高考題怎樣改編（二）
——函數(shù)篇

蘇 玖

一、真題展現(xiàn)

（2019年江蘇卷第14題）設(shè)f（x），g（x）是定義在R上的兩個周期函數(shù)，f（x）的周期為4，g（x）的周期為2，且f（x）是奇函數(shù).當(dāng)x∈（0，2]時，f（x）=，g（x）=其中k＞0.若在區(qū)間（0，9]上，關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有8個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是

二、思維延伸

本題f（x）是冪函數(shù)與二次函數(shù)復(fù)合的函數(shù)，g（x）是一次函數(shù)與常函數(shù)整合的分段函數(shù)，涉及二次函數(shù)的對稱性、函數(shù)的奇偶性、周期性、函數(shù)圖象等基本性質(zhì).

先利用奇偶性，得f（0）=0，于是函數(shù)f（x）在[0，2]上的圖象就是圓（x-1）2+y2=1 f（y（x≥）0在）在一x個軸周上期半x部∈[分-，2由，于2]f內(nèi)（x的）函是數(shù)奇圖函象數(shù)，，再因利此用，f周（x期）的性圖，可象以關(guān)作于出原f點（x對）稱在，所（0以，9就]上得出的函數(shù)圖象.首先利用周期性研究函數(shù)g（x）=-與f（x）圖象的交點情況，當(dāng)x∈（1，2]時，g（x）的圖象與f（x）的圖象無交點，但是，由于周期性，在x∈（3，4]和x∈（7，8]上各有一個交點.再研究g（x）=k（x+2）（k＞0）與f（x）圖象在x∈（0，1]的交點情況，利用直線與圓的位置關(guān)系來研究，但所限制的區(qū)間為（0，9]，只能考慮兩個半周期，要想得出8個交點，還有6個交點，于是每個半圓必產(chǎn)生2個交點，即直線段y=k（x+2）（x∈（0，1]）與四分之一圓（x-1）2+y2=1（y≥0，0x≤1）有2個交點，所以圓心到直線的距離dr，即1，解之得，0k

圖1

再利用函數(shù)圖象與k的幾何意義知當(dāng)直線段通過點（1，1）時合適，因此得k≥，故k的取值范圍為

根據(jù)解析式的代數(shù)特征，利用圖形描述問題，分析問題和解決問題.如果將本題中“f（x）是奇函數(shù)”改為“f（x）是偶函數(shù)”，于是可以改編為：

改編1 設(shè)f（x），g（x）是定義在R上的兩個周期函數(shù)，f（x）的周期為4，g（x）的周期為4，且f（x）是偶函數(shù).當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=，g（x）=中k＞0.若在區(qū)間（0，14]上，關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有11個不同的實數(shù)根，則k的取

本題函數(shù)f（x）的圖象幾何意義是圓的一部分，如果將解析式改為二次函數(shù)，于是又可以有：

改編2 設(shè)f（x），g（x）是定義在R上的兩個周期函數(shù)，f（x）的周期為4，g（x）的周期為2，且f（x）是奇函數(shù).當(dāng)x∈（0，2]時，f（x）=-x2+2x，g（x）=其中k＞0.若在區(qū)間（0，9]上，關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有8個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是

如果利用圓與橢圓圖形的一部分構(gòu)造分段函數(shù)f（x），再結(jié)合相關(guān)性質(zhì)，可以有：

改編3 已知f（x）是最小正周期為4的偶函數(shù)，函數(shù)g（x）=kx（x∈R），當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=若在區(qū)間（0，10]上，關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有9個不同的實數(shù)根，則正數(shù)k的取值范圍是

注意結(jié)合圖形充分利用圓的幾何性質(zhì)較為簡單，前面幾道題函數(shù)f（x）的最小正周期都是給定的，但也可以隱含在題干中，于是又可以有：

改編4 已知定義在R上的偶函數(shù)f（x），滿足f（1-x）=f（1+x），當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x2，函數(shù)g（x）=ax+a（a≠0），對于給定的正整數(shù)n，關(guān)于x的方程f（x）=g（x）在區(qū)間[2n-1，2n+1]上有兩個不同解，求a的取值范圍.

如果將“偶函數(shù)”改為“奇函數(shù)”，再改變g（x）的解析式，于是問題又可以改編成：

改編5 已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），滿足f（1-x）=f（1+x），當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x2，定義在R上且最小正周期為4的函數(shù)g（x），g（x）=a≠0，若在區(qū)間（0，15]上，關(guān)于x的方程f（x）=g（x）恰有15個不同解，求a的取值范圍.

本題將函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性、函數(shù)圖象整合在一起考查，利用這些性質(zhì)證明f（x）是周期函數(shù)，如果函數(shù)f（x）的解析式無法求出，又會怎樣出題呢？

改編6 已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），滿足f（1-x）=f（1+x），f（-1）=0，且f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，試求函數(shù)f（x）在[-2020，2020]上的零點個數(shù).

此題是抽象函數(shù)，也可以將函數(shù)f（x）改編為對數(shù)函數(shù)類型，再與周期函數(shù)結(jié)合，可以有：

改編7 設(shè)f（x），g（x）是定義在R上的兩個周期函數(shù)且周期都是4，f（x）是偶函數(shù).當(dāng)x∈（0，2]時，f（x）=ln（x+1），g（x）=其中k＞0.若在區(qū)間（0，10]上，關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有8個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是

此題函數(shù)f（x）是對數(shù)類函數(shù)，有沒有可能是指數(shù)類函數(shù)呢？

改編8 設(shè)f（x），g（x）是定義在R上的兩個周期函數(shù)且周期都是4，f（x）是偶函數(shù).

當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=ex，g（x）=

其中k＞0.若在區(qū)間[0，n]（n∈N*）上，關(guān)于x的方程f（x）=g（x）恰有12個不同的實數(shù)根，求n的最小值及k的取值范圍.

本題利用導(dǎo)數(shù)求指數(shù)函數(shù)的切線斜率，也可以改編為三角函數(shù)的問題，于是，

改編9 設(shè)f（x），g（x）是定義在R上的兩個周期函數(shù)，f（x）的周期為4，g（x）的周

期為2，且f（x）是奇函數(shù).當(dāng)x∈（0，2]時，f（x）=2sin

其中k＞0.若在區(qū)間[0，12）上，關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有12個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是

三、點撥解析

f（x），g（x）在一個周期內(nèi)的圖象可知，直線g（x）=1與f（x）的圖象只有一個交點，于是在區(qū)間（0，14]上，直線g（x）=1與f（x）的圖象交點存在范圍為（2，4）、（6，8）、（10，12）.要使得在區(qū)間（0，14]上有11個不同的交點，因此當(dāng)0x≤2時，g（x）=k（x+2）與f（x）的圖象必有兩個交點，即直線與圓弧=4（0x≤2，0y≤2）必有兩個交點，

改編2解析：根據(jù)f（x），g（x）在一個周期內(nèi)的圖象可知，直線g（x）=與f（x）的圖象只有一個交點，再根據(jù)g（x）的周期為2，結(jié)合函數(shù)圖象，直線g（x）=與f（x）的圖象交點存在范圍為（1，2）、（5，6）.要使得在區(qū)間（0，9]上有8個不同的交點，因此當(dāng)0x≤1時，g（x）=k（x+2）與f（x）的圖象必有兩個交點，因此問題轉(zhuǎn)化為方程f（x）=g（x）在區(qū)間（0，1]上有兩個不同的解，即x+（k-2）x+2k=0在（0，1]上有兩個不同的解，令h（x）=

2 x2+（k-2）x+2k，再根據(jù)二次函數(shù)圖象分析知Δ＞0且h（0）＞0且h（1）≥0且0

改編3解析：因為f（x）是最小正周期為4的偶函數(shù)，因此對于任意整數(shù)n，當(dāng)x∈[4n-1，4n+1]時，f（x）=2，當(dāng)x∈[4n+1，4n+3]時，f（x）=，其幾何意義是在相應(yīng)的區(qū)間上分別表示橢圓（短軸在x軸上）和圓（直徑在x軸上）的上半部分，函數(shù)g（x）=kx（x∈R）的幾何意義表示過原點的直線.要使關(guān)于x的方程f（x）=g（x）在區(qū)間（0，10]上有9個不同的實數(shù)根，根據(jù)函數(shù)圖象及k為正數(shù)，必有直線y=kx與半橢圓（x-8）2+=1（y≥0）有兩個不同交點，且與半圓（x-10）2+y2=1（y≥0）無公共點，因此有（x-8）2+=1在[7，9]上有兩個不同解，且圓心（10，0）到直

改編4解析：由f（x）是偶函數(shù)，滿足f（1-x）=f（1+x），可以得出f（x）是周期為2的函數(shù)，于是x∈[2n-1，2n+1]時，f（x）=（x-2n）2.若從方程觀點出發(fā)，將問題轉(zhuǎn)化為a（x+1）=（x-2n）2，即x2-（4n+a）x+4n2-a=0在區(qū)間[2n-1，2n+1]上有兩個不同解，再利用二次函數(shù)圖象分析法可知0a

改編5解析：由f（x）是奇函數(shù)，滿足f（1-x）=f（1+x），可以得出f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱.由題意可得，當(dāng)x∈[-1，0]時，f（x）=-x2，再根據(jù)對稱性，當(dāng)x∈[1，3]-f（2+x），所以f（x+4）=f（x），即f（x）是周期為4的函數(shù).結(jié)合函數(shù)圖象知，方程f（x）=-在區(qū)間[2，4]、[6，8]、[10，12]分別有兩個不同解，而在[14，15]僅有一解.要使方程f（x）=g（x）在區(qū)間（0，15]恰有15個不同解，方程f（x）=a（x+1）（a≠0）在區(qū)間（0，2]必有2個不同解，再利用幾何直觀想象，因此，a的取值范圍為0a.

改編6解析：由改編5的解析過程可知，函數(shù)f（x）的最小正周期為4且f（0）=0.因為f（-1）=0，因此，f（1）=0，f（2）=0，f（3）=0，f（4）=0.再結(jié)合f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，因此f（x）在（0，4]上有且僅有4個不同零點.又（0，2020]上有505個周期，于是f（x）在（0，2020]上有2020個零點.由對稱性知f（x）在[-2020，0）上也有2020個零點.故f（x）在[-2020，2020]上共有4041個零點.

改編7解析：根據(jù)函數(shù)性質(zhì)和圖象，可以判斷方程f（x）=g（x）在（2，4）和（6，8）上各有一個解，因此方程f（x）=g（x）在區(qū)間（0，2）、（4，6）、（8，10）上各有兩個不同解，所以f（x）=g（x）在（0，2）上必有兩個解，利用導(dǎo)數(shù)知識求解，問題轉(zhuǎn)化為過點（-1，0）作函數(shù)f（x）=ln（x+1）（0x2）的切線，設(shè)切點為（x0，y0），f′（x）=，即x0=e-1，因此切線斜率為k=.再結(jié)合函數(shù)圖象，直線y=k（x+1）過點（2，ln3）時，直線斜率k=，故k的取值范圍為≤k.

改編8解析：由函數(shù)性質(zhì)和圖象知，方程f（x）=g（x）在（2，4）、（6，8）、（10，12）等區(qū)間上各有一個解，要使n的值最小，必須使方程f（x）=g（x）在區(qū)間（0，2]、（4，6]、（8，10]等上各有兩個不同解，所以，在（0，4]上有三個不同解.現(xiàn)在求過原點作函數(shù)f（x）=ex（x∈（0，2））的切線斜率，設(shè)切點為（x0，y0），f′（x）=ex，因此，即x0=1.于是切線斜率為k0=e，當(dāng)直線y=kx過點（2，e2）時斜率為k1=.故k的取值范圍為ek≤又f（x）=g（x）在（14，16]區(qū)間上的一解在（15，16）的范圍內(nèi)，則n的最小值為16.

改編9解析：根據(jù)函數(shù)圖象和性質(zhì)得，方程f（x）=g（x）在（3，4）、（7，8）、（11，12）等區(qū)間上各有一個解，同時x=0、2、4、6、8、10是方程的解，所以方程f（x）=g（x）在（0，1]、（4，5]、（8，9]等區(qū)間上各有一個解.根據(jù)函數(shù)的周期性，現(xiàn)在研究在原點處作函數(shù)f（x）=2sin（0x1），因為f′（x）=πcos，因此f′（0）=π.當(dāng)直線y=kx過點（1，2）時，k=2.故k的取值范圍為2≤kπ.

四、回顧悟道

在函數(shù)的學(xué)習(xí)和研究中，一般從整體和局部兩個方面解釋函數(shù)性質(zhì).一是函數(shù)的整體性質(zhì)，如函數(shù)的定義域和值域（包括最值）、奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性、利用已知函數(shù)構(gòu)造新函數(shù)；二是函數(shù)的局部性質(zhì)，高中階段主要學(xué)習(xí)的是導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義，運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值點、極值、最值、函數(shù)圖象、函數(shù)零點等.本題的一系列改編題不僅涉及函數(shù)的一些基本性質(zhì)，同時也涉及二次函數(shù)、一次函數(shù)、無理函數(shù)、分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、直線方程、圓的方程、橢圓方程、拋物線及導(dǎo)數(shù)等基本知識.

五、小試牛刀

改編提示：函數(shù)定義域是函數(shù)三要素的核心內(nèi)容，也是高考?？嫉念}型.求函數(shù)定義域?qū)嵸|(zhì)就是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組，如果改為已知定義域或值域，求參數(shù)的取值范圍.

（改編3）已知函數(shù)y=log2（ax2-ax+1）.

（1）若定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）若值域為R，求實數(shù)a的取值范圍.

解析

原題解析：問題等價轉(zhuǎn)化為7+6x-x2≥0，利用二次函數(shù)f（x）=7+6x-x2的兩個零點-1和7，結(jié)合二次函數(shù)圖象，得-1≤x≤7，故定義域為[-1，7].

改編1解析：由題意得，（a2-1）x2-（a-1）x+1≥0的解集為R，于是分類討論：

當(dāng)a=1時，合適；當(dāng)a=-1時，不等式為2x+1≥0，解集不是R；當(dāng)a2-1＞0，即a＞1或a-1時，Δ=（a-1）2-4（a2-1）≤0，解之得a＞1或a≤-.綜上所述，a的取值范圍為a≥1或a≤-

改編2解析：由題意得，ax2+2x+1≠0恒成立，即ax2+2x+1=0無解.當(dāng)a=0時，方程有解；當(dāng)a≠0時，Δ=4-4a0，即a＞1.故a的取值范圍為a＞1.

改編3解析：（1）由題意知，ax2-ax+1＞0的解集為R，下面分類討論：當(dāng)a=0時，合適；當(dāng)a≠0時，必有a＞0且Δ=a2-4a0，即0a4.所以a的取值范圍為0≤a4.

（2）由題意知，真數(shù)ax2-ax+1取一切正數(shù)，當(dāng)a≤0時，不成立；當(dāng)a＞0時，Δ=a2-4a≥0，解之得a≥4.所以a的取值范圍為a≥4.

解題回顧 函數(shù)內(nèi)容不僅是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的主線，并貫穿于整個高中階段始終，同時也是大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此，備受高考命題人員青睞.在高考試題中，以基本函數(shù)為背景的高考試題層出不窮，常考常新，既能有效考查學(xué)生的等價轉(zhuǎn)化能力，又可以考查學(xué)生利用函數(shù)圖象分析問題和解決問題的能力，同時又能有效培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng).