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    提煉基本圖形巧解最值問題

    2015-05-06 16:29:10姜黃飛沈順良
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2015年2期
    關(guān)鍵詞:對稱軸拋物線頂點(diǎn)

    姜黃飛 沈順良

    1提煉基本圖形

    二次函數(shù)的最值問題、增減性問題是歷年中考的熱點(diǎn)問題,也是中考試題卷上的難點(diǎn)問題,在一定區(qū)間內(nèi)的函數(shù)最值問題更是學(xué)生的易錯點(diǎn).筆者在教學(xué)中研究發(fā)現(xiàn),有關(guān)上述問題都只需要關(guān)注拋物線的開口方向和對稱軸的位置,所以我們可以將二次函數(shù)的圖像從直角坐標(biāo)系中剝離出來,提煉出下面兩種基本圖形,利用兩種基本圖形,在圖中找出自變量對應(yīng)的圖像區(qū)間從而解決相關(guān)的最值等問題.

    基本圖形1基本圖形22兩種基本圖形的適用范圍和優(yōu)勢

    兩種基本圖形適用于二次函數(shù)的最值問題、增減性問題,它不關(guān)注拋物線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn),只需畫出拋物線的對稱軸和開口方向,這使得畫基本圖形非常簡便,尤其是含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題,只要畫好對稱軸的位置,討論區(qū)間與對稱軸的位置關(guān)系就可以了.還有在解決實際應(yīng)用問題中的最值問題時,不管自變量區(qū)間包不包含頂點(diǎn),都可以借助基本圖形數(shù)形結(jié)合的加以解決,避免錯誤的發(fā)生.下面從幾個中考實例加以說明.

    3基本圖形的應(yīng)用

    3.1已知函數(shù)值的大小關(guān)系,求頂點(diǎn)自變量的范圍

    例1(2013年陜西)已知兩點(diǎn)A(-5,y1),B(3,y2)均在拋物線y=ax2+bx+ca≠0上,點(diǎn)Cx0,y0是該拋物線的頂點(diǎn).若y1>y2≥y0,則x0的取值范圍是().

    A.x0>-5B.x0>-1

    C.-5

    思維導(dǎo)引已知Cx0,y0是拋物線的頂點(diǎn),又有y1>y2≥y0,可知C點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn),拋物線的開口向上,可以畫出反映增減性和最值的基本圖形(只關(guān)注開口方向和對稱軸),借助圖形從“形”的角度分析;也可以從“數(shù)”的角度,把兩點(diǎn)A-5,y1,B3,y2代人尋求解決方案.

    解析方向一:從“形”的角度分析,數(shù)形結(jié)合.

    由點(diǎn)Cx0,y0是該拋物線的頂點(diǎn),且y1>y2≥y0,所以y0為函數(shù)的最小值,即得出拋物線的開口向上,畫出基本圖形2.

    接下來點(diǎn)A,B在哪里?想到分類討論,都在對稱軸的左邊或一左一右或都在右邊,利用不等式求解.

    因為y1>y2≥y0,所以得出點(diǎn)A、B可能在對稱軸的兩側(cè)或者是在對稱軸的同側(cè).

    ①:如1,當(dāng)A、B兩點(diǎn)都在對稱軸的左側(cè)時(點(diǎn)B可以與頂點(diǎn)重合),x0≥3;

    ②:如2,當(dāng)A、B兩點(diǎn)在對稱軸的兩側(cè)時,點(diǎn)B距離對稱軸的距離小于點(diǎn)A到對稱軸的距離,即得x0-(-5)>3-x0,解得x0>-1,又3>x0>-5,所以3>x0>-1;

    ③:如3,A、B兩點(diǎn)都在對稱軸的右邊不合題意,綜上所得:x0>-1,故選B.

    123方向二:從“數(shù)”的角度分析,這里不作分析.

    解后反思對于二次函數(shù)的有關(guān)最值問題和增減性問題,借助提煉基本圖形,數(shù)形結(jié)合,是一條快捷有效的解決問題的途徑,題中有關(guān)A、B兩點(diǎn)與頂點(diǎn)的位置需要分類討論是分析中的難點(diǎn),也是易錯點(diǎn),還有如2中A、B兩點(diǎn)到對稱軸的水平距離的比較,需要用到拋物線的對稱性分析,在解決相關(guān)問題中這也是一個重要的關(guān)注點(diǎn),也是分析和解決問題中的一個難點(diǎn).

    3.2已知自變量取值范圍和最值,求參數(shù)的值

    例2(2014年浙江嘉興)當(dāng)-2≤x≤1時,二次函數(shù)y=-x-m2+m2+1有最大值4,則實數(shù)m的值為()

    A.-74B.3或-3

    C.2或-3D.2或-3或-74

    思維導(dǎo)引①利用函數(shù)開口方向和頂點(diǎn)畫出基本圖形;②-2≤x≤1處在哪個范圍內(nèi),分類討論;③利用不等式和方程列式求解;④考慮范圍的取舍;

    123解析

    ①如1,當(dāng)m>1時,-2≤x≤1對應(yīng)的圖像在對稱軸的左邊,不包含頂點(diǎn),

    有x=1時,二次函數(shù)取到最大值,

    此時,-1-m2+m2+1=4,解得m=2,成立.②如2,當(dāng)-2≤m≤1時,-2≤x≤1對應(yīng)的圖像包含頂點(diǎn),

    有x=m時,二次函數(shù)有最大值,

    此時,m2+1=4,解得m1=3(舍去),m2=-3;所以m=-3.

    ③如3,當(dāng)m<-2時,-2≤x≤1對應(yīng)的圖像在對稱軸的右邊,不包含頂點(diǎn),

    有x=-2時二次函數(shù)有最大值,

    此時--2-m2+m2+1=4,解得m=-74與m<-2矛盾,故m值不存在;

    綜上所述,m的值為2或-3.故選C.

    解后反思對于含參數(shù)的二次函數(shù)的有關(guān)最值問題和增減性問題,上例中對稱軸用含參數(shù)的式子:直線x=m來表示,用提煉的“基本圖形”,我們只需要關(guān)注拋物線的開口,可以避免對稱軸與x軸的位置關(guān)系的討論,圖形非常的簡潔,只需要對-2≤x≤1與對稱軸的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論即可.分類討論與案例1討論的方法類似,但是每一段有一個大前提.如-2≤x≤1對應(yīng)的圖像在對稱軸的左邊,不包含頂點(diǎn)時對應(yīng)的m的范圍是m>1,后面計算的m值或范圍要考慮取舍,這是含參數(shù)問題最需要注意的地方,也正是我們很多同學(xué)容易出錯的地方,上面案例中的后面兩段都需要作取舍.

    3.3二次函數(shù)實際應(yīng)用中,求函數(shù)的最值.

    例3(2013年湖北黃岡)某公司生產(chǎn)的一種健身產(chǎn)品在市場上受到普遍歡迎,每年可在國內(nèi)、國外市場上全部售完,該公司的年產(chǎn)量為6千件,若在國內(nèi)市場銷售,平均每件產(chǎn)品的利潤y1(元)與國內(nèi)銷售數(shù)量x(千件)的關(guān)系為:y1=15x+900

    -5x+1302≤x<6若在國外銷售,平均每件產(chǎn)品的利潤y2(元)與國外的銷售數(shù)量t(千件)的關(guān)系為:y2=1000

    -5t+1102≤t<6(1)用x的代數(shù)式表示t為:t=;當(dāng)0

    (2)求每年該公司銷售這種健身產(chǎn)品的總利潤W(千元)與國內(nèi)的銷售數(shù)量x(千件)的函數(shù)關(guān)系式,并指出x的取值范圍;

    (3)該公司每年國內(nèi)、國外的銷量各為多少時,可使公司每年的總利潤最大?最大值為多少?

    思維導(dǎo)引①由年產(chǎn)量國內(nèi)、國外市場共6千件,國內(nèi)銷售數(shù)量x(千件),所以國外的銷售數(shù)量t=6-x(千件),從而將y2中t的范圍轉(zhuǎn)化成x的范圍,0

    解析(1)由題意,得t=6-x,所以當(dāng)0

    當(dāng)2≤t<6時0

    (2)分三種情況:

    ①當(dāng)0

    ②當(dāng)2

    ③當(dāng)4

    (3)當(dāng)0

    此時如1所示AB段不含A點(diǎn),顯然當(dāng)x=2時,wmax=600;

    當(dāng)2

    此時如2所示CD段不含C點(diǎn),顯然當(dāng)x=4時,wmax=640;

    當(dāng)4

    此時如3所示EF段不含E、F兩點(diǎn),所以當(dāng)4

    綜上所述,當(dāng)x=4時,wmax=640.

    123故該公司每年國內(nèi)、國外的銷售量各為4千件、2千件,可使公司每年的總利潤最大,最大值為64萬元.解后反思應(yīng)用二次函數(shù)解決實際問題時,最值問題的求解是中考考查的一個熱點(diǎn),也是學(xué)生的易錯點(diǎn),難在自變量范圍的確定和在一定范圍內(nèi)的最值的求解,學(xué)生往往忽視自變量的取值范圍.本案例中要對自變量x分三段討論,而每一段都需要分析相應(yīng)的最值,再綜合起來,這里主要關(guān)注各段區(qū)間上最值的求解,在0

    上述案例是對提煉的“基本圖形”的一些應(yīng)用,該“基本圖形”在解決二次函數(shù)的增減性問題和最值問題中,有著它特有的優(yōu)勢.當(dāng)然在教學(xué)中還需要對學(xué)生進(jìn)行思維的引導(dǎo),筆者通過平時教學(xué)中的不斷滲透,學(xué)生遇到相關(guān)問題時,解題的速度和準(zhǔn)確率都較為理想,實踐證明具有實效性,所以我們教師在教學(xué)上需要有自己的思考,需要有方法和思想的提煉,創(chuàng)造性地用好數(shù)學(xué)知識.

    作者簡介姜黃飛,男,中學(xué)高級教師,縣數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人,主持了多個課題并獲獎,參與過市中考命題和期末統(tǒng)考命題,獲縣優(yōu)秀教師,縣優(yōu)秀班主任,優(yōu)秀德育導(dǎo)師等榮譽(yù).

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