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    數(shù)學文化原創(chuàng)題(二)

    2019-11-25 02:54:58朱勝強
    新世紀智能(數(shù)學備考) 2019年10期
    關(guān)鍵詞:對稱點過點作圖

    朱勝強

    讀完了上一篇文章,做一道原創(chuàng)題試一試吧!

    原創(chuàng)題 如圖1,一張紙片上有兩個點F1,F(xiàn)2與一條直線.若以F1,F(xiàn)2為焦點的橢圓C與直線l恰有一個公共點.你能確定C與l的公共點嗎?

    提示 首先確定F2關(guān)于直線l的對稱點再連結(jié)′交直線l于一點P.則點P便是橢圓C與直線l的公共點.

    詳解 將紙張沿直線l折疊,在l的另一側(cè)得F2關(guān)于l的對稱點.連結(jié)交直線l于點M,則過點M且以F1,F(xiàn)2為焦點的橢圓C與直線l中恰有一個公共點,且M是C與l的唯一公共點.

    圖1

    依據(jù)上述作圖過程可知,M是C與l的公共點.下面說明M是C與l的唯一的共公點.

    假設(shè)它們存在異于M的另一公共點,記為M′,則M′在直線l上.

    所以,點M′不在橢圓C上,這與點M′是C與l的公共點矛盾.

    所以,過點M且以F1,F(xiàn)2為焦點的橢圓與直線l恰有一個公共點.

    圖2

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