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    過點

    • 對一道調(diào)研試題的深入剖析
      -1+lnx,則過點(a,b)恰能作曲線y=f(x)的兩條切線的充分條件可以是( ).A.b=2a-1>1B.b=2a-1C.2a-1試題表述簡潔明了、內(nèi)涵豐富,重點考查了曲線的切線、函數(shù)的零點拐點與極值點、導(dǎo)數(shù)放縮等知識和方法,是一道綜合性強、能力要求高的導(dǎo)數(shù)壓軸客觀題.顯然,這道調(diào)研試題命題與下面的高考題存在一定的關(guān)聯(lián).(2021年新高考Ⅰ卷第7題)若過點(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則( ).A.ebC.0可以看出,調(diào)考試題體現(xiàn)了新高考Ⅰ卷

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2023年6期2023-06-01

    • 全面思考 言必有據(jù)
      = AC.錯解:過點A作BC的中垂線AD,垂足為D,則BD = CD. 再證明△ABD ≌ △ACD,得到AB = AC. 這種作輔助線的表述有問題,因為過點A作BC的垂線與中線,兩線不一定重合.正解:過點A作BC的垂線AD,垂足為D. ∵AD⊥BC,∴∠ADB = ∠ADC.∵AD = AD,∠B = ∠C, ∴△ABD ≌ △ACD(AAS),∴AB = AC.反思:作輔助線時,一般不能同時滿足兩個或兩個以上的條件. 若要使所作輔助線同時滿足兩個要求,

      初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·提升版 2023年3期2023-03-31

    • 且把金針度與人 ——對一道初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試題的探索與思考
      垂線分割法方法3過點C作CE⊥AB于點E,過點D作DF⊥CE于點F(如圖4),則△BEC和△CFD都是直角三角形,四邊形AEFD是矩形.在Rt△BEC中,BC=3,易得BE和CE的長度,易求EF的長度,進而可知CF的長度,故可求得AB的長度.圖4 圖5方法4過點A作AE⊥BC于點E,過點D作DF⊥AE于點F(如圖5),則△ABE和△ADF都是直角三角形,四邊形CEFD是矩形,易求AB的長.方法5過點D作DE⊥DC交AB于點E,過點E作EF⊥BC交BC于點F

      中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2023年2期2023-02-18

    • 探究圓錐曲線關(guān)于切線長的統(tǒng)一恒等式
      和點T不重合),過點P作OT的平行線交圓錐曲線于不同的兩點A,B,則λ=為定值.圖1文[2]給出以下結(jié)論:性質(zhì)2 (1)如圖2,已知點P在橢圓C:=1上,點Q(m,n)不在橢圓C上,過點Q作平行于OP的直線圖2我們發(fā)現(xiàn)兩個結(jié)論之間有聯(lián)系,并思考能否將兩個結(jié)論結(jié)合起來得到更優(yōu)美的結(jié)論呢?2 探究與結(jié)論證明已知O為坐標原點,點T(x0,y0)為橢圓C上一點,C在點T處的切線為l,點P(xp,yp)是l上的任意一點(和點T不重合),過點P作OT的平行線交橢圓于不

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2022年23期2023-01-02

    • 幾何極值
      )如圖2,對任一過點P的線取B′C′(點B′,C′分別在AB,AC的延長線上),則有∠BCC′>∠B,所以過點C在∠BCC′內(nèi)作CD,使∠BCD=∠B(即CD∥AB).設(shè)CD交PC′于點D,則由BP=PC,可得?PBB′≌?PCD.所以S?AB′C′>S?ABC.(2)如圖3,設(shè)旁切圓分別切直線AB,AC于點E,F(xiàn),則BP=BE,PC=CF,所以?ABC的周長等于AE+AF.對另一?AB′C′(B′C′過點P且點B′,C′分別在AB,AC的延長線上),設(shè)B

      初中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2022年19期2022-11-28

    • 2022年加拿大奧林匹克試題例談
      BC內(nèi)接于圓Γ,過點A作BC的垂線,交Γ于點D;過點B作AC的垂線,交Γ于點E.若AB=DE,證明:∠ACB=60°.證明因為AD⊥BC,例2用若干個下面的“丁四”(如圖2)覆蓋一個n×n的網(wǎng)格,恰好既不重合,也不溢出.問n應(yīng)為什么樣的值?解顯然4|n×n,所以n為偶數(shù)2k,而丁四為k2.例3實數(shù)a,b滿足①求②的值.③如何選擇正負號?不妨設(shè)a>0>b,這時=ab-ab=0>-1.因此③ 式中應(yīng)取“+”號,即④嚴格說來,還應(yīng)指出④ 式可以成立(否則題目本身

      高中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2022年17期2022-10-26

    • 平面直角坐標系中求三角形面積的方法探究
      方法1 如圖7,過點B作BM∥x軸交CA的延長線于點M,則S△ABC=S△BMC-S△BMA=12·BM·CE-12·BM·AD=12·BM·CN=12·BM·|yC-yA|.或如圖8,過點A作AM∥y軸交CB的延長線于點M,則S△ABC=S△AMC-S△AMB=12·AM·CD-12·AM·BE=12·AM·CN=12·AM·|xC-xB|.方法2補成一個梯形如圖9,分別過點A,C作x軸的垂線與過點B且平行于x軸的直線交于點M,N,則四邊形AMNC為梯形

      數(shù)理天地(初中版) 2022年9期2022-07-25

    • 雙曲線中常見輔助線的作法
      k=.解 如圖,過點C作CE⊥x軸于點E,因為點C在雙曲線y2=2x上,所以S△OCE=1,因為S△OCD=2,所以S△ECD=S△OCE=1,所以點E為OD的中點,因為CE∥AD,所以點C是OA的中點,所以S△OAD=2S△OCD=4,因為函數(shù)y1(x>0)的圖象過點A,AD⊥x軸,所以k=8.2 作垂線段構(gòu)造全等三角形例2 圖2如圖2,已知反比例函數(shù)過A,B兩點,A點坐標(2,3),直線AB經(jīng)過原點,將線段AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC,則C點

      數(shù)理天地(初中版) 2022年9期2022-07-25

    • 解答任意四邊形問題的四種作輔助線的技巧
      求AD的長.解 過點A作AE⊥CB的延長線于點E,過點D作DF⊥BC的延長線于點F,過點A作AG⊥DF于點G,所以四邊形AEFG是矩形,所以EF=AG,因為∠ABC=135°,∠BCD=120°,所以∠ABE=45°,∠DCF=60°,則∠ABE=∠BAE=45°,∠CDF=30°,因為AB=2,BC=3-3,CD=23,由勾股定理得CF=3,BE=AE=1,DF=3,所以EF=AG=BE+BC+CF=1+3-3+3=4,DG=DF-FG=DF-AE=3-

      數(shù)理天地(初中版) 2022年5期2022-07-24

    • Philon面及其性質(zhì)*
      者稱為∠AOB內(nèi)過點P的Philon線.歷史上,Philon有時又稱為Philo.因此,Philon線又可稱為Philo線.Philon線不僅具有重要的理論意義,而且在解決工程設(shè)計選線問題中具有廣泛的應(yīng)用[2].Philon線的概念可以類比推廣到三維空間上,從而得到Philon面的概念.下面給出三面角的Philon面和圓錐面的Philon面的定義.定義若P為已知三面角O-ABC(直圓錐面O-ABC)內(nèi)的一個定點,過P點任作一個不過O點的平面與三面角O-AB

      贛南師范大學(xué)學(xué)報 2022年3期2022-06-16

    • “鉛垂高、水平寬”巧解三角形面積
      .解析:如圖1,過點C作y軸的平行線,交AB于D,過點B作DC的垂線,垂足為F,過點A作DC的垂線,交CD的延長線于點E,[S△ABC=S△ACD+S△BCD=12CD?AE+12CD?BF=12CD (AE+BF)],此處AE + BF即為A,B兩點之間的水平距離.由題意得AE + BF = 6.由A(1,1),B(7,3)得直線AB的解析式為y = [13]x + [23],由點C(4,7),可得點D(4,2),所以CD = 5,[則S△ABC=12C

      初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·提升版 2022年6期2022-05-30

    • 以一次函數(shù)為背景的規(guī)律探究
      :y = x上,過點N1作N1M1⊥l,交x軸于點M1;過點M1作M1N2⊥x軸,交直線l于N2;過點N2作N2M2⊥l,交x軸于點M2;過點M2作M2N3⊥x軸,交直線l于點N3;……,按此作法進行下去,則點M2021的坐標為 .解析:如圖3,過N1作N1E⊥x軸于E,N1F⊥y軸于F,∵N1(1,1),∴N1E = N1F = 1,∴∠N1OM1 = 45°,∴∠N1OM1 = ∠N1M1O = 45°,∴△N1OM1是等腰直角三角形,∴N1F = O

      初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·提升版 2022年7期2022-05-30

    • 一道中考題的探究與變式
      B = 90°,過點D作DE⊥AB于E,DE = BE.(1)求證:DA = DC;(2)連接AC交DE于點F,若∠ADE = 30°,AD = 6,求DF的長. (本文僅分析第一問)學(xué)法指導(dǎo)解法1:構(gòu)造正方形法如圖2,過點D作DG⊥BC,交BC的延長線于點G,∵DE⊥AB,∠B = 90°,DG⊥BC,∴四邊形DEBG是矩形.∵DE = BE,∴四邊形DEBG是正方形,∴DG = DE,∠EDG = ∠G = 90°.∵∠ADC = 90°,∴∠GDC

      初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·提升版 2022年7期2022-05-30

    • 巧作平行線 構(gòu)造相似形
      解法2:如圖3,過點D作DG∥BC,交AE于點G,AF于點H。根據(jù)三角形中位線定理得到CF=2DH,得到QB=4DQ,BP=PD,得到BP、PQ與DQ的關(guān)系,求比即可。【點評】本題考查平行線分線段成比例定理和三角形中位線定理,靈活運用定理、找準對應(yīng)關(guān)系是關(guān)鍵。類型二:過頂點作平行線構(gòu)造相似三角形例2 (2021·江蘇連云港)如圖4,BE是△ABC的中線,點F在BE上,延長AF交BC于點D。若BF=3FE,則[BDCD]= 。【分析】傳統(tǒng)方式依舊可行,

      初中生世界·九年級 2022年2期2022-02-16

    • 三角公式的圖形表示
      半,知∠PCB=過點P作PA垂直于x軸, 垂足為A, 那么AP為角α的正弦線,OA為角α的余弦線.利用銳角正切的定義以及三角函數(shù)線可知注意到直徑所對的圓周角∠CPB= 90°,而∠PAB=90°, 從而∠PBA在兩個不同的直角三角形中的余角相等, 即∠APB= ∠PCA=同理可知角α為任意角時,同理利用正切的定義以及三角函數(shù)線也可以表示角的正切值.不妨設(shè)α為第一象限角且終邊與單位圓交于點P,那么角的終邊落在第一或第三象限,且與單位圓分別交于點Q、點R(圖3

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2021年5期2021-04-21

    • 2020年本刊原創(chuàng)題(三)
      中點,連接CD,過點A作CD的垂線,分別交BC,CD于點E,F(xiàn),若CD = 5,AE = [203],則AC的值為 ? .2. 如圖2,已知拋物線[y=ax2+bx+c]與x軸交于點A,與y軸交于點B,其中對稱軸與x軸交于點C [52 ,0],直線AB的解析式為[y=-33x+23]. 在第一象限的拋物線上取一點D,過點D作DE⊥x軸于點E,交直線AB于點F .(1)求拋物線的解析式.(2)是否存在點D,使得△BDF與△AEF相似?若存在,請求出點D的

      初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·中考版 2020年7期2020-09-10

    • 在探究中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力
      一:(如圖1) 過點B作CF的平行線交AE于點M,因為BD=DC,∠BDM=∠CDE,∠DBM=∠DCE,所以?BDM?CDE,所以BM=CE,又因為所以所以所以求得.解法二:(如圖2) 過點B作AE的平行線交FC于點M,因為BD=DC,所以ME=CE,又因為所以所以.圖2圖3探索二:從點D作平行線解法三:(如圖3) 過點D作AF的平行線交CF于點M,所以?EDM?EAF,?CDM?CBF.因為BD=DC,所以BF=2DM,同時有FM=MC,又因為所以所以

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2020年16期2020-09-05

    • 首屆全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽平面幾何題的兩次演變
      相交于點A、B,過點B的一條直線分別交⊙O1、⊙O2于點C、D,過點B的另一條直線分別交⊙O1、⊙O2于點E、F,證明:∠ABC=∠ABF的充分必要條件是CD=EF.圖3在圖1的基礎(chǔ)上,連結(jié)CF,取CF的中點I,設(shè)直線IA與⊙O1、⊙O2分別相交于不同于點A的兩點G,H,連結(jié)GC、HF(見圖4),則∠CGA=∠ABC=∠ABF=∠AHF.過點C作CM⊥IA于點M,過點F作FN⊥IA于點N,注意到I是CF的中點,即知ΔCMI≌ΔFNI,故CM=FN,IM=I

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2020年4期2020-05-29

    • 三角形費馬點的再推廣
      情形同理可證.)過點O分別作直線EF、MN垂直的射線OG、OH,將∠MOE內(nèi)部分成三個區(qū)域,即∠HOE內(nèi)部,∠HOG內(nèi)部,∠GOM內(nèi)部,下面分三種情況:設(shè)點P是平面內(nèi)任意一點,過點P作PB⊥MN,PC⊥EF,垂足分別為B,C,則S=PA+PB+PC.圖2(1)當點A在∠HOE內(nèi)部(如圖2中陰影部分,包括邊界)時,過A點作MN的垂線AQ,垂足為Q,此時AQ與EF必相交,記交點為P0,則當P點與P0重合時,S取得最小值為AQ,證明如下:S=PA+PB+PC≥P

      數(shù)學(xué)通報 2020年1期2020-04-10

    • Global health training in Canadian family medicine residency programmes
      生17:如圖5,過點D作AC、BC、MN的垂線段DR、DS、DT,由前一問的相似三角形的對應(yīng)角相等可得MD、ND分別平分∠AMN和∠MNB,于是DS=DR=DT=定值.Figure 3 depicts locations for international rotations and partner sites for FM programmes. At the University of Ottawa, residents are able to pro

      Family Medicine and Community Health 2020年1期2020-04-04

    • 一個圓錐曲線性質(zhì)的推廣
      0)上任意一點,過點P作PA⊥PB,PA、PB與橢圓分別交于異于點P的點A、B,則直線AB過定點推廣二:點P(x0,y0)為橢圓(a>b>0)上任意一點,過點P作PA⊥PB,PA、PB與橢圓分別交于異于點P的點A、B,則直線AB過定點推廣三:點P(x0,y0)為雙曲線(a>0,b>0,a≠b)上任意一點,過點P作PA⊥PB,PA、PB與雙曲線分別交于異于點P的點A、B,則直線AB過定點推廣四:點P(x0,y0)為雙曲線(a>0,b>0,a≠b)上任意一點,

      河北理科教學(xué)研究 2020年4期2020-03-09

    • 一道中考幾何壓軸題的多種證法與教學(xué)啟示
      直線BD上移動,過點E作射線EF⊥EA,交CD所在直線于點F.(2)當點E在直線BD上移動時,如圖2、圖3所示,線段BC、DE與DF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接寫出你的猜想,不需證明.二、思路探究三、解法探究1.關(guān)于第(1)問的解法探究思路1:利用直角,構(gòu)“三垂直”.證法1:如圖4,過點F作FG⊥BD于點G.所以∠EGF=∠ABE=90°,則∠BAE+∠AEB=90°.因為EF⊥EA,所以∠GEF+∠AEB=90°.所以∠BAE=∠GEF.因為BC=BD,B

      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年18期2019-09-25

    • 求一般三角形面積多種方法的研究
      全”:①如圖1,過點A作AC//x軸交y軸于點C,過點B作BD//y軸交x軸于點D,AC與BD交于點E,∵A(1,3),B(3,1)∴OC=CE=OD=DE=3,則四邊形CODE是正方形,CA=1,AE=2,BD=1,BE=2∵S?AOB=S正方形CODE-S?AOC-S_?BOD-S_?AEB②如圖2,延長AB交x軸于點C,設(shè)AB所在直線為y=kx+b,把點A(1,3),B(3,1)代入y=kx+b得k=-1,b=4,∴AB所在直線是y=-x+4,∵AB

      世界家苑 2019年8期2019-09-17

    • 數(shù)學(xué)化歸法的運用 ——以“函數(shù)與角度”為例
      y軸于點P,且經(jīng)過點E(3,2),點F為拋物線上一點,且PF⊥PE,求點F的坐標.解題過程:過點E、F分別向y軸作垂線,交y軸于M、N兩點.由PF⊥PE,得∠EPF=90°.易得△EMP △PNF.則-1-a=a2-2a-1,則a1=1,a2=0(舍去).則點F(1,-2).思考:學(xué)生利用垂直這個條件,得到兩個角互余的相似直角三角形,從而得到線段關(guān)系,進而轉(zhuǎn)化成點的坐標,最后求出結(jié)果.題目2:如圖2,拋物線y=x2-4x+3交x軸于A、B兩點,與y軸交于點

      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年14期2019-08-31

    • 一道耐人尋味的面積問題*
      高解法1如圖2,過點B作BE⊥AD交DA的延長線于點E,過點A作AF⊥CD于點F,則∠AEB=∠AFC=90°,且因為∠EAC=∠EAB+45°=∠ACD+45°,所以∠EAB=∠ACD,從而△EAB∽△FCA,可得于是進而BE=AD.又因為S△ADB=6,所以故評注僅僅作高BE是不夠的,從∠ADC=45°聯(lián)想構(gòu)造等腰直角三角形解決問題.圖2 圖3解法2如圖3,過點B作BE⊥AD交DA的延長線于點E,在AE的延長線上取點F使得EF=BE,則因為∠FAC=∠

      中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2019年8期2019-08-19

    • 探究一道中考題的解法
      解法4:如圖7,過點P作PD⊥AP交AC于點D.圖7 根據(jù)勾股定理,得AD=3k.易知∠DPC=90°-∠APB=∠BAP=∠C.所以CD=PD=2k,所以AC=AD+CD=5k.嘗試七:將嘗試二中的CD⊥AP改為CD⊥AC如何?解法5:如圖8,過點C作CD⊥AC交AP的延長線于點D.根據(jù)勾股定理,得AD=3k.易知∠DPC=∠APB=90°-∠PAB=90°-∠ACB=∠DCP.所以PD=CD=2k,所以PA=AD-PD=k.圖8 嘗試八:過點B作BD⊥

      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年10期2019-06-25

    • 原來輔助線還可以這樣作
      個特殊角,我就想過點A作AD⊥BC于點D,將45°角和60°角放在直角三角形中,構(gòu)造一個等腰直角三角形和一個含30°角的直角三角形,然而并沒有解決這道問題。我又考慮取特殊值,令BP=1,求得AD=[3+32],CD=[3-32],發(fā)現(xiàn)∠ACB的大小根本不是30°、45°、60°,感覺沒有任何思路。于是,我又想延長BC,過點A來作AB的垂線,同樣將45°角和60°角放在直角三角形中,還是沒能解決問題。第二天上午,我向數(shù)學(xué)老師請教。老師首先表揚了我,因為我看到

      初中生世界·九年級 2019年4期2019-05-05

    • 一道幾何題的拓展與延伸
      90°,EF 是過點C 的直線,AE⊥EF,BF⊥EF 垂足分別為E、F,試問線段EF 與AE、BF 之間有什么等量關(guān)系? 為什么?圖1答: EF =AE+BF.理 由: 因 為∠ACB = 90°, ∠ECF = 180°, 所 以∠BCF + ∠ACE = 90°.因 為∠AEC = 90°, 所 以∠EAC +∠ACE = 90°, 所以∠EAC = ∠BCF.因為在△AEC 和△CFB 中, ∠AEC = ∠CFB = 90°, ∠EAC =∠BC

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2019年6期2019-04-13

    • 從一道課本習(xí)題說開去
      因為直線l是一條過點P且與圓O相切的直線,據(jù)此我們就會自然而然地提出下列兩個問題:問題1:當點P(a,b)在圓O外時,怎樣作出這樣的直線l?問題2:當點P(a,b)在圓O內(nèi)(異于坐標原點O)時,怎樣作出這樣的直線l?我們先來研究第一個問題.此時,直線l與圓O是相交的,第一步,作出以O(shè)P為直徑的圓M,交圓O于A,B兩點;第二步,連結(jié)A,B,所得直線AB即為l(如圖1).由于OP為圓M的直徑,故連結(jié)PA,PB,OA,OB可得OA⊥PA,OB⊥PB,于是PA,P

      新高考·高一數(shù)學(xué) 2018年7期2018-12-03

    • 運用割補法求三角形的面積
      圖象上,所以解得過點A作AC⊥y軸于點C,過點B作BD⊥x軸于點D,直線AC、BD交于點E(如圖 1),則四邊形CODE是矩形,E(3,6).所以S△OAB=S矩形CODE-S△ACO-S△BDO-S△AEB注:本題也可以用以下兩種方法求△OAB的面積:(1)S△OAB=S梯形AODE-S△BDO-S△ABE;(2)S△OAB=S梯形BOCE-S△ACO-S△ABE.解法 2 由解法 1 知A(1,6),B(3,2).設(shè)直線AB交x軸、y軸分別于點C、D(

      新課程(下) 2018年6期2018-08-08

    • 第58屆IMO平面幾何題命題探秘
      S、K,直線RT過點S,與⊙O1、⊙O2分別交于點R、T,直線HB過點K,與⊙O1、⊙O2分交于點H、B,求證:RH∥TB.延長HR到點Z,并連結(jié)SK,注意到∠ZRS=∠HKS=∠STB,即知RH∥TB.下面,讓我們來看看這道經(jīng)典例題是如何被盧森堡數(shù)學(xué)奧林匹克命題專家巧妙演繹為國際數(shù)學(xué)奧林匹克(IMO)平面幾何試題的.1.極端化如圖1,記RH所在直線為l,令點H、B分別在⊙O1、⊙O2上運動(直線HB過點K),當點H趨近于點R并最終與點R重合時,直線l由割

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2018年6期2018-07-02

    • 橢圓與雙曲線的一個美妙性質(zhì)及應(yīng)用
      占峰性質(zhì)1 過點 的直線 與曲線 相交于A,B兩點,點 ,則(1)當 時,x軸為 的平分線;(2)當 ,x軸為 的外角的平分線.證明:不妨設(shè)直線 的斜率存在,其方程為由 ,消去y 可得,直線AN,BN關(guān)于x軸對稱,由此知:(1)當 時,x軸為 的平分線(如圖1);(2)當 ,x軸為 的外角的平分線(如圖2).注:在性質(zhì)1中,當 時,C表示焦點在x軸上的橢圓;當 時,表示焦點在y軸上的橢圓;當 時,表示一個圓.由此便知有如下的性質(zhì)2.性質(zhì)2 過點 的直線 與

      學(xué)校教育研究 2018年19期2018-05-14

    • 對一道高考試題的分析與研究
      和點(1) 若過點M有且只有一條直線與圓O相切,求實數(shù)a的值,并求出切線方程;(2)若 ,過點M的圓的兩條弦AC,BD互相垂直,求 的最大值.分析:(1) 由于點M有且只有一條直線與圓O相切,所以點M在圓上.(2) 設(shè) ,則思考1: 根據(jù)基本不等式: ,只能求 的最小值,而不能求其最大值.思考2: 根據(jù)重要不等式:,知道, 要求 的最小值,只需證明 為定值.當然,上述兩個不等式中,等號成立的充要條件都是 .解:(1) 由于點M有且只有一條直線與圓O相切,

      課程教育研究·新教師教學(xué) 2015年29期2017-09-27

    • 圓中的一個面積關(guān)系
      r>0,C≠0.過點P-ACr2,-BCr2的直線交圓K于A,B兩點,分別過點A,B的兩條平行線與直線l0交于點A1,B1,記△AA1P,△A1B1P,△BB1P的面積分別為S1,S2,S3,則S22=4S1S3.證明 如圖所示,分別過A,B兩點做直線l0的垂線,垂足分別為A2、B2,線段AB1、BA1交于點Q.設(shè)過點P的直線l的傾斜角為θ.則直線l的參數(shù)方程為x=tcosθ-ACr2,y=tcosθ-BCr2.設(shè)A(t1cosθ-ACr2,t1cosθ-

      數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2016年17期2017-01-17

    • 數(shù)學(xué)建模顯捷徑,一題多解求面積 ———巧用模型求拋物線中的三角形面積
      【建模】如圖1,過點E作EF∥y軸,交AD于F;作AH⊥EF于H、DG⊥EF于G.則S△AED=S△AEF+S△DEF=×EF×AH+×EF×DG=×如圖2,過點A作AF∥x軸,交DE于F;作EH⊥AF于H、DG⊥AF于G.則S△AED=S△AEF+S△ADF=×AF×EH+×AF×DG=× AF×(EH+DG)=×AF×|yD-yE|.如圖3,過點E作EF⊥AD于F.則S△AED=×AD×EF.【應(yīng)用】例拋物線y=ax2-2ax-4與x軸交于點A、B(A

      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年24期2016-12-28

    • 小題小作 小題巧作
      如圖1所示,分別過點A、B作橢圓右準線的垂線段AD、BC,過點B作BE⊥AD于點E.(構(gòu)造直角梯形,再分割)由橢圓的第二定義可得|AE|=|AD|-|BC=4t.解題思路 如圖2所示,分別過點B、D作橢圓右準線的垂線段BH、DC,過點D作DE⊥BH于點E. (構(gòu)造直角梯形,再分割)設(shè)|DF|=t,|DC|=s,由橢圓的第二定義可得解題思路 如圖3,設(shè)雙曲線的右準線為l,過A、B分別作AM⊥l于M,BN⊥l于N,BD⊥AM于D.(構(gòu)造直角梯形,再分割)解題思

      數(shù)理化解題研究 2016年31期2016-12-16

    • 高一數(shù)學(xué)測試
      F,其中斜邊DE過點B,且與AC平行,DF過點A,EF過點C;方案2:擴大為一個等邊三角形DEF,其中DE過點B,DF過點A,EF過點C.(1)求方案1中?DEF面積S1的值;(2)在方案2中,設(shè)∠DBA=θ,用θ表示?DEF的邊長f(θ),并求出?DEF面積S2的最大值.(1)當m=12時,求a2 016的值;(3)是否存在m,使S128m+3≥2 016成立,若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.參考答案一、填空題5. 9;6.9;7.兩解;8.4

      高中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2016年13期2016-07-07

    • 平移在數(shù)學(xué)解題中的妙用——由一道中考壓軸題的解法聯(lián)想到
      圖4,中線倍長:過點A作AH⊥AD交BD延長線于點H.證△ADH≌△ODB,得BO=AH.因為BO⊥AO,所以AH∥BO.圖4圖5方法二:如圖5,過點C作CG∥AO交BD于點G,因為AD=OD,思路點撥:本題所要求的結(jié)論是線段比值,問題一定要轉(zhuǎn)化為相似或平行線分線段定理,以下用6種方法解答問題(2).方法一:設(shè)AD=a,則AO=BO=4a.如圖6,過點A作AH∥BD且BH∥AO,連接CH,則四邊形ADBH為平行四邊形.圖6所以△BHC∽△OCA,所以∠1=

      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年4期2016-04-13

    • 一道高考試題的解題分析
      張同語等題目設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x2+y2b2=1(0這是2014年高考數(shù)學(xué)安徽卷理科第14題,通過調(diào)查,我校不少考生對該題都是采用如下的解法. 題目設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x2+y2b2=1(0這是2014年高考數(shù)學(xué)安徽卷理科第14題,通過調(diào)查,我校不少考生對該題都是采用如下的解法. 題目設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x2+y2b2=1(0這是

      中學(xué)生理科應(yīng)試 2014年12期2015-01-15

    • 證明三角形角平分線定理的六法
      造平行線法如圖,過點C作CE∥AD交BA的延長線于點E,∴ ∵ AD平分∠A ∴ ∠BAD=∠CAD∵AD∥CE ∴ ∠E=∠BAD ∠ACE=∠CAD ∴ ∠E=∠ACE∴AC=AE ∴二、構(gòu)造相似三角形法如圖,過點B作BE⊥AD,交AD的延長線于點E,過點C作CF⊥AD于F,則BE∥CF,∴ΔBDE∽ΔCDF∴ ∵ ∠BAD=∠CAD,∠AEB=∠AFC=90°∴ΔAEB∽ΔAFC ∴ ∴三、面積法如圖,過點D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F

      讀寫算·教研版 2014年20期2014-12-03

    • 圓錐曲線中相交弦的有關(guān)性質(zhì)
      的弦AB,CD,過點A,B分別作橢圓的切線交于點M,過點C,D分別作橢圓的切線交于點N,則MN∥PQ.筆者借助幾何畫板研究,發(fā)現(xiàn)在圓錐曲線中相交弦的有關(guān)性質(zhì),下面一一介紹.思考1定理1中“O′為弦PQ的中點”的條件可否一般化?經(jīng)過筆者研究,知該條件無法一般化,但可以得到進一步的結(jié)論:圖1性質(zhì)1如圖1,PQ是橢圓的非對稱軸的弦,O′為弦PQ上一點,過點O′作2條與PQ不重合的弦AB,CD,過點A,B分別作橢圓的切線交于點M,過點C,D分別作橢圓的切線交于點N

      中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2013年5期2013-10-26

    • 從不同視角探求一道課本習(xí)題中“視角”的最值問題
      視角1 如圖2,過點C垂直于AB的直線記為DE(D為垂足).當DE與過點A,B的圓相切時,切點記為C,此時∠ACB=∠α最大.事實上,觀察圖2,易得無論點C是前行還是后退到點C',過點A,B,C'的圓必與直線DE相交,此時∠AC'B必小于圓內(nèi)的∠α.當DE與過點A,B,C的圓相切且切點為C時,由切割線定理得圖2視角2 (借助于兩角差的正切公式求tan∠ACB的最大值)圖3視角3 (借助于正弦定理求sin∠ACB的最大值)由視角2可得視角4 (借助于余弦定理

      中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2013年1期2013-08-27

    • 關(guān)于t-blocking集合的一個新下界*
      其中P∈K,L為過點P的直線.引理1 設(shè)K為PG(2,q)中的一個t-blocking集合,ti如上所示,則證 我們通過2種不同的方法來計算所有符合條件的二元數(shù)組(P,L)的個數(shù).因為PG(2,q)中任意一條直線Li上有ti個點是屬于K中的,即它確定了ti個不同的二元數(shù)組,而在PG(2,q)中共有q2+q+1條直線,所以所有符合條件的另外也可用過點P的直線的條數(shù)來計算這些二元數(shù)組的個數(shù).因為過點P的直線有q+1條,即這一點確定了q+1個二元數(shù)組,而K中點的

      湖南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版) 2013年2期2013-03-19

    • 龍鳳曲線切線的幾個有趣性質(zhì)
      圓交于點A,B,過點M的直線l2與雙曲線交于點C,D(如圖1),過點A,B作龍曲線的2條切線交于點P,過點C,D作鳳曲線的2條切線交于點Q,則PQ⊥x軸.圖1證明如圖1所示,設(shè)A(acosθ1,bsinθ1),B(acosθ2,bsinθ2),則過點A,B的切線方程為解得點P的坐標為從而由kAM=kBM得化簡得則又設(shè)C(asecα1,btanα1),D(asecα2,btanα2),則過點C,D的鳳曲線的2條切線方程分別為由kCM=kDM得化簡得則因此xP

      中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2011年5期2011-11-21

    • 平面幾何中“+=”型問題的新證法
      B于點E.證明 過點B作BF∥DE與AD的延長線相交于點F,因為DE∥AC,所以BF∥AC,于是∠F=∠CAD,又因為例2 如圖3,已知∠POR=120°,OQ 平分∠POR,直線 l分別交 OP,OQ,OR 于 A,B,C.圖3證明 延長AO至點D使OD=OC,延長 CO至點 E使OE=OA,連接 CD,AE.易知△OCD,△OAE均為正三角形,故得CD∥OB∥AE.例3 如圖4,在 Rt△ABC中,⊙O的圓心在斜邊AB上,直角邊 AC,BC分別切半圓于

      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2011年12期2011-02-01

    • 三角形與三棱錐的兩個性質(zhì)命題的逆命題
      λ3都是正實數(shù),過點P作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點,且〢M=x〢B擼〢N=y〢C命題2 如圖2所示,已知三棱錐ABCD及其內(nèi)部一點P,若λ1㏄A+λ2㏄B+λ3㏄C+λ4㏄D筆者進一步研究后發(fā)現(xiàn)上述兩個命題的逆命題也成立,現(xiàn)將其敘述并證明如下.命題3 如圖1所示,已知△ABC及其內(nèi)部一點P,過點P作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點,且〢M=x〢B證明:∵M、N、P三點共線(A不在直線MN上),∴〢P=μ1〢M+μ2〢N=μ1x〢B+μ2y

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年2期2008-12-10

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