圓錐曲線

江蘇省吳江盛澤中學 孫四周

大家肯定見過圓錐，知道圓錐的側面和底面.現在請把注意力集中到圓錐的側面，而把底面忽略掉.這個“沒有底”的圓錐面，每一條母線都失去了限制，變成可以任意延長的射線，就得到一個無限的圓錐面.現在，把兩個“相同的”圓錐面頂點重合在一起，使得它們的母線互為反向延長線，這樣的兩個圓錐面共同構成一個圖形，向兩方無限延伸（如圖1），這就是數學上的圓錐面.

用一個平面來截圓錐面（不妨用手比畫一下），能截出什么樣的圖形呢？現在，開動我們的想象力……繼續(xù)想象……不難想到下面的結果（如圖2的一組圖）：

圖1

圖2

所有這些曲線，都是由平面截圓錐面得來的，但是我們只把其中的三種稱為圓錐曲線，它們是：橢圓、雙曲線、拋物線.蘇教版數學教材上是這樣說的：“橢圓、雙曲線和拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線.”根據這個定義，圓不是圓錐曲線，圓也不是特殊的橢圓.

它把圓排除在圓錐曲線之外，或許你對這個定義會覺得不爽，這沒必要.“把×××統(tǒng)稱為×××”型的定義，屬于“逆式定義法”，很大程度上取決于人為規(guī)定.它就是把一類東西歸一起，以便于稱呼、便于交流.同樣用逆式定義法給出的還有：“有理數和無理數統(tǒng)稱為實數”“正弦函數、余弦函數、正切函數統(tǒng)稱為三角函數”，等等.這里，“實數”的定義倒是把對象說全了，“三角函數”則只說了六種中的三種（歷史上還曾有過余切、正割、余割）.

為什么教材不把圓當作特殊的橢圓？因為這會使后面的第一定義、第二定義等發(fā)生表述上的繁瑣，增加思考的成本.目前國際上的教材基本都是這個態(tài)度，即不認為圓是橢圓的特例.當然，如果將來誰編教材時把圓歸入圓錐曲線、歸入橢圓，也是可以的（那將是一本很有特色但也很不清爽的教材）.

根據目前對圓錐曲線的定義，橢圓的離心率范圍是開區(qū)間（0，1），沒有圓的容身之地；橢圓的一個標準方程=1（a＞b＞0），也不包括圓.有人可能會說，當a=b時橢圓方程就是圓.這種形式上的趨同，太表面化了，不能據此改變更深層認知.其實，橢圓方程里已經明確規(guī)定a＞b＞0，“a=b”本身就是一個偽命題.

橢圓、雙曲線、拋物線都有簡潔、優(yōu)美的方程，這是人為選擇的結果.坐標系完全是人類構造出來的，它并不是圓錐曲線（也不是任何曲線）天然帶來的，如果選擇不同的坐標系，曲線就會有不同的方程，而曲線本身并不產生變化.比如我們知道的，反比例函數的圖象就是雙曲線，不是名詞上的重合，y=的圖象（也請比畫一下）“就是”雙曲線，它的漸近線是坐標軸，離心率等，實軸長等于；二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象“就是”拋物線……

圓錐曲線的研究，起始于2000多年前的古希臘，那時還沒有坐標系（笛卡兒在近2000年后才出生），他們是用綜合幾何的方法（今日的平面幾何）研究圓錐曲線的.當時阿波羅尼斯寫了一本書，名叫《圓錐曲線》，已經把現在已知的關于圓錐曲線的幾乎所有知識都囊括在內了，此后的人們所做的不過是改寫和注釋的工作.這是古希臘、也是全人類科學思想的光輝典范：他們研究科學不考慮任何物質的收獲，僅僅是為了精神上的滿足.那時的圓錐曲線看不出絲毫的實際用處，但是思想家的熱情還是非常高.他們也曾經把圓錐曲線用于解決立方倍積和三等分任意角問題，效果異常，但那不會帶來任何的經濟利益，與GDP沒有絲毫關系.

直到近代，天文學家（以開普勒為代表）發(fā)現行星軌道是橢圓，某些彗星的軌道是拋物線和雙曲線，圓錐曲線才在科學上大放異彩.此時的科學家簡直樂壞了，因為他們所需要的知識早已由阿波羅尼斯準備妥當！如果我們對思維的深層機制進行剖析，你一定會好奇于這樣的事情：憑借著有限時間內對很短一段軌道的觀察，開普勒是如何想到行星的軌跡是橢圓的呢？如果他頭腦里沒有橢圓的形象，要他從頭開始構造出軌道是橢圓，這可能嗎？我們可以做一個很自然的猜想：開普勒的頭腦里先有了橢圓的形象，在研究行星軌道的時候發(fā)現哥白尼用的“正圓”不對，于是把橢圓用了起來，經過一番檢驗發(fā)現正好……

除了天文學上的應用外，圓錐曲線已經被用到機械、建筑、通信等多個方面.今日的GPS全球定位系統(tǒng)，計算的基礎就是雙曲線，如果沒有雙曲線將什么也不能做.空間通信技術實際上是數學技術，具體說是圓錐曲線的應用技術！關于圓錐曲線的光學性質也非常豐富非常有用，有興趣的讀者可以查閱相關資料.

曾經有人篩選過初等數學的難題，出了一個“百題榜”，其中之一是這樣的：

日晷（以及圭表）的尖端，在地面上投影的軌跡是什么？

如果我們有圓錐曲線的定義，就很容易解決——簡直一看便知.簡述如下：太陽光線照在圭表指針的頂端，形成一條射線.當太陽旋轉一周（其實是地球自轉一周）后，這條光影形成一個圓錐面.該圓錐面與地面（近似看作平面）相交，截線就是你所要的軌跡，顯然它是圓錐曲線.視該圭表在地球上的緯度以及太陽所在的位置（節(jié)氣）而定，可能是橢圓，也可能是雙曲線和拋物線（一定不會是圓）.

最后說句題外話.依據圓錐曲線的光學性質，人們實現了對光（包括電磁波以及其他的波）的控制和利用.目前還有一種波，是人們無法控制的，聰明的你也許一激靈：那是引力波！沒錯，就是引力波.引力波傳遞了宇宙間唯一的長程力，它是宇宙的實際控制者.我們非?？释J識它，但是目前的認識還非常有限.2018年人類觀測到了引力波，當即就被授予諾貝爾獎，簡直有點急不可耐的味道！但是，僅此而已.大家知道，牛頓用三棱鏡對光進行了分解，科學家又用圓錐曲線對光進行聚焦和散射.如果誰能對引力波做出這樣的事情，哪怕只做出一點點，毫無疑問他就會獲得諾貝爾獎，做出幾個就能獲得幾項.

圓錐曲線，你還有多少用武之地？