含參數(shù)的一元二次不等式的解法突破

南京市金陵中學 于 健

求含參數(shù)的一元二次不等式的解集是我們學習這部分內容的難點，首先要搞清楚不含參數(shù)時如何解不等式，雖說有幾種不同的解法，但其核心可以歸納為“一求、二畫、三寫”三步曲.即先求相應的一元二次方程的根，然后畫出相應的一元二次函數(shù)的草圖，最后寫出不等式的解集.它將三個“二次”（二次不等式、二次方程、二次函數(shù)）之間的關系有機地結合起來，數(shù)形結合躍然紙上.

而解含參數(shù)的一元二次不等式，仍可圍繞“一求、二畫、三寫”這三步曲，但是由于不等式中含有參數(shù)，就要考慮：對應的方程是否有根？在畫相應的函數(shù)的草圖時，圖象是拋物線嗎？開口如何？方程如有兩根，誰大誰小？以解ax2+bx+c＞0為例，因為a，b，c中會含有參數(shù)，所以以上情況，就需要分類討論了.

一、不等式的“身份”明確，對應方程的根的情況明顯

當參數(shù)不包含在二次項系數(shù)處時，我們可以把它稱之為“身份”明確的不等式.對于這種含參的一元二次不等式，當其對應方程的根的情況也很明顯時，我們就只需要對方程的根的大小關系做出分類討論即可，從而再依據(jù)之前總結的一般一元二次不等式的解法，在不同的分類討論標準下寫出對應的解集.

例1 解關于x的不等式x2-）+10（a≠0）.

二、不等式的“身份”明確，對應方程的根的情況不明顯

當我們討論的是“身份”明確的含參的一元二次不等式，但其對應方程的根的情況卻不明朗時，我們分類討論的標準應是對應的一元二次方程的根的判別式的符號，從而再依據(jù)之前總結的一般一元二次不等式的解法，在不同的分類討論標準下寫出對應的解集.

例2 解關于x的不等式：x2+ax+4＞0.

分析 本題中由于x2的系數(shù)大于0，但是方程x2+ax+4=0的根的情況不明顯.故需考慮方程的根的判別式Δ的情況.

解 因為Δ=a2-16，所以當a∈（-4，4），即Δ0時，解集為R；

三、不等式的“身份”不明確

當不等式中的二次項系數(shù)包含參數(shù)時，我們可以把它稱之為“身份”不明確的不等式.對于這種含參的不等式，首先是對二次項系數(shù)為正、負或0展開討論.若二次項系數(shù)為0時就是一元一次不等式，可以首先寫出其解集；但當其二次項系數(shù)不為0時，相應的一元二次方程的根的大小，有時容易比較大小，更多時候方程的根的大小與參數(shù)有關，這時就需要再分級討論了.

例3 解關于x的不等式：

（1）ax2+（a+2）x+1＞0；

（2）[（m+3）x-1]（x+1）＞0（m∈R）.

分析（1）中二次項系數(shù)含有參數(shù)a，Δ=（a+2）2-4a=a2+4＞0，故只需對二次項系數(shù)進行分類討論；（2）中因為不等式的二次項系數(shù)為m+3，當m+3=0時，原不等式可化為x+10，原不等式的解集為：｛x|x-1｝；當m+3≠0時，不等式為二次不等式，需將不等式化為（x-x1）（x-x2）＞0（或0）的形式，兩邊同除以m+3，因其符號不確定，要保證不等式的同解變形，所以還應考慮m+3的正負號，同時還要考慮比較方程兩個根的大小.

若a≠0，因為Δ=（a+2）2-4a=a2+4＞0，解得方程ax2+（a+2）x+1=0兩根x1=（2）① 當m+3=0時，原不等式可化為x+10，原不等式的解集為：｛x|x-1｝；解集為或x

當m=-4時，原不等式解集為?；

通過以上總結分析，探求含參數(shù)的一元二次不等式的解集的過程中，最重要的是分類討論這一基本數(shù)學思想的正確應用.解題時同學們一定要克服畏懼心理，冷靜分析，厘清分類標準，恰當分類，相信自己一定能解答好.