對稱點偶的基圓方程及其性質*1

張建元，張毅敏，胡曉飛，韓 艷

(昭通學院數學與統計學院，云南 昭通 657000)

對稱點偶的基圓方程及其性質*1

張建元，張毅敏，胡曉飛，韓 艷

(昭通學院數學與統計學院，云南 昭通 657000)

給出了以2定點為對稱點偶的基圓方程(即表達式),利用它研究了基圓的一些性質,得到對稱點偶的基圓唯一存在的條件.在幾何變換方面解決了關于圓周的反演變換的一個逆問題，即給定對稱點偶及半徑等條件求基圓.

對稱點;基圓;反演變換;比值;方程;分布;性質;唯一性

在文獻[1-7]中,給出了“2定點關于圓周對稱”的概念以及“到2定點的距離之比等于常數(≠1)的點的軌跡是圓周”的結論.由于它們都涉及“兩點一圓周”,因此自然會問前者的圓周是否滿足后者的條件,而后者的2點是否關于軌跡圖圓周對稱.若答案是肯定的,則上述2個問題可簡化為1個問題.進一步可考慮關于圓周的反演變換的逆問題：“給定一對點偶,能否求一個圓周,使它們關于圓周對稱.若能,此圓周唯一存在的條件是什么？”對于提出的這個問題,筆者在文中進行了相關的研究.

1 基本概念與定理

定義1[1-8]設z(k)≡x+iky(0≠k∈R)為z=x+iy的K-復數，p,q是平面上的2點,C是平面上的一條直線或圓周.

(ⅰ)若p與q分別在直線C的兩側,C垂直且平分線段pq,則稱p,q關于直線C對稱.

(ⅱ)若p與q分別在圓周C(z0,r)的內外,滿足

(p-z0)·(q-z0)(-1)=r2,

(1)

等價地滿足

|p-z0||(q-z0)|=r2，arg(p-z0)=arg(q-z0)+2nπn∈Z，

(2)

則稱p,q關于圓周C(z0,r)對稱.

2種情況統稱p與q是C的對稱點偶,C是對稱點偶p，q的基圓(軸).

若點p(或q)是按(2)式中的對應關系由q(或p)變得,則稱這個變換為關于圓的反演,p(或q)稱為q(或p)的反演像點,圓周稱為p,q的反演基圓.反演基圓在反演中占有很重要的地位.下面將給出在已知對稱點偶下的基圓的表達式(即方程).

定理1[1-9](ⅰ) 若p與q關于直線C對稱,則C的方程是

|z-p|/|z-q|=1.

(3)

(ⅱ) 若p與q關于圓周C對稱,則C的方程是

|z-p|/|z-q|=λ0<λ≠1,λ∈R，

(4)

其中C的圓心和半徑分別為z0=(p-λ2q)/(1-λ2),r=λ|q-p|/|1-λ2|.

證明(ⅰ) 設直線C:ax+by+c=0.其中a,b,c∈R,a,b不同時為0,C的方向為(-b,a).作變換x=[z+z(-1)]/2,y=[z-z(-1)]/2i,有

C:α(-1)z+αz(-1)+c=0，

(5)

其中α=(a+ib)/2,即2iα=-b+ia,C的方向為2iα.C的方向用復數表示為iα.因p,q關于直線C對稱,中點z0=(p+q)/2∈C且(p-q)C,故有

α(-1)(p+q)+α(p+q)(-1)+2c=0，

(6)

α(-1)(p-q)-α(p-q)(-1)=2iRe(iα(p-q)(-1))=0.

(7)

(6)式加(7)式得

α(-1)p+αq(-1)+c=0.

(8)

(5)式減(8)式得α(-1)(z-p)+α(z-q)(-1)=0,即對于任意的z∈C,有|z-p|/|z-q|=1.

反之,由“到2定點等距的點的軌跡是2點連線段的中垂線”可知(3)式滿足條件.

(ⅱ) 設圓周C:|z-z0|=r,由條件p,q關于圓周對稱,有

(9)

(10)

(11)

因C:|z-z0|2=r2,即

zz(-1)+z0(-1)z+z0z(-1)+|z0|2-r2=0，

(12)

故代(9)—(11)式入(12)式得

(13)

去分母,化簡[(z-p)(-1)](z-p)-λ2[(z-q)(-1)](z-q)=0,即(|z-p|/|z-q|)2=λ2,亦即|z-p|/|z-q|=λ.故對于任意的z∈C皆滿足(4)式且(9),(10)式成立.

這就是“到2定點的距離之比等于常數(≠1)的點的軌跡是圓周C”.

下證p,q關于圓周C對稱.設t?(p-q)/(1-λ2)≠0,r=λ|q-p|/|1-λ2|=λ|t|,|t|=r/λ,p-z0=λ2t,q-z0=t.|p-z0|=λ2|t|=λr,|q-z0|=|t|=r/λ.當0<λ<1時,|p-z0|r,即p,q分別在C的內外;當λ>1時,|p-z0|>r,|q-z0|

將(4)式所表示的圓周稱為阿波羅尼斯(Apollonius)圓,簡稱為阿氏圓.

合并(3)與(4)式得圓周或直線的一般方程:|z-p|/|z-q|=λ(0<λ∈R).簡記為C(p,q,λ)或C(λ).λ是方程的參數,當λ=1時,C(λ)為直線,當0<λ≠1時,C(λ)為圓周.p,q都是它們的對稱點.

引進無窮遠點∞,直線可看成是半徑為無窮大,或是圓心的模趨于∞時圓周的極限,由(9)或(10)式知，當|z0|→∞或r→∞時,有λ→1,即C(λ)→C(1).此時(3)式(甚至與直線有關的概念)可歸入(4)式.

2 基本性質

當0<λ≠1時,C(λ)為圓周,p,q都是它的對稱點,p,q在從圓心出發(fā)的同一條射線上.設C(λ)與pq所在直線交于a,b(ab為C(λ)的直徑),p,q,a,b,z0這5點共線于pq所在直線.這些點在直線pq上的位置關系,分pq所得線段的長度以及它們的比值如何？若將p,q分別在圓周C內外的位置關系稱為p,q分布，則p,q分布如何？對于這些問題,有如下結論.

定理2[5-7](p,q分布定理) 設p,q是C(λ)的對稱點偶,C(λ)與pq所在直線交于a,b,則當0<λ<1時,p,q分別在C(λ)的內與外,即p,q分別為直徑ab的內外分點;當λ>1時,p,q分別在C(λ)的外與內,即p,q分別為直徑ab的外內分點.反之也成立.

定理3[5-7](比值定理) 在定理2的條件下，有：

(ⅰ)p,q外分與內分(或內分與外分)直徑ab的比值為|1-λ|/|1+λ|(0<λ≠1)；

(ⅱ)a,b內分與外分(或外分與內分)線段pq的比值為λ≠1,其中分點a,b(或b,a)分別為

(p+λq)/(1+λ),(p-λq)/(1-λ)，

(14)

且對于任意的z∈C,za,zb分別是∠pzq的內外(或外內)平分線.

圖1 C(λ)(0<λ<1)的示意

圖2 C(λ)(λ>1)的示意

同理可證a,b外分與內分線段pq的比值為λ≠1,分點a=(p-λq)/(1-λ),b=(p+λq)/(1+λ)，且對于任意的z∈C,za,zb分別是∠pzq的外內平分線.即定理3(ⅱ)獲證.

定理4[5-7](比值定理的逆) 若p,q將一個圓周C的直徑外分與內分(或內分與外分)的比值為|1-λ|/|1+λ|(0<λ≠1)，則圓周C上任意點到p與q的距離的比值為λ,且p,q關于圓周C對稱.

證明設C的直徑為ab.(ⅰ) 因p,q將ab外分與內分為定值(λ-1)/(1+λ),則a,b分別為pq的內分與外分點.此時p,q分別在C的外與內(見圖2).就線段的長度而言,qb=pb-(pa+aq),即pb-qb=pa+aq(q內分ab).

(ⅱ) 因p,q將ab內分與外分為定值(1-λ)/(1+λ),則a,b分別為pq的內分與外分點.p,q分別在C的內與外(見圖1)，bq=bp+(pa+aq)(q外分ab).

綜合(ⅰ)與(ⅱ),定理4獲證.

定理5[5-7]p,q將一個圓周的直徑外分與內分(或內分與外分)的比值為|1-λ|/|1+λ|(0<λ≠1)的充要條件是，這個圓周上任意點到p與q距離的比為定值λ,且p,q關于圓周對稱.

證明由定理3(ⅰ)可得其充分性，由定理4可得其必要性.顯然p,q關于圓周對稱.

在定理3的推證過程中已經給出了pq所在直線上一些線段的長度的關系式,下面將繼續(xù)給出其上一些與基圓的圓心有關的(有向)線段的長度及其比值.

定理6[1-7](基圓心的性質) 在定理2的條件下,設線段ab,pq的中點分別為z0=(a+b)/2,z1=(p+q)/2,r=|a-b|/2,r1=|q-p|/2,則：

(ⅰ)z0外分有向線段pq的比值為λ2.當0<λ<1時,z0在pq的反向延線上,即z0在p的外側,z1z0與pq方向相反;當λ>1時,z0在pq的延線上，即z0在q的外側,z1z0與pq方向相同.

(ⅱ)

(15)

z0=(p+q)/2±eiθ(r2+(|q-p|/2)2)1/2,θ≡arg(q-p)，

(16)

當0<λ<1時,(16)式取“-”，當λ>1時,(16)式取“+”.

(ⅲ)z1到C(z0,r)的切線長等于r1.

證明(ⅰ) 由定理1知(p-z0)/(q-z0)=λ2>0,則z0是有向線段pq的外分點[5-6],且外分的比值為λ2.當0<λ<1即0<λ2<1時,z0在pq的反向延線上,即z0在p的外側.又z1為pq中點,z1z0與pq方向相反;當λ>1時,z0在pq的延線上,即z0在q的外側,z1z0與pq方向相同(見圖1,2).

(ⅲ)z1在C(z0,r)之外,又z∈C(z0,r),z1z⊥z0z,此時z1z必是z1到C(z0,r)的切線,其長度等于r1.

注1 定理1與定理6分別給出了不同形式的2個基圓的圓心公式,即(9)式與(16)式,分別簡記為z0(p,q,λ)與z0(p,q,r).它們都依賴于參數λ,但前者關于λ是定量的,而后者關于λ是定性的，它們各有用途.

注2 在C∞中,圓族C(λ)(λ≥0)的變化規(guī)律是,C(λ)中圓周的半徑和圓心是隨參數λ的變化而變化的.(ⅰ)當λ=0時,由(14)式得a=b=z0=p,r=0,C(0)≡p是點圓.(ⅱ)當0<λ≤1時,λ:0→1,有a:p→z1≡(q+p)/2(沿pq方向),b或z0:p→∞(沿qp方向),r:0→∞,C(λ):p→C(λ)→C(1).因C(λ)⊥pq相交于a,故C(1)⊥pq相交于z1,即C(1)為pq的中垂線.(ⅲ)當λ≥1時,令λ=1/λ′(0<λ′<1),由C(λ)(λ>1)得C(λ′)(0<λ′<1),此時C(λ′)的圖形是圖1的背面透明圖中p,q的位置互換(見圖2).由(ⅱ)知,λ:1→∞(即λ′:1→0),a:z1→q,b或z0:∞→q,r:∞→0,令C(∞)≡q,C(λ):C(1)→C(λ)→q.

注3 將文獻[5]中P32§59的定理“反過來,如果A,B是2個點,將一圓的直徑MN外分與內分為比±k,那么這圓上任一P點到A與B的距離的比為定值k”簡稱為“命題1”.

命題1中的條件是不充分的.事實上,假設命題1的結論成立,圓周應為阿氏圓,記為C(k).此時A,B分別在C(k)的外與內,有k>1.由定理3(ⅰ)可得，A,B將C(k)的直徑MN(有向線段)外分與內分為比±(k-1)/(k+1).另一方面由命題1的條件點A外分直徑MN,則AM/AN=k>0.那么(k-1)/(k+1)=k,即k2=-1,矛盾.若將命題1的條件改為定理4中的第1種情況,結論成立.即在有向線段中,命題1應更正如下:如果A,B是2個點,將一圓的直徑MN外分與內分為比±(k-1)/(1+k)(k>1),那么這圓上任一P點到A與B的距離的比為定值k.

3 對稱點偶的基圓周的確定

由前面部分已知若一個圓周為阿氏圓C(λ),則2定點p,q關于圓周C(λ)對稱,反之給定一對點偶p與q,能否確定一個圓周,使p,q關于此圓周對稱.當λ=1時,C(λ)為直線,給定一對點偶p與q,直線可唯一確定,即線段pq的中垂線.對于通常的圓周,答案是否定的,甚至添加所求圓周的半徑,即p,q,r都已知,圓周也未必唯一確定.

如果1/2,2同時關于r=1的2個圓周C(0,1),C(5/2,1)對稱,那么以p，q為對稱點偶的基圓唯一存在的條件是什么?對于此問題,有如下結論.

定理7[1-7](唯一性定理) 若下列條件之一滿足,則以p，q為對稱點偶的圓周唯一確定:

(ⅰ) 已知圓周的對稱點偶p,q及比值λ或圓心z0;

(ⅱ) 已知圓周的半徑,對稱點偶p,q及其分布(λ<1或1/λ>1).

證明因確定一個圓周需兩要素:圓心與半徑.

(ⅰ) 當z0已知時,由(p-z0)/(q-z0)=λ2(0<λ≠1)可得λ,故已知圓周的對稱點偶p,q及比值λ或圓心z0時,由(9),(10)式得z0(p,q,λ),r(p,q,λ),從而圓周C(z0,r)唯一確定.

由韋達定理得λ2(-)λ2(+)=1,即λ2(+)=1/λ2(-)>1,從而0<λ2(-)<1<λ2(+)=1/λ2(-),即0<λ(-)<1<λ(+)=1/λ(-).令λ=λ(-),則λ(+)=1/λ>1(0<λ<1).分別代λ,1/λ入(9)式得相應的圓心z0(λ),z0(1/λ).故當0<λ<1時,圓周C(z0(λ),r)唯一確定,且p,q分別在C的內與外;而1/λ>1時,圓周C(z0(1/λ),r)唯一確定,且p,q分別在C的外與內.

無論何種情況,也無論0<λ<1或1/λ>1,由條件所確定的圓周都是阿氏圓C(λ)(0<λ≠1).由定理1知2定點p,q關于圓周C(λ)對稱也是顯然的.

圖3 C(z1,r1)與C(λ)及C(1/λ)(0<λ<1)正交的示意

推論1 若已知圓周的半徑及對稱點偶p,q,則以p與q為對稱點偶的圓周有且只有2個,即C(λ),C(1/λ)(0<λ<1),其中圓周的參數互為倒數,圓心z0(λ),z0(1/λ)分別由(16)式確定,且C(λ)與C(1/λ)關于z1對稱(見圖3).

故z′+z″=z0(λ)+reiθ+z0(1/λ)+rei(π+θ)=2z1,其中?z′≡z0(λ)+reiθ∈C(λ),z″≡z0(1/λ)+rei(π+θ)∈C(1/λ)(0≤θ≤2π).

在唯一性定理的條件之下,以p與q為對稱點偶的圓周唯一確定,關于圓的反演也就隨之而定.利用反演變換的一些性質和初等作圖法,不難分別作出滿足定理3種條件的反演變換,即作出任意M(≠z0,p,q)關于基圓的反演像點M′.

例1 已知1/3,3是圓周C(z0,1)的對稱點偶:

(ⅰ) 試確定滿足條件的圓周C(z0,1);

(ⅱ) 討論圓周C(z0,1)與C(z1,r1)關系，這里z1=(1/3+3)/2=5/3,r1=(3-1/3)/2=4/3.作出它們的示意圖.

解(ⅰ) 法一:r=1,由(10)式得1=λ2|3-1/3|2/(1-λ2)2=(8λ/3(1-λ2))2,即3λ2+8λ-3=(3λ-1)(λ-3)=0,解得λ=1/3,λ=3.由(9)式得z0(1/3)=(1/3-1/3)/(1-1/9)=0,z0(3)=(1/3-27)/(1-9)=10/3.λ=1/3<1,1/3與3關于圓周C(0,1)對稱,且它們分別在C(0,1)的內外;λ=3>1,1/3與3關于圓周C(10/3,1)對稱,且它們分別在C(10/3,1)的外內.

法二:z1=5/3,由(15)與(16)式得|z1z0|=(1+(4/3)2)1/2=5/3,θ≡arg(3-1/3)=arg(8/3)=0.當0<λ<1時,z0(λ)=z1-|z1z0|=5/3-5/3=0,當1/λ>1時,z0(1/λ)=z1+|z1z0|=5/3+5/3=10/3.1/3，3關于基圓周C(0,1)及C(10/3,1)的對稱性與分布同法一.由法二不難作出基圓周C(0,1)與C(10/3,1)的示意圖.

4 結語

給出了以2定點為對稱點偶的基圓的方程(即表達式)C(λ),并研究了λ的幾何意義——對稱點偶的分布、線段的比值等性質.利用它們得到了在已知對稱點偶的情況下基圓唯一存在的條件.在幾何變換方面解決了關于圓周的反演變換的一個逆問題(給定對稱點偶及半徑等條件求基圓)，同時更正了文獻[5]中的瑕疵.

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(責任編輯 向陽潔)

CircleofInversion’sEquationofSymmetricPointsPairandItsProperties

ZHANG Jianyuan,ZHANG Yimin,HU Xiaofei,HAN Yan

(School of Mathematics and Statistics,Zhaotong University,Zhaotong 657000,Yunnan China)

This paper gives the circle of inversion’s equation for the symmetric point pairsby two points,use it to study the circle of inversion’s some properties,and obtain the unique existence condition of the symmetric point pairs of circle of inversion.On the geometric transformation this paper has solved an inverse problem about the circle of transformation and inversion,which has given the symmetric points pair and radius of base inversion condition.

symmetric points pair;circie of inversoin;transformation of inversoin;ratio;equation;distribution;property;uniqueness

1007-2985(2014)04-0001-07

2013-12-30

國家自然科學基金資助項目(11061028);云南省教育廳科學研究項目(08Y0369，2010Y222，2013Y578)

張建元(1956-)，男,云南昭通人,昭通學院數學與統計學院教授，主要從事復分析、邊值問題研究.

O174.55

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.04.001