有關不等式的“知識鏈”解讀

江蘇省揚州中學 姜衛(wèi)東

不等式是刻畫現(xiàn)實世界中不等關系的數(shù)學工具，它是描述優(yōu)化問題的一個主要模型.依我們學過的知識來看，其實它在整個高中數(shù)學中也是一個重要的工具，在各類測試中都會有所涉及，一般以客觀題的形式考查單純的不等式知識，有時也以解答題的形式深度考查不等式與其他知識的融合.下面我們通過例題來看一看有關不等式的美麗的“知識鏈”.

一、一元二次顯身手，解不等式不用愁

解析 因為x2-2x0，所以x（x-2）0，所以0x2，所以A=，所以A∩B=[1，2）.

變式1 不等式x2-2的解集

感悟 解不等式問題，關鍵在于利用同解變形，將原不等式向一元二次不等式轉化.當然，在變式1中，也可對x進行分類討論，去掉絕對值符號再求解，細細品味，又是另一番美麗.

變式3 關于x的不等式x2-2ax-8a20（a＞0）的解集為（x1，x2），且x2-x1=15，則a

解析 由題意得x1+x2=2a，x1·x2=-8a2，x2-x1=15，解得a=或-（舍去）.

感悟 已知解集求參數(shù)問題，應根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程的關系列出關于參數(shù)的方程（組）.

變式4 解關于x的不等式ax2+（a-1）x-1＞0.

解析 原不等式可化為（ax-1）（x+1）＞0.

（1）當a=0時，原不等式為-x-1＞0，解集為（-∞，-1）.

（2）當a≠0時，方程（ax-1）（x+1）=0的兩根為-1.考慮到二次項系數(shù)a的正負性及兩個根的大小關系，還需繼續(xù)分類討論.①當a＞0時，有-1，原不等式的解集為（-∞，-1）∪；②當-1a0時，有-1，原不等式的解集為）；③當a-1時，有＞-1，原不等式的解集為）；④當a=-1時，有-1，原不等式的解集為?.

感悟 解含參數(shù)的一元二次不等式，需要分類討論，討論時要考慮二次項系數(shù)、Δ的正負性及兩根的大小，分類時應遵循“不重”、“不漏”、“最簡”的原則.

二、拆拼湊消齊上陣，最值問題全擊破

例2 設a＞0，b＞0，ab=1，求a+2b的最小值.

變式1 設x＞0，y＞0，且x+4y=1，求xy的最大值.

變式2 若x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值.

解析二 設x+2y=t，利用基本不等式建立關于t的不等式，由x+2y+x（2）y）=8得：8-（x+2y）=x（2y）≤ ，即：，解得t≥4，可驗證“=”成立，所以（x+2y）min=4.

感悟 解法一是通過消元將原式轉化為一元函數(shù)，再通過變形使某部分對應的積為定值，進而用基本不等式求最小值，體現(xiàn)了消元思想；解法二是通過基本不等式來構造關于t的不等式，求出t的范圍，進而得到原式的最小值.

感悟 求最值問題，要注意借助“拆、拼、湊、消”等技巧，使其滿足基本不等式中“一正”、“二定”、“三相等”的條件.