線(xiàn)段之和轉(zhuǎn)化為一條線(xiàn)段.后來(lái)將其細(xì)化為“三環(huán)節(jié)”進(jìn)行,學(xué)生掌握得可以,也收到了不錯(cuò)的教學(xué)效果.這三個(gè)“環(huán)節(jié)”是:①“作”.即作出其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn);②“找”.即把這個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和另一個(gè)已知定點(diǎn)連接起來(lái),與直線(xiàn)相交于一點(diǎn),當(dāng)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)到與這個(gè)交點(diǎn)重合時(shí),根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線(xiàn)段最短.”可知此時(shí)的兩線(xiàn)段和最小,即利用轉(zhuǎn)化思想,把兩條線(xiàn)段和的最小值轉(zhuǎn)化為一條線(xiàn)段

      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2015年2期2015-05-06

    • 淺談點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)的運(yùn)用
      3y-6=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)。解:設(shè)A(1,3)關(guān)于L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A'(x0,y0),則AA'的中點(diǎn)為M,又因M在直線(xiàn)L上,所以點(diǎn)A(1,3)關(guān)于直線(xiàn)L:2x-3y-6=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,-3)。另解:設(shè)A(1,3)關(guān)于L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A'(x0,y0),因?yàn)锳A'⊥L,所以直線(xiàn)AA'的斜率所以點(diǎn)A(1,3)關(guān)于直線(xiàn)L:2x-3y -6=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,-3)。這兩種解題方法,雖然過(guò)程方法有所不同,但實(shí)質(zhì)都基于軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的一個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn),即:點(diǎn)A′是

      中國(guó)科技縱橫 2014年1期2014-12-07

    • 幾何對(duì)稱(chēng)法在求取某些區(qū)域格林函數(shù)中的應(yīng)用
      點(diǎn)M關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為鏡像對(duì)稱(chēng)點(diǎn),如M(x0,y0,z0)關(guān)于平面z=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M(x0,y0,-z0).設(shè)點(diǎn)P關(guān)于平面Ax+By+Cz=-D的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M1(x1,y1,z1),則有[5]x1=-2A(Ax0+By0+Cz0+D)+x0,y1=-2B(Ax0+By0+Cz0+D)+y0,z1=-2C(Ax0+By0+Cz0+D)+z0.2.2 球對(duì)稱(chēng)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)指以一個(gè)特定的球面為基礎(chǔ),球心O為中心, 球半徑為常數(shù)k,點(diǎn)P和對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′滿(mǎn)足OP·OP′=k2

      大學(xué)數(shù)學(xué) 2014年2期2014-09-19

    • 對(duì)稱(chēng)點(diǎn)偶的基圓方程及其性質(zhì)*1
      657000)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)偶的基圓方程及其性質(zhì)*1張建元,張毅敏,胡曉飛,韓 艷(昭通學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,云南 昭通 657000)給出了以2定點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)偶的基圓方程(即表達(dá)式),利用它研究了基圓的一些性質(zhì),得到對(duì)稱(chēng)點(diǎn)偶的基圓唯一存在的條件.在幾何變換方面解決了關(guān)于圓周的反演變換的一個(gè)逆問(wèn)題,即給定對(duì)稱(chēng)點(diǎn)偶及半徑等條件求基圓.對(duì)稱(chēng)點(diǎn);基圓;反演變換;比值;方程;分布;性質(zhì);唯一性在文獻(xiàn)[1-7]中,給出了“2定點(diǎn)關(guān)于圓周對(duì)稱(chēng)”的概念以及“到2定點(diǎn)的距離之比等于常

      吉首大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版) 2014年4期2014-09-06

    • 高中數(shù)學(xué)解析幾何中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題
      .一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是大家比較常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題,也是最簡(jiǎn)單的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可以通過(guò)坐標(biāo)系得出,關(guān)于一般點(diǎn)對(duì)稱(chēng)我們可采用中點(diǎn)公式求出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo).例1設(shè)點(diǎn)M(2,4),求點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P(-1,2)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)N的坐標(biāo).分析P點(diǎn)不是坐標(biāo)原點(diǎn),要求出N點(diǎn)坐標(biāo)必須利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式.解設(shè)點(diǎn)N(x,y),點(diǎn)M(2,4),點(diǎn)P(-1,2),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得N(-4,0).二、直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)通常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).在直線(xiàn)上取出兩個(gè)特殊點(diǎn),然后求出兩

      理科考試研究·高中 2014年7期2014-07-22

    • 八年級(jí)數(shù)學(xué)檢測(cè)題
      4)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是( )A.(3, 4) B.(-3,-4) C.(-3, 4) D.(-4,3)3.下列命題中,正確的是( )A.三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B.周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等C.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D.面積相等的兩個(gè)三角形全等4.如圖1,AD是△ABC的角平分線(xiàn),從點(diǎn)D向AB、AC兩邊作垂線(xiàn)段,垂足分別為E、F,那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )A.DE=DF B.AE=AFC.BD=CD D.∠ADE=∠ADF5.下列各式從

      初中生之友·中旬刊 2014年2期2014-04-02

    • “軸對(duì)稱(chēng)圖形”學(xué)法導(dǎo)航
      直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).如果兩個(gè)點(diǎn)是以某一條直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),那么這條直線(xiàn)就是連接這兩點(diǎn)的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn).反過(guò)來(lái),如果直線(xiàn)MN是線(xiàn)段AA'的垂直平分線(xiàn),則OA=OA',∠AOM=∠A'OM=90°,沿著直線(xiàn)MN對(duì)折,∠AOM和∠A' OM重合,線(xiàn)段OA和OA'重合,從而點(diǎn)A和A'重合,則點(diǎn)A和A'是以直線(xiàn)MN為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),于是得到:一條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)是以這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).由此可以得出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的作法,要作出點(diǎn) A以直線(xiàn)MN為對(duì)稱(chēng)軸的

      語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)·上旬 2013年10期2013-11-22

    • 解析幾何中對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)與探索
      .一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是大家比較常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題,也是最簡(jiǎn)單的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可以通過(guò)坐標(biāo)系得出,關(guān)于一般點(diǎn)對(duì)稱(chēng)我們可采用中點(diǎn)公式求出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo).例1 設(shè)點(diǎn)M(2,4),求點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P(-1,2)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)N的坐標(biāo).分析:P點(diǎn)不是坐標(biāo)原點(diǎn),要求出N點(diǎn)坐標(biāo)必須利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式.若M(x1,x2),P(x0,y0),則N(2x0-x1,2y0-y1).解:點(diǎn)M(2,4),點(diǎn)P(-1,2),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得N(-4,0).二、直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)

      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年1期2012-08-25

    • 點(diǎn)線(xiàn)對(duì)稱(chēng)常見(jiàn)問(wèn)題舉例
      A點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。解:設(shè)A點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x、y)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得:5=1+x2-3=2+y2∴x=9y=-8∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(9、-8)2 點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于線(xiàn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題例:已知點(diǎn)P(1、-2),直線(xiàn)L:3x-2y+1=0。求點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。分析:事實(shí)上直線(xiàn)L是點(diǎn)P與對(duì)點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的中垂線(xiàn),解題時(shí)抓住中點(diǎn)在直線(xiàn)上,和直線(xiàn)L和線(xiàn)段垂直即可解答。解:設(shè)點(diǎn)P關(guān)于L對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P1(x、y)根據(jù)題意得:y+2x-1=-233xy+12-2×-2+y2+

      現(xiàn)代教育教學(xué)研究 2009年3期2009-03-05

    • 臺(tái)球桌上的軸對(duì)稱(chēng)變換
      B關(guān)于上邊庫(kù)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B1,只要對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)球B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B1,也就是對(duì)準(zhǔn)AB1與上邊庫(kù)的交點(diǎn)C擊打主球A,就能實(shí)現(xiàn)一庫(kù)解球了.2. 二庫(kù)解球在臺(tái)球運(yùn)動(dòng)中,當(dāng)障礙球較多時(shí),經(jīng)常遇到一庫(kù)不能解球的局面,這時(shí)就要用二庫(kù)進(jìn)行解球.由于臺(tái)球桌上各種形勢(shì)都會(huì)出現(xiàn),所以視情況的不同會(huì)采用以下兩種二庫(kù)解球方法.(1)相鄰二庫(kù)解球.如圖2,主球A要通過(guò)上邊庫(kù)和右邊庫(kù)擊中目標(biāo)球B,可對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)球B的二次對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B2,擊打主球A,就能實(shí)現(xiàn)二庫(kù)解球.其中B和B1關(guān)于右邊庫(kù)對(duì)稱(chēng),B1和B2關(guān)

      中學(xué)生數(shù)理化·八年級(jí)數(shù)學(xué)人教版 2008年7期2008-09-27

    • 平面直角坐標(biāo)系考點(diǎn)例析
      三、求已知點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)例3如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,A(- 1,5),B(- 3,0),C(- 4,3).(1)在圖中作出△ABC關(guān)于y軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形△A′B′C′.(2)寫(xiě)出點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′的坐標(biāo).解析:(1)如圖2,先作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′、B′、C′,然后連接A′B′、B′C′、C′A′,△A′B′C′即為所求作的三角形.(2)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)相同,所以點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(4,3). 四、根據(jù)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

      中學(xué)生數(shù)理化·八年級(jí)數(shù)學(xué)華師大版 2008年1期2008-08-19

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