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    念好三字經(jīng)解題有保證

    2015-05-06 16:21:55陳國玉
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2015年2期
    關(guān)鍵詞:對稱點(diǎn)圓心角動點(diǎn)

    模擬試題中經(jīng)常會遇到“兩條線段和最小”這類問題.筆者在教學(xué)中,指導(dǎo)學(xué)生解決這一傳統(tǒng)問題時(shí),總結(jié)出的解題方法是,作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),連接對稱點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn),與這條直線的交點(diǎn)即為所求作的動點(diǎn),利用軸對稱的性質(zhì)把兩條線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段.后來將其細(xì)化為“三環(huán)節(jié)”進(jìn)行,學(xué)生掌握得可以,也收到了不錯(cuò)的教學(xué)效果.這三個(gè)“環(huán)節(jié)”是:①“作”.即作出其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn);②“找”.即把這個(gè)對稱點(diǎn)和另一個(gè)已知定點(diǎn)連接起來,與直線相交于一點(diǎn),當(dāng)動點(diǎn)移動到與這個(gè)交點(diǎn)重合時(shí),根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短.”可知此時(shí)的兩線段和最小,即利用轉(zhuǎn)化思想,把兩條線段和的最小值轉(zhuǎn)化為一條線段的長;③“求”.即利用勾股定理求出這條線段的長,即為兩條線段和的最小值.下面通過幾例,說說用這“三環(huán)節(jié)”解決這類問題的具體步驟,供參考.例1如圖1,已知CA⊥AB,DB⊥AB,AC=1cm,BD=2cm,AB=4cm.現(xiàn)有一個(gè)動點(diǎn)P,從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到何處時(shí)PC+PD最小?并求出這個(gè)最小值.

    指導(dǎo)解法如下:

    第一環(huán)節(jié):作已知點(diǎn)C關(guān)于AB所在直線的對稱點(diǎn)C′(如圖1);

    第二環(huán)節(jié):連結(jié)C′D,交AB于點(diǎn)P′.

    因?yàn)锳B是CC′的垂直平分線,所以P′C′=P′C,因此當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到和點(diǎn)P′重合時(shí),根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短.”可知PC+PD最小,它的最小值就是線段C′D的長.

    第三環(huán)節(jié):作C′E∥AB,與DB延長線交于點(diǎn)E.因?yàn)镃A⊥AB,DB⊥AB,所以四邊形AC′EB為矩形,所以C′E=AB=4,BE=AC′=AC=1,DE=2+1=3,在Rt△DEC′中,C′D=C′E2+DE2=42+32=5,所以C′D=C′P′+P′D=5,即PC+PD的最小值為5cm.

    例2如圖2,AB是半徑為1的⊙O的直徑,點(diǎn)M在⊙O上,∠MAB=30°,N為弧MB的中點(diǎn),點(diǎn)P是直徑AB上一個(gè)動點(diǎn),求PM+PN的最小值是多少?

    指導(dǎo)解法如下:

    ①作點(diǎn)N關(guān)于直徑AB的對稱點(diǎn)N′,由垂徑定理可知,點(diǎn)N′也在⊙O上;

    ②連接MN′交AB于點(diǎn)P′,當(dāng)動點(diǎn)P移動到與P′點(diǎn)重合時(shí)PM+PN的值最小,即是線段MN′的長.

    ③連接OM、ON′,因?yàn)閳A周角∠MAB=30°,所以圓心角∠BOM=60°,

    又因?yàn)镸N=NB=BN′,所以它們所對的圓心角都為30°,即∠BON′=30°,所以∠MON′=90°.

    在Rt△MON′中,MN′=12+12=2,即PM+PN的最小值為2.

    例3如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上,頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,3),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(12,0),點(diǎn)P為斜邊OB上的一動點(diǎn),則PA+PC的最小值是多少?

    指導(dǎo)解法如下:如圖4,

    第一步:作A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D;

    第二步:連接CD交OB于P,連接AP,則此時(shí)PA+PC的值最小,因?yàn)镈P=PA,所以PA+PC=PD+PC=CD,PA+PC的最小值為線段CD的長.

    第三步:作DN⊥OA于N,因?yàn)锽(3,3),所以在Rt△OAB中,AB=3,OA=3,∠B=60°,∠BOA=30°.由勾股定理得OB=23,在Rt△OAM中,因?yàn)椤螧OA=30°,所以AM=12OA=32,所以AD=2×32=3.在Rt△OAM中,因?yàn)椤螧OA=30°,所以∠OAM=60°.因?yàn)镈N⊥OA,所以∠NDA=30°,所以AN=12AD=32,由勾股定理得:DN=332,又因?yàn)镃(12,0),所以CN=AO-AN-OC=3-32-12=1,在Rt△DNC中,由勾股定理得:DC=CN2+DN2=12+(332)2=312,即PA+PC的最小值是312.

    作者簡介陳國玉,男,中學(xué)高級教師.涼州區(qū)骨干教師、“教學(xué)能手”、“教科研先進(jìn)個(gè)人”,多次榮獲學(xué)?!皟?yōu)秀教師”、“優(yōu)秀班主任”稱號.有100多篇論文在國家、省市級期刊上發(fā)表.

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