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    解中考幾何最值問題的突破口到底在何處

    2015-05-06 16:30:56劉華為
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2015年2期
    關(guān)鍵詞:突破口平行線動(dòng)點(diǎn)

    拜讀了馬先龍老師的《構(gòu)造圖形打開解中考幾何最值問題的突破口》(以下簡(jiǎn)稱文[1])一文后,深受啟發(fā),特別對(duì)如何通過動(dòng)靜結(jié)合、巧構(gòu)圖形妙解中考幾何最值問題有了深入了解.但也有一些不同的想法,愿與馬老師商榷,更希望得到廣大同仁斧正.

    1商榷之點(diǎn)

    文[1]通過六個(gè)例題闡述了如何從構(gòu)造三角形、對(duì)稱點(diǎn)、垂直于弦的直徑、相似三角形和全等三角形入手,尋找解決平面幾何最值問題的突破口.對(duì)此筆者不敢茍同,因?yàn)闃?gòu)造上述圖形只是表象,至于“如何構(gòu)造”和“怎么想到這樣構(gòu)造”,卻值得深入探究.

    筆者竊以為,從知識(shí)轉(zhuǎn)化角度來分析,所有數(shù)學(xué)習(xí)題都是運(yùn)用所學(xué)過的知識(shí)加以解決!因此,在初中階段與平面幾何最值有關(guān)的知識(shí)源才是解決此類問題的突破口,是打開解決平面幾何最值問題的思維通道.此類知識(shí)源主要有幾何類(“兩點(diǎn)之間線段最短”、“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連線中,垂線段最短”、“分別位于兩條平行線上的兩點(diǎn)之間的最短距離等于兩平行線間的距離”、“圓外一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)連線中,到過該點(diǎn)和圓心的直線與圓的近交點(diǎn)距離最短、遠(yuǎn)交點(diǎn)距離最長(zhǎng)”等)和代數(shù)類(構(gòu)造出待求量與某一變量的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解).

    2突破之處

    2.1以“兩點(diǎn)之間線段最短”為突破口

    例1(文[1]例2)如,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn),A(1,0)、B(2,0)是x軸上兩點(diǎn),則PA+PB的最小值為.

    文[1]給出了的輔助線添法(限于篇幅,凡引用文[1]的例題,本文均不再附解答,詳細(xì)過程請(qǐng)查閱文[1],下同),并認(rèn)為“構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn)”是解決此類問題的突破口,那我們不禁要問:怎么想到構(gòu)造點(diǎn)A關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)A′的呢?

    事實(shí)上,要求PA+PB的最小值就是求動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、B距離之和的最小值,根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知,當(dāng)點(diǎn)P位于線段AB上時(shí),其和最??;又點(diǎn)P在直線y=x上,所以點(diǎn)P應(yīng)是兩者的交點(diǎn).但由于A、B位于直線y=x的同側(cè),沒有交點(diǎn),需利用線段的等量變換,把兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到直線的兩側(cè).而常見的等量變換有“平移”、“翻折”和“旋轉(zhuǎn)”,結(jié)合條件和圖形特征,本題宜選擇“翻折”,即作點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對(duì)稱點(diǎn)A′,從而使問題迎刃而解.

    綜上所述,知識(shí)源“兩點(diǎn)之間線段最短”才是解決此類問題的突破口.

    2.2以“圓外一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)連線中,到過該點(diǎn)和圓心的直線與圓的近交點(diǎn)距離最短、遠(yuǎn)交點(diǎn)距離最長(zhǎng)”為突破口

    例2(文[1]例1)如,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC為直徑的半圓交AB于點(diǎn)D,P是弧CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AP,則AP的最小值是.

    本題考生若已知“圓外一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)連線中,到過該點(diǎn)和圓心的直線與圓的近交點(diǎn)距離最短”這一知識(shí)源,作出的輔助線、證明和求值都是水到渠成之舉.但對(duì)于未學(xué)過這一知識(shí)源的考生來說,又如何能想到連接AO呢?

    考慮到這是屬于動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離最短問題,易聯(lián)想到知識(shí)源“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連線中,垂線段最短”.可惜的是,點(diǎn)P在弧CD(非直線)上運(yùn)動(dòng),且弧CD又無法轉(zhuǎn)化為直線,故只能把突破口放在知識(shí)源“兩點(diǎn)之間線段最短”上,即在弧CD與點(diǎn)A不同側(cè)的另一側(cè)找一定點(diǎn),把問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離之和最小,由圓的定義自然想到圓心O就是要找的最佳定點(diǎn),因?yàn)闊o論點(diǎn)P如何運(yùn)動(dòng),OP為定值.

    由此可見,文[1]認(rèn)為“構(gòu)造如中的三角形是解題的突破口”的觀點(diǎn)有些牽強(qiáng).另外,文[1]中的例3是綜合上述兩個(gè)知識(shí)源求解的,本文不再贅述.

    2.3以“一次函數(shù)性質(zhì)”為突破口

    例3(文[1]例4)如,⊙O的半徑是2,直線l與⊙O相交于A、B兩點(diǎn),M、N是⊙O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且在直線l的異側(cè),若∠AMB=45°,則四邊形MANB面積最大值是.

    由于四邊形MANB是非特殊四邊形,所以其面積(設(shè)為S)需分割成△ABM和△ABN的面積之和.考慮到AB為兩三角形的公共邊且長(zhǎng)度可求(值為22),故可以AB為底邊,過點(diǎn)M、N分別向其作高M(jìn)C、ND,則S=12AB(MC+ND).設(shè)MC+ND=h,則S=2h.又易知0

    綜上可知,本題的突破口是如何求出四邊形MANB面積的函數(shù)表達(dá)式,然后再根據(jù)表達(dá)式確定解題方向,至于構(gòu)不構(gòu)造直徑,意義不大.

    2.4以“二次函數(shù)性質(zhì)”為突破口

    例4(文[1]例5)如,直線l與半徑為4的⊙O相切于點(diǎn)A,P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),過點(diǎn)P作PB⊥l,垂足為點(diǎn)B,連接PA.設(shè)PA=x、PB=y,則(x-y)的最大值是.

    文[1]認(rèn)為:構(gòu)造如的與△ABP相似的△CPA是解決此題的突破口,事實(shí)果真如此嗎?

    首先,本題從x-y(即PA-PB)的幾何意義入手較為棘手,故考慮從構(gòu)建函數(shù)角度打通思維之路.設(shè)t=x-y,因?yàn)楸磉_(dá)式中除t外還有兩個(gè)變量x、y,所以代換其中之一已是必然選擇,即要利用相等關(guān)系找出y與x間的數(shù)量關(guān)系,代入消元.而平面幾何中與兩線段有關(guān)的相等關(guān)系主要有“線段間固有的數(shù)量關(guān)系(等角對(duì)等邊、全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、三角形中位線定理等)”、“勾股定理”、“比例式(平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì))”和“等積式(圖形面積相等)”.本題結(jié)合條件和圖形特征定位在相似三角形,即通過證明△ABP∽△CPA和利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例,求得y=18x2,則t=-18(x-4)2+2,故當(dāng)x=4時(shí),t=x-y的最大值為2.

    其次,本題也可不用三角形相似處理.既然是建立t的函數(shù)關(guān)系式,變量就不一定要選擇線段,也可選擇角.如設(shè)∠PAC=∠APB=θ,則AP=ACcosθ=8cosθ、PB=APcosθ=8cos2θ,所以t=8cosθ-8cos2θ=-8(cosθ-12)2+2,也可得x-y的最大值為2.

    由此可見,構(gòu)造相似三角形未必是本題的突破口,而如何建立函數(shù)關(guān)系式才是突破思維障礙之所在.

    3補(bǔ)全之筆

    以上突破口都是文[1]例題所涉及到的,除此之外還有:

    3.1以“分別位于兩條平行線上的兩點(diǎn)之間的最短距離等于兩平行線間的距離”為突破口

    例5(2012年江蘇連云港市)已知梯形ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3.

    問題1:如,P為AB邊上的一點(diǎn),以PD,PC為邊作平行四邊形PCQD,請(qǐng)問對(duì)角線PQ,DC的長(zhǎng)能否相等,為什么?

    問題2:請(qǐng)問問題1中的平行四邊形PCQD的對(duì)角線PQ的長(zhǎng)是否存在最小值?如果存在,請(qǐng)求出最小值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.(問題3、問題4略)

    解析(問題1解答略)由于問題2中的P、Q兩點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn),宜考慮用“分別位于兩條平行線上的兩點(diǎn)之間的最短距離等于兩平行線間的距離”知識(shí)源求解,即證明P、Q兩點(diǎn)分別運(yùn)動(dòng)于兩條固定的平行線上.又點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng),且AB⊥BC,于是聯(lián)想到“過點(diǎn)Q作QH⊥BC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H”,下證直線QH為定直線并求出兩平行線QH和AB間的距離即可.易證Rt△ADP≌Rt△HCQ,得CH=AD=1,所以BH的長(zhǎng)度為定值4,故PQ的長(zhǎng)存在最小值,且為4.

    3.2以“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連線中,垂線段最短”為突破口

    其實(shí),例5中的問題2用“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連線中,垂線段最短”知識(shí)源求解更簡(jiǎn)捷.如,設(shè)對(duì)角線PQ與DC相交于點(diǎn)G,由PQ=2PG知,要求PQ的最小值只需求PG的最小值.顯然點(diǎn)G是CD的中點(diǎn),即為定點(diǎn),而P為AB上動(dòng)點(diǎn),故當(dāng)PG垂直AB時(shí)最短.此時(shí),AD∥PG∥BC,由梯形中位線定理易求PG=2,所以PQ的最小值為4.

    4例6之思

    例6(文[1]例6)如,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,M、N分別在BC、CD上,使得△CMN的周長(zhǎng)為2,則△AMN的面積的最小值為.

    文[1]通過構(gòu)造與△AMN全等的△AEN,依據(jù)AD=1,從而把求△AMN的面積最小值轉(zhuǎn)化為求線段EN(即MN)的最小值.然后根據(jù)勾股定理構(gòu)造出含有參數(shù)t(線段MN的長(zhǎng))且關(guān)于x(線段CN的長(zhǎng))的一元二次方程x2+(t-2)x+(2-2t)=0,利用Δ=t2+4t-4≥0,求得t的最小值為22-2,從而得△AMN的面積的最小值為2-1.

    反思一怎么想到這樣添輔助線?其實(shí),由條件可得MN=BM+DN,而對(duì)于三條線段間的數(shù)量關(guān)系,常??赏ㄟ^“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”把它們轉(zhuǎn)化為兩條線段間的相等關(guān)系.

    反思二還有其它方法求MN的最小值嗎?換言之,就是當(dāng)Rt△CMN的周長(zhǎng)為2時(shí),何時(shí)其斜邊長(zhǎng)MN最短?不妨設(shè)MN=c、∠CNM=θ,則c+ccosθ+csinθ=2,即c=21+sinθ+cosθ=21+2sin(θ+45°),易知當(dāng)θ=45°,即△CMN為等腰直角三角形時(shí),斜邊MN取得最小值22-2.由此可得結(jié)論:周長(zhǎng)為定值的直角三角形,當(dāng)兩直角邊相等時(shí),斜邊長(zhǎng)最短.

    反思三一定要構(gòu)造全等三角形嗎?其實(shí),本題的突破口是如何建立△AMN面積(設(shè)為S)關(guān)于某一變量的函數(shù)關(guān)系式.由于直接作高不易求出△AMN的面積,故宜采用間接方法.除了象文[1]中利用全等三角形轉(zhuǎn)化外,還可以用割補(bǔ)法求解.設(shè)BM=m、DN=n,由S△AMN=S正方形ABCD-S△ABM-S△CMN-S△AND,得S=1-12m-12n-12(1-m)(1-n),即S=12-12mn.又由CM2+CN2=MN2,得(1-m)2+(1-n)2=(m+n)2,所以m=1-n1+n.則S=n2-n2(1+n)+12=(1+n)2-3(1+n)+22(1+n)+12=12(1+n+21+n)-1=12(n+1-2n+1)2+2-1,所以當(dāng)n+1=2n+1,即當(dāng)n=2-1時(shí),S取得最小值2-1.

    總之,數(shù)學(xué)解題教學(xué)不能拘泥于只注重技巧的“怎樣做”,而應(yīng)基于知識(shí)轉(zhuǎn)化之下,通過追根溯源,著重講清“為什么這樣做”(即怎么想到這樣做)和“同一類型怎么做”.唯有如此,方能真正做到“以題會(huì)類”,從而把能力培養(yǎng)和“減負(fù)增效”落到實(shí)處.

    參考文獻(xiàn)

    [1]馬先龍.構(gòu)造圖形打開解中考幾何最值問題的突破口[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2014(10):52-53.

    作者簡(jiǎn)介劉華為,男,1968年10月生,中學(xué)高級(jí)教師,區(qū)學(xué)科帶頭人.發(fā)表文章40余篇,并出版專著《中考?jí)狠S題:怎樣解,為何這樣解》.

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