敢于放手 無問西東

郭新俊

[摘? 要] 求線段和最小值問題是初中階段的重要考點也是難點. 文章旨在解決一個含三個動點的線段和最小值問題，利用化動為靜的思想先固定其中一個點，再利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想將其轉(zhuǎn)化為含兩個動點的線段和最小值問題[1]，最終依托點與直線的連線中垂線段最短得以解決.

[關(guān)鍵詞] 線段和;對稱點;垂線段;轉(zhuǎn)化

在學(xué)習(xí)完蘇科版八年級上冊第二章軸對稱圖形時，一天數(shù)學(xué)課代表來辦公室咨詢一個含有三個動點求線段和最小值問題. 從學(xué)習(xí)新課到講解習(xí)題課，學(xué)生遇到的多是含一個動點或者兩個動點的線段和最小值問題，像這種含三個動點的線段和最小值問題，對于學(xué)生來說難度過大. 但筆者所帶的這個班級學(xué)生基礎(chǔ)較好，能力較強，有好幾個對數(shù)學(xué)十分感興趣的學(xué)生建議將此題拿到班級講解. 恰逢筆者所在學(xué)校的教研組正實施初中數(shù)學(xué)“綜合與實踐”教學(xué)的校本化研究，需要筆者開設(shè)一節(jié)活動課，于是經(jīng)過一段時間的構(gòu)思，筆者在校內(nèi)上了關(guān)于此題的一節(jié)活動課，現(xiàn)將其部分課堂實錄及一些不太成熟的思考整理出來，請同仁們批評指正.

教學(xué)實錄

1. 原題呈現(xiàn)

教師先用幾何畫板出示題目，請同學(xué)們先思考.

如圖1，請在△ABC的三邊AB，AC，BC上分別確定一點E，F(xiàn)，D，使△DEF周長最小.? （學(xué)生思考幾分鐘基本上一臉茫然）

[圖1][B][C][A]

2. 洞察本質(zhì)

師：求三角形周長最小值在數(shù)學(xué)中屬于什么問題？

生1：線段最小值問題.

生2：線段和最小值問題.

師：補充得很好，解決這類問題最終的落腳點在哪里？

生3：兩點之間線段最短.

師：正確，還有補充的嗎？

生4：點與直線的所有連線中，垂線段最短.

師：非常好.

3. 經(jīng)驗回顧

師：請你寫出以前學(xué)過的類似的問題并思考解決方案. （學(xué)生思考并在學(xué)習(xí)單上書寫共5分鐘）

生5：我想到的是“將軍飲馬”問題，如圖2，在直線l上找一點P，使得PA+PB最小.

[圖2][l][A][B]

師：非常好，你是如何解決這個問題的？

生5：如圖3，作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點P，點P即為所求.

[圖3][l][A][B][P][A′]

師：很好，你是怎么想到的？

生5：兩點之間線段最短.

師：能具體展開解釋嗎？

生5：額……

生6：這里有個轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過對稱變換將同側(cè)PA+PB轉(zhuǎn)化為異側(cè)PA′+PB，從而實現(xiàn)兩點之間線段最短.

師：非常棒，請坐. 哪位同學(xué)能解釋為什么此時PA+PB就是最小的？

生7：如圖4，在直線l上任意取一點P′，根據(jù)兩點之間線段最短或者三角形兩邊之和大于第三邊易證：A′B

[圖4][l][A][B][P][A′][P′]

師：好，思維很縝密. 還有想到別的問題的嗎？

生8：我想到的是這樣一個題目：如圖5，點P在∠AOB內(nèi)部，在OA，OB上分別找一點M，N，使得△PMN周長最小.

[圖5][A][B][P][O]

師：這是一個含有兩個動點的線段和最小值問題，你如何解決這個問題？

生8：如圖6，過點P分別作OA，OB的對稱點P1，P2，連接P1P2分別交OA，OB于點M，N. 點M，N即為所求.

[圖6][A][B][N][O][M][P][P2][P1]

師：生8找到的△PMN的周長是不是最小，為什么？

生9：是的，如圖7，在OA，OB上再分別任意找一點M′，N′，根據(jù)兩點之間線段最短不難說明PN′+M′N′+PM′>PP，而PP的長即為△PMN的周長.

師：兩位同學(xué)說得都非常好，那你們有誰能告訴我，為什么要向兩邊作對稱點？

生9：記模型背公式. （全班一陣歡笑）

師：還有哪位同學(xué)有想法的？（全班陷入一片寂靜）

師：還記得剛才在解決將軍飲馬問題時所考慮的數(shù)學(xué)思想方法嗎？（有幾個學(xué)生在下面小聲答道：轉(zhuǎn)化）

師：對，就是轉(zhuǎn)化，這時我們也可以將它轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問題，再想想. （這時有一位同學(xué)很激動地舉起手）

生10：如圖8，先在OB上任意找一點固定為N，此時問題就轉(zhuǎn)化為了將軍飲馬問題，原△PMN的周長就是圖9中線段PN+PN的和. 由于點N1位置的任意性，也可以另取一點N，如圖10，此時原△PMN的周長就是圖中線段PN+PN的和，這樣的點N有無數(shù)個.

[圖8][A][B][P][O][N1]

[圖9][A][B][P][O][N1][M1][P2]

[圖10][A][B][P][O][N1][M1][P2][N2][M2]

師：這位同學(xué)給我們做了一個十分漂亮的轉(zhuǎn)化，但是問題還是沒解決??！少年們還需努力啊?。ㄍ瑢W(xué)們都被逗樂了）

師：現(xiàn)在把OA擦去，如圖11，你有新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生11：原△PMN的周長最小就是求在OB上找一點N，使PN+PN最小，這又是將軍飲馬問題，作法如圖12. 作點P關(guān)于直線OB的對稱點P，連接PP交直線OB于點N，交直線OA于點M，點N，M即為所求，如圖13.

師：非常好，此處應(yīng)該有掌聲?。ㄈ喙恼疲?/p>

4. 解決問題

師：同學(xué)們，回顧以上求解過程，帶著解題經(jīng)驗讓我們來看今天的問題，你有什么新的想法？

生12：本題有三個動點，我們也可以像剛才一樣先在BC上固定一個點D，原題就變成在AB，AC上分別確定一點E，F(xiàn)，使△DEF周長最小，從而變成了生8想到的那個題目. 作法如圖14，作點D關(guān)于直線AB，AC的對稱點M，N，連接MN，線段MN的長就是所求三角形的周長. 當(dāng)然這樣的D也不止一個，還可以找D，如圖15，線段MN的長就是所求三角形的周長. 也就是說，求三角形的最小周長就是找一條最短的線段MN，這是我想到的.

師：說得太好了，他用了一個類比的數(shù)學(xué)思想帶我們朝著目的地前進(jìn)了一大步. 正如他所說，求三角形的最小周長就是找一條最短的線段MN，如何找呢？（同學(xué)們又一次陷入了疑云中）

師：我們先思考以上那些線段MN有什么共同之處？先獨立思考完，小組之間交流一下. （同學(xué)們進(jìn)入激烈的討論中，此時教師在巡視的過程中依然沒有發(fā)現(xiàn)有價值的成果）

師：請同學(xué)們看一下我們曾經(jīng)做過的這個題目，對你有什么啟示？（此時教師利用多媒體呈現(xiàn)了一道學(xué)生作業(yè)中的習(xí)題）

習(xí)題呈現(xiàn)：如圖16，∠AOB及平面內(nèi)一點P，試畫出點P關(guān)于直線OA的對稱點P1，再畫出點P關(guān)于直線OB的對稱點P2，在畫圖的過程中你有什么發(fā)現(xiàn)？

[圖16][A][O][B][P]

生13：我想起來了，把所有的點M和N都和點A連接起來，如圖17，這樣就得到了無數(shù)個以線段MN為底邊的等腰三角形.

[圖17][B][D1][C][N1][A][M1][D2][N2][M2]

師：很好，還有補充的嗎？

生14：這些等腰三角形的頂角都一樣大，都等于∠CAB的兩倍.

師：棒極了，還有嗎？（教師的熱情也被點燃了）

生15：這些等腰三角形的腰長都等于相應(yīng)的線段AD長.

師：完美，頂角相等的等腰三角形底邊的長短跟哪個因素相關(guān)呢？

生16：腰長（齊聲答）.

師：剛才求最短的線段MN就是求什么？

生17：最短的線段AD.

師：線段AD什么時候最短？

生18：垂線段最短（齊聲答）.

師：今天你們的表現(xiàn)真太精彩了……

教學(xué)板書

[三動點線段和最小][垂線段最短][轉(zhuǎn)化][單動點線段和最小

——將軍飲馬問題][兩點之間線段和最小][比較等腰三角形

的腰長][比較等腰三角形

的底邊長][?][雙動點線段和最小][轉(zhuǎn)化][?][轉(zhuǎn)化][?][?][?][?][?][圖18]

幾點思考

1. 放手：基于學(xué)生學(xué)情

本節(jié)課上下來，總體上比較流暢. 首先，得力于對學(xué)生學(xué)情的充分認(rèn)識和了解. 筆者在備課時，一直都想著這個班學(xué)生的知識掌握情況，哪里可以完全放手，哪里需要適當(dāng)引導(dǎo)都必須提前預(yù)設(shè)好. 即在經(jīng)驗回顧環(huán)節(jié)，筆者成功預(yù)設(shè)到學(xué)生能想到將軍飲馬問題和含兩個動點線段和的問題，這樣就自然調(diào)動了學(xué)生的積極性和主動性. 這樣的放手就比教師直接給引例讓學(xué)生去思考的效果好了許多.

對學(xué)情的了解不僅僅是了解全班整體學(xué)生的情況，對于每個人的情況也需要關(guān)注. 筆者嘗試放手將問題交給全班學(xué)生探究，以這樣的方式完成課堂的教學(xué)任務(wù)完全沒有問題，但是可能會出現(xiàn)一個現(xiàn)象：只有思維好的學(xué)生在交流，思維慢一些的學(xué)生開始是跟不上節(jié)奏，后來就索性沉默，完全是在觀看他們的同學(xué)“表演”. 這樣的探究恐怕只能是少數(shù)人的探究，也違背了“非獨立不合作探究”的原則. 于是，本著尊重每一位學(xué)生，筆者要求在探究之前必須讓所有學(xué)生先獨立思考，可以把思考的結(jié)果簡要地在學(xué)習(xí)單上寫出來，然后交流，如果獨立思考有困難，可以直接討論. 這樣一個小的設(shè)計，立刻能讓所有的學(xué)生都參與進(jìn)來，而且能得到很多意外的“收獲”. 因為有些學(xué)生怯于在全班同學(xué)面前表達(dá)自己的觀點，而他們很樂意在學(xué)習(xí)單上寫出來. 記得一次市教研活動上，一位特級教師就強調(diào)過：“數(shù)學(xué)課上要有靜悄悄”. 現(xiàn)在想來的確是這樣，每一個有深度的問題都需要獨立思考時的“靜悄悄”，這也是基于學(xué)情進(jìn)行教學(xué)設(shè)計的一個重要方面.

2. 放手：基于科學(xué)理論

課堂上教師的敢于放手不僅要對學(xué)情有充分的了解，更要有一定的科學(xué)理論作為指導(dǎo). 美國著名數(shù)學(xué)家波利亞在他的著作《怎樣解題》中說：“我們幾乎不可能想出一道全新的題目，它和以前解過的題目既不相像，又無聯(lián)系. 而且假如有這樣的題目存在，它也是解不出來的. 事實上，我們在解題時總是得益于以前曾解過的那些題目，應(yīng)用它們的結(jié)果或者方法，或者我們在解答中所獲得的經(jīng)驗.[2]”正如本節(jié)課研究的含三個動點的線段和最小值問題，學(xué)生雖然剛開始拿到題目有些茫然，但根據(jù)波利亞的解題理論，先思考以前研究過的類似的問題以及解決那些問題的策略和方法，再回頭看問題學(xué)生能很快、很自然地想到，將三個動點中的一個動點先定下來，而去考慮另外兩個點，即化動為靜的策略. 這樣的放手，有著理論知識的指導(dǎo)，學(xué)生不僅僅學(xué)會了這一題的解法，更是學(xué)會了遇到新的問題時的思考方法.

3. 放手：基于有效鋪墊

綜合實踐課基本上是以學(xué)生的探究活動為主，但教師也不能從頭到尾一味地放手，否則會出現(xiàn)兩種情況，要么離本節(jié)課主題越來越遠(yuǎn)，要么在某個環(huán)節(jié)卡住使得探究活動進(jìn)行不下去，此時教師給予適當(dāng)?shù)匿亯|就顯得尤為重要. 而這一鋪墊到底該什么時候給，以什么樣的形式給，那就要考驗教師的能力了. 著名的維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”強調(diào)：教師應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，根據(jù)學(xué)生認(rèn)知水平，為學(xué)生提供帶有難度的內(nèi)容，調(diào)動學(xué)生的積極性.

為了靠近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，筆者認(rèn)為有效的鋪墊可以是一個追問、也可以是一道學(xué)生做過的習(xí)題. 就如同本節(jié)課在解決含兩個動點的線段和問題時，當(dāng)被問到為什么要向兩邊作對稱點，同學(xué)們都安靜了. 筆者提示性地問“還記得剛才在解決將軍飲馬問題時所考慮的數(shù)學(xué)思想方法嗎？能否也將其轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問題呢？”這時同學(xué)們才恍然大悟. 還有一個地方也是本節(jié)課最難攻克的障礙：在解決含三個動點的線段和最小值問題時，當(dāng)學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了求三角形的最小周長就是找一條最短的線段MN時，筆者的設(shè)計是呈現(xiàn)了一道學(xué)生之前做過的關(guān)于對稱性質(zhì)的習(xí)題. 雖然學(xué)生通過對此題的回憶也順利找到了課上的難題的突破口，但筆者還是感覺有些牽強，提示過于明顯. 即便如此，本節(jié)課還是在下課鈴聲響起之后而急急忙忙收尾. 緊接著的研討會上，教研組長問聽課的三十多位老師有多少人當(dāng)時想到如何找最短的線段MN，統(tǒng)計完也只有一半的老師能想到. 所以對于學(xué)生來說，思維的要求有些過高了. 當(dāng)然，如果本節(jié)課在上課時間上做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，將四十五分鐘改成一個小時或者干脆兩節(jié)連上，這樣留給學(xué)生更多的思考和探究時間，或許孩子們能給我們帶來更大的驚喜.

參考文獻(xiàn)：

[1]酈興江. 構(gòu)建模型提煉策略? 層級推進(jìn)數(shù)學(xué)思考——以“最短路程問題”為例[J] . 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（35）.

[2]波利亞. 怎樣解題[M]. 上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2011.