巧用軸對(duì)稱解決最短路線問題

于勝軍

第一，幾何模型見魯教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第二章第48頁.

原題：如圖1，直線l是草原上的一條小河.將軍從草原的A地出發(fā)到河邊飲水，然后再到B地軍營(yíng)視察.那么，他走什么樣的路線行程最短呢？

解析：作點(diǎn)A（或B）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′（或B′），連接A′B（或AB′）交直線l于點(diǎn)P，連接AP，其最短路線為A-P-B.

第二，模型應(yīng)用.

1.軸對(duì)稱的知識(shí)解決四邊形中的最短路線問題

變式1：如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，BE=2，AE=3BE.P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值是多少？

分析：利用點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D進(jìn)行求解.

解：如圖2，連接DE交AC于點(diǎn)P，此時(shí)PB+PE的值最小.由軸對(duì)稱得PB+PE=DE.在Rt△DAE中，AE=2，BE=6，AD=AE+BE=8.由勾股定理得DE=10，即PB+PE的最小值為10.

2.軸對(duì)稱的知識(shí)解決圓中的最短路線問題

分析：作點(diǎn)D關(guān)于直徑AB的對(duì)稱點(diǎn)D′求解.

3.軸對(duì)稱的知識(shí)解決函數(shù)中的最短路線問題

（1）求該函數(shù)的解析式.

（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PC+PD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).

（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使△PBC的周長(zhǎng)最小.請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

（2）連接AC，BC.因?yàn)锽C的長(zhǎng)度一定，所以△PBC周長(zhǎng)最小，就是使PC+PB最小.B點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是A點(diǎn)，AC與對(duì)稱軸x=-1的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.

由待定系數(shù)法可知直線AC的表達(dá)式為y=-23x-2.endprint