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    例說定點與定直線的最短路徑問題解決策略

    2021-08-11 02:20:01魏春瑋
    學校教育研究 2021年13期
    關鍵詞:對稱點作法對稱軸

    魏春瑋

    最短路徑問題是初中數(shù)學中非常重要的知識,很多同學們在學習和應用時經(jīng)常會遇到困難。求定點與定直線的最短路徑,主要是利用兩點之間線段最短,軸對稱的性質(zhì)等知識來解決,特別是要用軸對稱進行轉(zhuǎn)換。這里充分體現(xiàn)了數(shù)學建模、幾何直觀、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)的考察。我們知道,“一個圖形沿一條直線折疊,它能夠與另一個圖形重疊,就說這兩個圖形關于這條直線成軸對稱,這條直線叫做對稱軸,折疊后重合的點叫做對稱點;對稱軸是任何一對對稱點所連線段的垂直平分線,即對稱點到對稱軸上的任意一點距離都相等。”這是解決這類最短路徑問題的關鍵。下面分別對幾種定點與定直線的最短路徑問題進行舉例說明。

    一、兩定點與一條定直線中的最短路徑

    例1.如圖1,已知直徑a和直線a外兩A、B,A、B在直線a兩側,在直線a上求作一點P,使PA +PB最短。

    分析:兩定點A、B在直線a兩側,過兩定點A、B的直線一定與直線a相交,根據(jù)兩點之間線段最短,知交點到兩定點A、B的距離的和最短。

    作法:連接A,B交直線L于點P,則點P就是要求作的點。

    例2.要在河邊修一個水泵站,分別向在河同一側的張村和李莊送水,水泵站修在河邊的什么地方,可使所用的水管最短?并說明理由。

    已知:在直線a及其同側的兩點A、B,求作點C,使點C在直線a上,并且AC +BC最短。

    分析:A、B兩點在直線a同側,能不能把它轉(zhuǎn)換成例1的問題來解決呢?我們知道對稱點到對稱軸上的任意一點距離都相等,作點A關于直線a的對稱點A',即將點A轉(zhuǎn)移到直線a的另一側A'點,并不影響它到直線A上的任意一點距離。因此,作點A關于直線a的地稱點A',就把A、B兩點轉(zhuǎn)換成在直線a兩側的兩點A'、B,變成例1問題就解決了。

    作法:①作點A關于直線a的對稱點A',

    ②連接A'B交直線a于點C,則點C為求作的點。

    理由:在直線a上另外任取一點C',連接AC、AC'、A'C'、BC'

    直線a是線段AA'的對稱軸,點C和C'在直線a上

    AC=A'C,AC'=A'C'(線段垂直平分線上的點與這條線段的兩個端點的距離相等)。

    在 BA'C'中,A'B

    所以AC +BC

    即AC +BC最短。

    二、兩定點與兩條定直線的最短路徑

    例3.如圖3,已知點A、B和相交直線m、n,分別在直線m、n上各取一點C和D,使AC +CD +DA最短。

    作法:連接AB交直線m于點C,交直線n于點D,則點C和D就是要求作的點。

    例4.如圖4,A為馬廄、B為帳篷,牧馬人有某一天要從馬廄牽出馬,先到草地邊某處牧馬,再到河邊飲馬,然后回到帳篷,試確定這一天的最短路線。

    已知:如圖5,點A、B在兩直線EF和MN相交所成的四個角中的一個角的內(nèi)部,

    求作:在直線MN和EF上長各找一點C和D,使得AC +CD+DB最短。

    分析:A、B兩點在直線a同側,能不能把它轉(zhuǎn)換成例1的問題來解決呢?作點A關于直線MN的對稱點A',作點B關于直線EF的對稱點B',就變成例3的問題了。

    作法:①作點A關于直線MN的對稱點A',

    ②作點B關于直線EF的對稱點B',

    ③連接A'B'分別交直線MN和EF于點C和D,

    ④連接AC、BD,則C、D為所求作的點。

    三、一定點與兩定直線的最短路徑

    例5.如圖6, P是銳角 AOB內(nèi)的一點,在 AOB的兩邊分別找點M、N使得PM +MN +PN最短。

    分析:若把P看成是兩個重合的點,就是例4的特殊情況,用例4的方法就解決了。

    作法:①作點P關于直線OA的對稱點 ,

    ②作點P關于直線OB的對稱點 ,

    ③連接 ?交OA于點M,交OB于點N,則點M、N為所求。

    證明:連接PM、PN,在邊OA上任取一點E,在邊OB上任取一點F,連接PE、PF、EF、E 、F

    與P關于OA成軸對稱, ?與P關于OB成軸對稱,

    OA是 P的垂直平分線,OB是 P的垂直平分線。

    M =MP,E =EP,N =NP,F(xiàn) =FP,

    PM +MN +NP = M +MN + N = ?,

    PE +EF +FP =E +EF +F > ?,

    PM +MN +NP

    即PM +MN +NP最短。

    由上可見,最短路徑的確定,主要是把幾個路徑不在同一直線上的問題,通過軸對稱的性質(zhì)轉(zhuǎn)變成在同一條直線上問題來解決,把較復雜的問題轉(zhuǎn)化成較簡單的問題來解決,使同學們的化歸思維能力得到一定鍛煉。

    解決上述問題學生經(jīng)歷了從“覺悟”與“實踐”的過程。通過合理設計揭示了形與數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系,發(fā)揮數(shù)學建模思想在解決實際問題中重要作用,同時學會勤于思索、善于挖掘、勇于探索的學習方法,發(fā)展了創(chuàng)新能力。

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