拋物線

題呈現(xiàn)如圖1,拋物線y2=8x與動(dòng)圓M:(x-8)2+y2=r2(r>0)交于A,B,C,D四個(gè)不同點(diǎn).(1)求r的取值范圍;(2)略.2.探究一般性結(jié)論對(duì)于一般的拋物線C:y2=2px(p>0),動(dòng)圓M:(x-a)2+y2=r2(r>0),有什么類似的結(jié)論?若a-p≤0,即a≤p,則當(dāng)x=0時(shí),|PM|取最小值|a|.這時(shí)若r=|a|,則拋物線C圓與圓M相切于頂點(diǎn),且這兩曲線有且僅有這一個(gè)公共點(diǎn);命題1 拋物線C:y2=2px(p>0)與動(dòng)圓M:(x-a

焦鵬鵬若過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則以這兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段稱為拋物線的焦點(diǎn)弦，如圖1中的線段[AB].以拋物線上的一點(diǎn)及拋物線的焦點(diǎn)為端點(diǎn)的線段稱為拋物線的焦半徑，如圖1中的線段[AF、BF.]求焦點(diǎn)弦長(zhǎng)和焦半徑問(wèn)題在拋物線試題中比較常見(jiàn).本文主要談一談?dòng)嘘P(guān)拋物線焦半徑與焦點(diǎn)弦公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用.

點(diǎn)(t,t)為拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上的不動(dòng)點(diǎn).設(shè)拋物線C的解析式為y=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)b,實(shí)數(shù)a應(yīng)在什么范圍內(nèi),才能使拋物線C上總有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)?解(1)由題意,得∴拋物線C的解析式為y=x2-x-3.令x=x2-x-3,解得x1=-1,x2=3.∴不動(dòng)點(diǎn)為(-1,-1)和(3,3).(2)若拋物線C有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn),則由x=ax2+(b+1)x+(b-1),整理得ax2+bx+(b-1)

遇到判斷直線與拋物線位置關(guān)系的問(wèn)題.此類問(wèn)題側(cè)重于考查直線的方程、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、拋物線的方程、一元二次方程的根的判別式、韋達(dá)定理等.判斷直線與拋物線的位置關(guān)系，主要有代數(shù)法和幾何法兩種方法.本文主要探討一下如何用代數(shù)法判斷直線與拋物線的位置關(guān)系.一、直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離. 如下圖所示.其中相交的有兩種情況，即相交于一點(diǎn)（當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合時(shí)）、相交于兩點(diǎn).二、用代數(shù)法判斷直線與拋物

00) 喻瑞明拋物線性質(zhì)的教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中不可缺少的一部分，有關(guān)拋物線性質(zhì)的考題也是層出不窮.我們知道，拋物線中蘊(yùn)含了許多優(yōu)美的結(jié)論，本文從2018年全國(guó)Ⅰ卷文科第20題考查拋物線的性質(zhì)出發(fā)，利用幾何畫板探究了拋物線中雙定點(diǎn)的一些性質(zhì)，供同仁參考.文[1]中已探究了拋物線的性質(zhì)，并得到如下結(jié)論：結(jié)論1 如圖1，已知拋物線y2=2px(p>0)，點(diǎn)B(-m,0)(m>0)，設(shè)斜率存在的直線l與拋物線相交于M,N兩點(diǎn)，則直線l過(guò)定點(diǎn)A(m,0)的充要條

、選擇題1.若拋物線y=ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），則a的值為（）。A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓在拋物線上，若|PF|=3，則點(diǎn)P到x軸的距離為（）。A.2B.2C.D.15.已知拋物線過(guò)點(diǎn)（-11，13），則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）。6.設(shè)F為拋物線C：x2=16y的焦點(diǎn)，直線1：y=-1，點(diǎn)A為拋物線C上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥L，則|AP-AF||=（）。A.3B.4C.2D.不能確定7.已知直線L1：x-y+4=0和直線12：x=-2，拋物線

次函數(shù)的圖像是拋物線，在考查二次函數(shù)知識(shí)時(shí)，常常會(huì)出現(xiàn)一類由二次函數(shù)圖像即拋物線提供信息，利用二次函數(shù)性質(zhì)作推理判斷的題目。解決這類問(wèn)題，我們必須熟悉二次函數(shù)表達(dá)式中的字母系數(shù)與拋物線之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)看二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像，具備從函數(shù)圖像中獲取信息的能力?？?span id="j5i0abt0b" class="hl">拋物線與y軸的位置：由x=0時(shí)y=c，可知拋物線與y軸交于（0，c）。當(dāng)拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方時(shí)，c＞0；當(dāng)拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方時(shí)，c＜0；當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，c=0?？磼佄?/div>

初中生世界 2021年47期2021-12-29

選擇題1.已知拋物線C：x=8y2，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為( )。2.直線l過(guò)拋物線y2=2x的焦點(diǎn)F，且直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1+x2=3，則弦AB的長(zhǎng)是( )。A.4 B.5 C.6 D.83.已知拋物線y2=2px(p＞0)，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作x軸的垂線，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2，0)，且△ABM為直角三角形，則以直線AB為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )。A.y2=8xB.y2=

次函數(shù)的圖像是拋物線，在考查二次函數(shù)知識(shí)時(shí)，常常會(huì)出現(xiàn)一類由二次函數(shù)圖像即拋物線提供信息，利用二次函數(shù)性質(zhì)作推理判斷的題目。解決這類問(wèn)題，我們必須熟悉二次函數(shù)表達(dá)式中的字母系數(shù)與拋物線之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)看二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像，具備從函數(shù)圖像中獲取信息的能力?？?span id="j5i0abt0b" class="hl">拋物線的開口方向和大?。?span id="j5i0abt0b" class="hl">拋物線開口向上，a>0;拋物線開口向下，a<0;拋物線開口越小，[a]越大;拋物線開口越大，[a]越小?？?span id="j5i0abt0b" class="hl">拋物線對(duì)稱軸所在位置：系數(shù)a與系數(shù)b一起決定拋物線對(duì)稱軸x

4.如圖11，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-2），點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0）.P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D.交直線BC于點(diǎn)E.拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-1.（1）求拋物線的解析式.（2）若點(diǎn)P在第二象限內(nèi)，且PE=1/4OD，M為直線BC上一點(diǎn)，在x軸的上方，是否存在點(diǎn)M，使△BDM是以BD為腰的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

一、選擇題1.拋物線y=4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是( )。2.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-7,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )。A.x2=-28yB.y2=28xC.y2=-28xD.x2=28y3.已知拋物線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程,焦點(diǎn)在x軸上,其上一點(diǎn)P(-3,m)到焦點(diǎn)F的距離為5,則拋物線方程為( )。A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x4.過(guò)點(diǎn)F(0,3)且和直線y+3=0相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為( )。A.y2=12xB.y2=-12xC

)。例1(1)拋物線y=2(x+2)2-4向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的拋物線的解析式是_____。(2)拋物線y=x2-4x向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度,向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式是_____。(3)拋物線y=x2-4x關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的函數(shù)表達(dá)式是____,關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線的函數(shù)表達(dá)式是_____,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線的函數(shù)表達(dá)式是_____。分析：拋物線y=ax2+bx+c中,a的絕對(duì)值決定拋物線的形狀,a的正負(fù)決

一、選擇題1.拋物線y=-x2的準(zhǔn)線方程是（）。A.B.C.D.2.拋物線上的動(dòng)點(diǎn)Q到其焦點(diǎn)的距離的最小值為1，則p=（）。A.B.C.D.3.如圖1，在同一平面內(nèi)，A、B為兩個(gè)不同的定點(diǎn)，圓A和圓B的半徑都為r，射線AB交圓A于點(diǎn)P，過(guò)P作圓A的切線l，當(dāng)變化時(shí)，切線l與圓B的公共點(diǎn)的軌跡是（）。A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.拋物線4.已知m，n∈R，則“mnA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件5.已知拋物線y

一、選擇題2.拋物線y2=2p x(p＞0)上的動(dòng)點(diǎn)Q到其焦點(diǎn)的距離的最小值為1,則p=( )。3.如圖1,在同一平面內(nèi),A、B為兩個(gè)不同的定點(diǎn),圓A和圓B的半徑都為r,射線A B交圓A于點(diǎn)P,過(guò)P作圓A的切線l,當(dāng)變化時(shí),切線l與圓B的公共點(diǎn)的軌跡是( )。圖1A.圓 B.橢圓C.雙曲線的一支 D.拋物線4.已知m,n∈R,則“m n＜0”是“拋物線m x2+n y=0的焦點(diǎn)在y軸正半軸上”的( )。A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D

容寫成本文及《拋物線的一些性質(zhì)》[1]。研究發(fā)現(xiàn)，有些平面幾何問(wèn)題用射影幾何研究更自然、條理更清楚，而用平面幾何方法處理則有難度。本文繼續(xù)用射影幾何的方法討論拋物線的性質(zhì)，特別是由拋物線的兩條切線與焦點(diǎn)得到的相似三角形的性質(zhì)，用到的射影幾何知識(shí)可參看[2-4]或其它高等幾何書籍。本文討論的部分問(wèn)題來(lái)源于文獻(xiàn)[4]。1 主要結(jié)果與證明先給出一個(gè)在討論二次曲線問(wèn)題時(shí)常用的性質(zhì)。性質(zhì)1 設(shè)拋物線的切線交兩定切線于X,X′，點(diǎn)F是焦點(diǎn)，則∠XFX′是定角。圖1 拋

林朝輝摘要：拋物線綜合題是壓軸題中重要題型，角相等是拋物線綜合常出現(xiàn)條件，對(duì)于這個(gè)條件的轉(zhuǎn)化，大部分學(xué)生比較迷茫的，無(wú)從下手，本文介紹角相等的幾種常見(jiàn)的處理方法：借助對(duì)稱、構(gòu)造全等、構(gòu)造相似，構(gòu)造圓等。關(guān)鍵詞： 拋物線；角相等中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B文章編號(hào)：1672-1578（2018）16-0138-01

段曉曉一、拋物線天下一家解析幾何中，方程y2=2px的圖形稱拋物線；函數(shù)中，二次函數(shù)y=ax2的圖象也稱拋物線.于是發(fā)問(wèn)：這兩種拋物線是一家人嗎？【例1】二次函數(shù)y=14x2+1的圖象如下：試探索，平面上是否存在這樣的定直線l和定點(diǎn)F，使得圖象上任何一點(diǎn)P（x，y），到F的距離與到l的距離相等？【解答】（配方法）由等式y(tǒng)=14x2+1兩邊乘以4并移項(xiàng)：x2-4y+4=0，兩邊同時(shí)加上y2，得x2+（y-2）2=y2，兩邊開平方，同取算術(shù)根，得14x2=

、選擇題2.若拋物線y2=2p x(p＞0)上一點(diǎn)P(2,y0)到其準(zhǔn)線的距離為4,則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )。A.y2=4x B.y2=6xC.y2=8x D.y2=1 0x3.過(guò)點(diǎn)(0,1)且與拋物線y2=4x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有( )。A.1條 B.2條 C.3條 D.0條4.已知P為拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線l1:x=-1,l2:x+y+3=0,則點(diǎn)P到直線l1,l2的距離之和的最小值為( )。5.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為拋物

1.(1)由拋物線C:y2=2p x(p＞0)過(guò)點(diǎn)P(1,-2),可得4=2p,p=2。從而拋物線的方程為y2=4x,準(zhǔn)線方程為x=-1。(2)拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),所以直線l的方程為y=2x-2。設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)。則由韋達(dá)定理有:x1+x2=3,x1x2=1。5 2.(1)拋物線C:x2=2p y(p＞0)的焦點(diǎn)為拋物線C的準(zhǔn)線方程為y=由拋物線的定義可知|B F|等于點(diǎn)B到拋物線C的準(zhǔn)線的距離。又因?yàn)辄c(diǎn)B到x軸的距離比|B

五中學(xué) 徐洪軍拋物線一組結(jié)論的證明與應(yīng)用■浙江省江山市第五中學(xué) 徐洪軍拋物線有很多優(yōu)美的結(jié)論,在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,同學(xué)們要能夠靈活應(yīng)用。下面,筆者通過(guò)拋物線一組結(jié)論的證明與應(yīng)用來(lái)進(jìn)一步揭示拋物線的本質(zhì)。結(jié)論1 已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線C:y2= 2px(p〉0)的焦點(diǎn)F,直線l與拋物線C交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則y1·y2=應(yīng)用1 已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線C:y2= 8x的焦點(diǎn)F,直線l與拋物線C交于A(x1, y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則:(

梅磊拋物線是歷年高考的重點(diǎn)，在近幾年高考試題中，常考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)。由于拋物線的離心率為1，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中只有一個(gè)二次項(xiàng)，拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對(duì)稱軸、一條準(zhǔn)線，所以相對(duì)于橢圓和雙曲線而言，高考中有關(guān)拋物線的試題相對(duì)簡(jiǎn)單一點(diǎn)。下面以2016年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷中的幾道拋物線試題為例，帶同學(xué)們玩轉(zhuǎn)拋物線。endprint

00) 李偉健拋物線中的一個(gè)定點(diǎn)問(wèn)題的充要條件安徽省滁州中學(xué)(239000) 李偉健命題已知拋物線y2=4x及點(diǎn)P(2,2),斜率為1的直線l不過(guò)點(diǎn)P,且與拋物線交于A和B,直線AP、BP分別交拋物線與另一點(diǎn)C和D.證明AD、BC交于一定點(diǎn)Q.本文對(duì)這一命題一般化研究,獲得了這一定點(diǎn)問(wèn)題的充要條件.定理已知拋物線y2= 2px(p＞0)及點(diǎn)P(x′,y′),P不在拋物線上,斜率為k的直線l不過(guò)點(diǎn)P(x′,y′),且與拋物線交于A和B,直線AP、BP分別交拋

□劉頓拋物線的變換□劉頓二次函數(shù)是中考重要而常見(jiàn)的考點(diǎn)，且大多出現(xiàn)在綜合題和壓軸題中，其中有關(guān)拋物線的變換更是頻頻亮相，現(xiàn)歸類說(shuō)明，供參考！一、拋物線的旋轉(zhuǎn)例1（2016·菏澤）如圖1，一段拋物線：y=-x（x-2）（0≤x≤2）記為C1，它與x軸交于兩點(diǎn)O、A1；將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2，交x軸于A2；將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180°得到C3，交x軸于A3；……如此進(jìn)行下去，直至得到C6.若點(diǎn)P（11，m）在第6段拋物線C6上，則m=________.圖

獻(xiàn)［1］探討了拋物線的一類伴隨圓——內(nèi)切圓族的方程和性質(zhì).在此基礎(chǔ)上，筆者對(duì)拋物線y2=2px(p＞0)的內(nèi)切伴隨圓族的方程與性質(zhì)進(jìn)行了進(jìn)一步的探討，得到了一些結(jié)論.1 相關(guān)定義1.1 內(nèi)切圓在拋物線的內(nèi)部，與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的圓，叫做拋物線的內(nèi)切圓(圖1).1.2 內(nèi)切圓族與拋物線內(nèi)切，且具有共性的一族圓稱為拋物線的內(nèi)切圓族(圖1).2 相切于一點(diǎn)的內(nèi)切圓族圖1 內(nèi)切圓與內(nèi)切圓族圖2 引理1內(nèi)切圓族引理1［1］設(shè)拋物線C的方程為y2=2px(p＞0

a≠0）的圖像拋物線是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，當(dāng)我們面對(duì)拋物線的問(wèn)題時(shí)如果能用好用足拋物線的對(duì)稱性，則能化繁為簡(jiǎn)，迅速求解. 本文以杭州、泰州、北京的三道中考?jí)狠S題為例，層層遞進(jìn)，分析研究借助拋物線的對(duì)稱性解題的好處.綜上所述：當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8）時(shí)，要使y1隨著x的增大而減小，則x>2；當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-8）時(shí)，要使y1隨著x的增大而減小，則x<-2.【點(diǎn)評(píng)】二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像是軸對(duì)稱圖形，當(dāng)a>0時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨著x的

給出有關(guān)直線與拋物線位置關(guān)系的另類判別方法.結(jié)論1 直線l：Ax＋By＋C＝0（ABC≠0）拋物線y2＝2px（p≠0）Ay2＋2pBy＋2pC＝0，△ ＝（2pB）2－4A·2pC＝4p（pB2－2AC），結(jié)論2 直線l：Ax＋By＋C＝0（ABC≠0），拋物線x2＝2py（p≠0），探究結(jié)論1和結(jié)論2 推廣至一般情況，可得下面結(jié)論：結(jié)論3 直線l：Ax＋By＋C＝0（ABC≠0），（2）直線l與拋物線相交 ?（y1＋y2）（y1－y2）＞－p2；（3）

置的改變.對(duì)于拋物線的幾種變換，可以歸結(jié)為:一看頂點(diǎn)位置，二看開口方向.下面例舉拋物線的平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的求解策略.1 拋物線的平移一般地，拋物線的平移有以下規(guī)律:例1 已知拋物線y=x2+2x－3，如何平移此拋物線使其圖象與拋物線y=x2－4x+7的圖象完全重合.可知，將拋物線y=x2+2x－3向右平移3個(gè)單位，再向上平移7個(gè)單位，與拋物線y=x2－4x+7的圖象完全重合.例2 已知y=2x2的圖象是拋物線，若拋物線不動(dòng)，把x軸，y軸分別向上、向右

上任意2個(gè)點(diǎn)的拋物線是否也有無(wú)數(shù)個(gè)?即便能夠明確經(jīng)過(guò)2個(gè)點(diǎn)的拋物線有無(wú)數(shù)個(gè)，那能否按照某種需求來(lái)選擇或明確經(jīng)過(guò)已知2個(gè)點(diǎn)的拋物線呢?順延這條思路，深挖下去，會(huì)顯出豐實(shí)的寶藏.探究1 經(jīng)過(guò)平面上任意2個(gè)點(diǎn)的拋物線是否有無(wú)數(shù)條?在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，若有一條曲線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)任意給定的2個(gè)點(diǎn) A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由c為參量，得c可以取到無(wú)數(shù)個(gè)不同的值使得a≠0，可知過(guò)點(diǎn)A，B的拋物線有無(wú)數(shù)條;(2)當(dāng)x1x2(x1-x2)=0時(shí)