線性代數(shù)中矩陣特征值的解析方法

朱韜

（安徽新華學(xué)院國際教育學(xué)院，安徽 合肥 230088）

一、三次多項式的對稱點概述

對于三次多項式ax3+bx2+cx+d(a=0)如果存在某一實數(shù)x0,對任意x 都有a(x0-x)3+b(x0-x)2+c(x0-x)+a(x0+x)3+b(x0+x)2+c(x0+x)=2ax30+2bx20+2cx0成立, 就稱x0為此三次多項式的對稱點。例如, 三次多項式x3-3x2+2x+1, 實數(shù)1 滿足(1-x)3-3(1-x)2+2(1-x)+(1+x)3-3(1+x)2+2(1+x) = 2×13+2×(-3)×12+2×1×1,那么實數(shù)1 就是三次多項式x3 - 3x2 + 2x + 1 的對稱點.附注如果實數(shù)x0 是三次多項式的對稱點, 那么有ax3 + bx2 + cx + a(2x0 - x)3 + b(2x0 - x)2 + c(2x0 - x)=2ax30+ 2bx20+ 2cx0只需要把a(bǔ)(x0-x)3+b(x0-x)2+c(x0-x)+a(x0+x)3+b(x0 + x)2 + c(x0 +x) = 2ax30+ 2bx20+ 2cx0 中的x 換為x0-x 即可證明.

二、三次多項式的對稱點性質(zhì)分析

性質(zhì)一三次多項式ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) 的對稱點- b3a是三次函數(shù)f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) 二階導(dǎo)數(shù)f′′(x) = 6ax + 2b 的零點.

性質(zhì)二三次多項式ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) 的對稱點是三次函數(shù)f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) 一階導(dǎo)數(shù)f′(x) = 3ax2 + 2bx + c 的對稱軸x = - b3a.

性質(zhì)三若三次函數(shù)f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a =0) 有兩個極值點, 分別為x1, x2, 那么有x1 + x22=- b3a,f(x1) + f(x2)2= f(x1 + x22).

三、三次多項式的對稱點的存在性

證明1 假設(shè)ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) 那么對于任何一個變量x, 都有a(x0 - x)3 + b(x0 - x)2 + c(x0 - x) +a(x0 + x)3 + b(x0 + x)2 + c(x0 + x) = 2ax30+ 2bx20+ 2cx0,經(jīng)過整理化簡得x0 = - b3a.因此可以知道任何一個三次多項式ax3 + bx2 + cx +d (a = 0) 存在唯一對稱點- b3a.證明2 a(0 - x)3 + c(0 - x) + a(0 + x)3 + c(0 + x) =2a×03 +2c×0, 因此三次多項式ax3 +bx2 +cx+d (a = 0)在b = 0 時, 也就是缺少二次項時, 有唯一對稱點0. 在解一元三次方程ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a = 0) 的時候, 是采用差根變換, 各根減去- b3a, 可得缺二次項的三次方程(未知元用x′表示, 即x′= x - b3a):

ax′3 + apx′+ aq = 0,其中p =3ac - b23a2 , q =2b3 - 9abc + 27a2d27a3 . ax′3 + apx′+aq 有唯一對稱點0. 那么ax3+ bx2+ cx + d = 0 (a -= 0) 有唯一對稱點- b3a.

證明3 三次函數(shù)的對稱中心的橫坐標(biāo)就是三次函數(shù)所對應(yīng)的三次多項式的對稱點, 觀察三次多項式ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) 所對應(yīng)的三次函數(shù)f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) 的圖像, 可以知道函數(shù)圖像在對稱中心左右兩邊的凹凸性是相反的, 如果a ＞ 0, 函數(shù)在對稱中心的左邊是凸函數(shù), 在x自變量不斷變大時，會導(dǎo)致切線斜率變小，對三次函數(shù)進(jìn)行二階求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)＜0；而對稱中心右側(cè)為凹函數(shù)，x自變量變大時，會導(dǎo)致切線斜率隨之變大，對三次函數(shù)進(jìn)行二階求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)＞0；如果a ＜ 0, 函數(shù)在對稱中心的左邊是凹函數(shù), 隨著自變量x 增大, 切線的斜率增大, 三次函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)＞0, 而在對稱中心右側(cè)為凸函數(shù)，在x自變量不斷變大的過程中，會導(dǎo)致切線斜率不斷變小，對三次函數(shù)進(jìn)行二階求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)f′′(x)＜0[1]。由此可以得知，對稱中心下的三次函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)位置為零，所以三次多項式ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) 的對稱點可以求出三次函數(shù)f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) 的二階導(dǎo)數(shù)f′′(x) 零點，其即為多項式對稱點所在。綜上所述，能夠明確對于所有三次多項式來說，ax3 +bx2 +cx + d (a = 0) 存在唯一對稱點-b3a.

四、三次多項式的因式分解U 型方法

對A=2－2 0－2 1－2 0－2 1 0 進(jìn)行特征值計算時，得|A-λE|=2-λ-20－21－λ－20－2－λ，整理-λ3+3λ2+6λ-8=0。對該三次多項式借助U 型法進(jìn)行分解，-1，3，6，-8四個系數(shù)為一行，找到乘積是-8×-1的數(shù)字，包括-1、-8和- 2、- 4等，該題中為1、8及- 2、- 4。若選- 2 ，- 4 這一組。- 2 放在3 下面，- 4 放在6 下面，然后3 減去-2 等于5，6 減去- 4 等于10，選- 2 ，- 4 這一組， 就是要滿足-1-2=510=-4-8現(xiàn)在我們把式子寫出來我們可以用筆依次連接- 1，- 2，5 ，10 . -4 ，-8 ，表示為U形[3]。借此轉(zhuǎn)化多項式，可得3λ2和6λ為- 2λ2 + 5λ2和10λ- 4λ，由此得到-λ3-2λ2+5λ2+10λ-4λ-8=0下面分組(-λ3-2λ2)+(5λ2+10λ)-(4λ+8)=0每組提公因子得-2λ(λ+2)+5λ(λ+2)-4(λ+2)=0， 再提公因子得-(λ+2)(λ2+5λ-4)=0后面再對二次多項式用十字相乘法因式分解得-(λ+2)(λ-1)(λ-4)=得到特征值λ1=-2,λ2=1,λ3=4。對于乘積是-8×-1的數(shù)字，若選擇的是2、4，則3之下為2，6下為4，3-2=1，6-4=2，按U 型