淺談如何運用奇函數(shù)研究對稱中心

孫飛

奇偶性是函數(shù)重要的性質(zhì)之一，它是對函數(shù)對稱性的描述，比如，奇函數(shù)的圖像關于原點對稱，即原點是奇函數(shù)的對稱中心.奇函數(shù)的本質(zhì)是中心對稱的一種特殊情況，以非原點為對稱中心的函數(shù)圖像可以通過至多兩次平移將其轉(zhuǎn)化為以原點為對稱中心的奇函數(shù)，從而達到化繁為簡的目的.

一、聯(lián)系奇函數(shù)，求對稱中心

通過研究函數(shù)各個部分的奇偶性，尋找與之關聯(lián)的奇函數(shù)，根據(jù)解析式之間的差異調(diào)整化簡，最終鎖定一個與原函數(shù)關聯(lián)的奇函數(shù)，根據(jù)兩者之間的圖像變換，求出原函數(shù)的對稱中心.

例1求函數(shù)f（x）=（x+1）2+x3x2+1的對稱中心.

解f（x）=（x+1）2+x3x2+1=x2+1+2x+x3x2+1=1+2x+x3x2+1，

設g（x）=2x+x3x2+1，g（-x）=-2x-x3x2+1=-g（x），

所以g（x）為奇函數(shù)，對稱中心為原點.

因為g（x）向上平移1個單位得到f（x），

所以f（x）的對稱中心為（0，1）.

由例1的解答過程可見，我們需要掌握一些奇函數(shù)作為知識儲備，才能迅速準確地找到與原函數(shù)關聯(lián)的奇函數(shù)，然后證明奇函數(shù)，比較解析式之間的差異，通過圖像變換聯(lián)系原函數(shù)，求出對稱中心.常見的奇函數(shù)如下：正比例函數(shù)y=kx（k≠0），反比例函數(shù)y=kx（k≠0），形如y=cx+dax+b=m+kx-n的函數(shù)關聯(lián)反比例函數(shù)，形如y=ax-1ax+1，y=logamx+nmx-n是奇函數(shù)，冪函數(shù)y=xα當α為奇數(shù)時為奇函數(shù)，三角函數(shù)y=sinx，y=tanx是奇函數(shù)，形如y=x+kx（k≠0）的函數(shù)為奇函數(shù).

例2求函數(shù)f（x）=4x+1+64x+1+sinx的對稱中心.

解f（x）=4x+1+64x+1+sinx=4（4x+1）+24x+1+sinx=4+24x+1+sinx，而y=4x-14x+1=4x+1-24x+1=1+-24x+1.

此時所掌握的奇函數(shù)與原函數(shù)中的y=24x+1部分并不完全匹配，主要相差一個符號，我們可以通過調(diào)整奇函數(shù)來消除它們之間的差異.調(diào)整情況如下：

g（x）=1-4x4x+1+sinx=2-（4x+1）4x+1+sinx=-1+24x+1+sinx，g（-x）=1-4-x4-x+1+sin（-x）=4x-11+4x-sinx=-g（x），

所以g（x）為奇函數(shù)，對稱中心為原點.

而f（x）=4+24x+1+sinx=-1+24x+1+sinx+5，

因為g（x）向上平移5個單位得到f（x），

所以f（x）的對稱中心為（0，5）.

二、猜對稱中心，證明奇函數(shù)

有些函數(shù)與奇函數(shù)的聯(lián)系并不明顯，很難判斷其與哪種奇函數(shù)存在關聯(lián).在這種情況下，我們可以通過定義域或值域、極值點等圖像性質(zhì)猜想出對稱中心，再將其對稱中心平移至原點，證明新函數(shù)為奇函數(shù)即可.

例3求函數(shù)f（x）=xx+1+x+1x+2+x+2x+3+x+3x+4的對稱中心.

解定義域為{x|x≠-1，x≠-2，x≠-3，x≠-4}，

由定義域的對稱性猜想對稱中心的橫坐標為-52，又f-52=4，由此，猜想f（x）的對稱中心為-52，4.

將函數(shù)f（x）圖像向右平移52個單位，再向下平移4個單位得到函數(shù)

g（x）=fx-52-4=-212x-3+12x-1+12x+1+12x+3.

只要證明g（x）是奇函數(shù)即可.

g（-x）=212x+3+12x+1+12x-1+12x-3=-g（x），

g（x）為奇函數(shù)，即證.

例4求函數(shù)f（x）=6-2x2x+2的對稱中心.

解定義域為R，值域為（-1，3），由值域的對稱性猜想對稱中心的縱坐標為1，

令f（x）=1，得x=1，猜想f（x）的對稱中心為（1，1）.

將函數(shù)f（x）圖像向左平移1個單位，再向下平移1個單位得到函數(shù)

g（x）=f（x+1）-1=6-2x+12x+1+2-1=3-2x2x+1-1=21-2x2x+1.

只要證明g（x）是奇函數(shù)即可.

g（-x）=21-2-x2-x+1=22x-12x+1=-g（x），

g（x）為奇函數(shù)，即證.

例3、例4分別從定義域與值域的對稱性猜想出對稱中心，前提是定義域或值域非R.若是遇到定義域與值域均為一切實數(shù)的函數(shù)，研究它的對稱中心，我們需要另辟蹊徑.

例5求函數(shù)f（x）=x3-3x2+4的對稱中心.

解定義域為R，值域為R，

f′（x）=3x2-6x=3x（x-2），令f′（x）=0，得x=0或2.

x（-∞，0）0（0，2）2（2，+∞）f′（x）+0-0+f（x）極大值4極小值0由極大值與極小值，猜想f（x）的對稱中心為（1，2）.

將函數(shù)f（x）圖像向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到函數(shù)

g（x）=f（x+1）-2=（x+1）3-3（x+1）2+4-2=（x+1）2（x-2）+2=x3-3x，

只要證明g（x）是奇函數(shù)即可.

g（-x）=-x3+3x=-g（x），

g（x）為奇函數(shù)，即證.