把脈中考：哪些函數(shù)問(wèn)題最易失分

房延華　汪春梅

中考試題中有關(guān)函數(shù)的許多題目，求解的思路不難，但解題時(shí)，學(xué)生往往由于審題不清、考慮不周而錯(cuò)解.為幫助老師們?cè)趶?fù)習(xí)階段搞好函數(shù)部分的復(fù)習(xí)，現(xiàn)將函數(shù)部分學(xué)生最容易失分的考點(diǎn)歸納如下.

1混淆縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)在解析式中的對(duì)應(yīng)關(guān)系

例1（2014年武漢市）已知直線(xiàn)y=2x-b經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，-1），求關(guān)于x的不等式2x-b≥0的解集.

失分錯(cuò)因及分析有的同學(xué)由于錯(cuò)將函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)與函數(shù)解析式中的x、y的對(duì)應(yīng)關(guān)系混淆，而錯(cuò)求b=-3，導(dǎo)致后續(xù)錯(cuò)誤.當(dāng)點(diǎn)M（x，y）滿(mǎn)足某函數(shù)解析式時(shí)，橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)解析式中的x，縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)解析式中的y.正確解答應(yīng)該是：把點(diǎn)（1，-1）代入直線(xiàn)y=2x-b得，-1=2-b，解得b=3.解2x-3≥0，得x≥32.

2對(duì)函數(shù)的圖像與系數(shù)的符號(hào)之間的關(guān)系不清

例2（2014年撫州市）如，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)M（0，2）的直線(xiàn)l與x軸平行，且直線(xiàn)l分別與反比例函數(shù)y=6x（x>0）和y=kx（x<0）的圖象交于點(diǎn)P、點(diǎn)Q.

（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）若△POQ的面積為8，求k的值.

失分錯(cuò)因及分析（1）因?yàn)镻Q∥x軸，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，把y=2代入y=6x，得x=3，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）；對(duì)于（2），有的同學(xué)由反比例函數(shù)k的幾何意義，由S△POQ=S△OMQ+S△OMP，得12k+12×6=8，所以k=10.事實(shí)上，由知，反比例函數(shù)y=kx的圖象的一支在第二象限，故k<0.正確解答應(yīng)是：12|k|+12×6=8，所以|k|=10，所以k=±10.因?yàn)閗<0，k=-10.

例3（2014年巴中市）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖2，則下列敘述正確的是（）

A.abc<0B.-3a+c<0

C.b2-4ac≥0

D.將該函數(shù)圖象向左平移2個(gè)單位后所得到拋物線(xiàn)的解析式為y=ax2+c

失分錯(cuò)因及分析有的同學(xué)將拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向與a的符號(hào)相混或不能準(zhǔn)確判定b、c的符號(hào)而錯(cuò)選A，事實(shí)上，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的開(kāi)口向下，所以a<0，拋物線(xiàn)與y軸負(fù)半軸相交，所以c<0；對(duì)稱(chēng)軸x=-b2a=2>0，所以b>0，所以abc>0.

有的同學(xué)對(duì)用一元二次方程根的判別式Δ=b2-4ac判斷拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)這一知識(shí)掌握不清，而錯(cuò)選B，事實(shí)上，本題中拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以Δ=b2-4ac>0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

由圖知拋物線(xiàn)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，圖象向左平移2個(gè)單位后橫坐標(biāo)為0，有的同學(xué)誤認(rèn)為平移后解析式為y=ax2+c.事實(shí)上，y=ax2+bx+c=a（x-2）2+4ac-b24a，因?yàn)閤=-b2a=2，向左平移2個(gè)單位后所得到拋物線(xiàn)的解析式為y=ax2+4ac-b24a，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸x=-b2a=2，得b=-4a，再根據(jù)圖象，知當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c=a-4a+c=-3a+c<0，故本選項(xiàng)正確，答案應(yīng)選B.

3記錯(cuò)函數(shù)解析式的模式

例4（2014年紹興市）如的一座拱橋，當(dāng)水面寬AB為12m時(shí)，橋洞頂部離水面4m，已知橋洞的拱形是拋物線(xiàn)，以水平方向?yàn)閤軸，建立平面直角坐標(biāo)系，若選取點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的拋物線(xiàn)解析式是y=-19（x-6）2+4，則選取點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的拋物線(xiàn)解析式是.

失分錯(cuò)因及分析有的同學(xué)認(rèn)為：如，易得拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，4），設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x-6）2+4，將（-12，0）代入y=a（x-6）2+4，得a=-19，所以選取點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的拋物線(xiàn)解析式是y=-19（x-6）2+4.事實(shí)上，若二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），則二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y=a（x-h）2+k，上述錯(cuò)解設(shè)成了y=a（x+h）2+k的形式.正確答案為y=-19（x+6）2+4.

4考慮問(wèn)題不全面

例5（2014年株洲市）如果函數(shù)y=（a-1）x2+3x+a+5a-1的圖象經(jīng)過(guò)平面直角坐標(biāo)系的四個(gè)象限，那么a的取值范圍是.

失分錯(cuò)因及分析有的同學(xué)認(rèn)為函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，需滿(mǎn)足2個(gè)條件：函數(shù)是二次函數(shù)；二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).即a-1≠0，a≠1；Δ=9-4（a-1）·a+5a-1=-4a-11>0，解得a<-114.所以a的取值范圍是a<-114.

事實(shí)上，借助草圖分析，不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，除應(yīng)滿(mǎn)足以上兩個(gè)條件外，還應(yīng)滿(mǎn)足條件“二次函數(shù)與y軸的正半軸相交”，即a+5a-1>0，解得a>1或a<-5.綜上a的取值范圍是a<-5.

5忽略實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍

例6（2014年成都市）在美化校園的活動(dòng)中，某興趣小組想借助如所示的直角墻角（兩邊足夠長(zhǎng)），用28m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設(shè)AB=xm.

（1）若花園的面積為192m2，求x的值；

（2）若在P處有一棵樹(shù)與墻CD，AD的距離分別是15m和6m，要將這棵樹(shù)圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹(shù)的粗細(xì)），求花園面積S的最大值.

失分錯(cuò)因及分析大部分同學(xué)都能順利解答（1）小題：因?yàn)锳B=xm，所以BC=（28-x）m，所以x（28-x）=192，解得x1=12，x2=16.即x的值為12m或16m.

但對(duì)于第（2）小題，有同學(xué)是這樣解的：由題意，S=x（28-x）=-x2+28x=-（x-14）2+196.所以當(dāng)x=14時(shí)，S取到最大值，Smax=196（m2）.

致錯(cuò)原因在于，錯(cuò)解忽略了條件“樹(shù)與墻CD，AD的距離分別是15m和6m，要將這棵樹(shù)圍在花園內(nèi)”對(duì)x的限制作用，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在自變量的取值范圍內(nèi)時(shí)，二次函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最值；頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在自變量的取值范圍內(nèi)時(shí)，可借助圖象進(jìn)行分析以求取最值.正確解答應(yīng)該是：（2）由題意，S=x（28-x）=-x2+28x=-（x-14）2+196.

因?yàn)樵赑處有一棵樹(shù)與墻CD，AD的距離分別是15m和6m，且要將這棵樹(shù)圍在花園內(nèi)，所以應(yīng)有x≥6，28-x≥15，所以6≤x≤13.

所以根據(jù)二次函數(shù)增減性，知當(dāng)x=13時(shí)，S取到最大值，S最大=-（13-14）2+196=195（平方米）.

花園面積S的最大值為195平方米.

6缺乏分類(lèi)意識(shí)致錯(cuò)

例7（2014年舟山市）當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，二次函數(shù)y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，則實(shí)數(shù)m的值為（）.

A.-74B.3或-3

C.2或-3D.2或-3或-74

失分錯(cuò)因及分析有的同學(xué)是這樣解的：x=m時(shí)，二次函數(shù)有最大值m2+1，此時(shí)m2+1=4，解得m=-3，m=3，從而錯(cuò)選B.上述錯(cuò)解一方面忽略了-2≤x≤1，所以m=3應(yīng)舍去，另一方面由于受二次函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最值的思維定勢(shì)的影響，錯(cuò)誤地認(rèn)定m滿(mǎn)足-2≤x≤1.

本題應(yīng)根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的位置，分三種情況討論求解：

二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=m.

①若m<-2，x=-2時(shí)二次函數(shù)有最大值，此時(shí)-（-2-m）2+m2+1=4，解得m=-74，這與m<-2矛盾，故m值不存在.

②若﹣2≤m≤1，x=m時(shí)，二次函數(shù)有最大值m2+1，此時(shí)m2+1=4，解得m=-3，m=3（舍去）.

③若m>1，x=1時(shí)，二次函數(shù)有最大值，此時(shí)，-（1-m）2+m2+1=4，解得m=2，

綜上所述，m的值為2或-3.故選C.

例8（2014年資陽(yáng)市）如，已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3，0），與y軸的交點(diǎn)為B（0，3），其頂點(diǎn)為C，對(duì)稱(chēng)軸為x=1.

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）已知點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABM為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）將△AOB沿x軸向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（0

失分錯(cuò)因及分析對(duì)于（1）小題，易得拋物線(xiàn)的解析式為y=-x2+2x+3；

對(duì)于（2）小題，△ABM為等腰三角形，但由于等腰三角形腰、底指向不明，而有的同學(xué)易忽略分類(lèi)討論.正確解答應(yīng)是：①當(dāng)MA=MB時(shí)，M（0，0）；②當(dāng)AB=AM時(shí)，M（0，﹣3）；③當(dāng)AB=BM時(shí)，M（0，3+32）或M（0，3-32）.所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+32）、（0，3﹣32）.

對(duì)于（3）小題，在△AOB沿x軸向右平移的過(guò)程，應(yīng)分二種情況：①0

設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=k1x+b1，把A（3，0）、B（0，3）代入，得3k1+b1=0，

b1=3.解得k1=-1，

b1=3.

則直線(xiàn)AB的解析式為y=-x+3.

△AOB沿x軸向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（0

設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=k2x+b2，則3k2+b2=0，

k2+b2=4.解得k2=-2，

b2=6.則直線(xiàn)AC的解析式為y=-2x+6.

連結(jié)BE，直線(xiàn)BE交AC于G，則G（32，3）.在△AOB沿x軸向右平移的過(guò)程中，

①當(dāng)0

聯(lián)立y=-2x+6

y=-x+3+m，解得x=3-m

y=2m.即點(diǎn)M（3-m，2m）.

所以S=S△PEF-S△PAK-S△AFM=12PE2-12PK2-12AF·h=92-12（3-m）2-12m·2m=-32m2+3m.

②當(dāng)32

因?yàn)锽E=m，所以PK=PA=3-m.

又因?yàn)橹本€(xiàn)AC的解析式為y=﹣2x+6，所以當(dāng)x=m時(shí)，y=6-2m，所以點(diǎn)H（m，6-2m）.

所以S=S△PAH-S△PAK=12PA·PH-12PA2=-12（3-m）·（6-2m）-12（3-m）2=12m2-3m+92.

綜上所述，當(dāng)0

作者簡(jiǎn)介房延華，男，1971年1月生，山東省臨清人.在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》等報(bào)刊雜志發(fā)表文章5000余篇.