橢圓與雙曲線的一個(gè)美妙性質(zhì)及應(yīng)用

占峰

性質(zhì)1 過點(diǎn) 的直線 與曲線 相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn) ，則

（1）當(dāng) 時(shí)，x軸為 的平分線；

（2）當(dāng) ，x軸為 的外角的平分線.

證明：不妨設(shè)直線 的斜率存在，其方程為

由 ，消去y 可得

，直線AN，BN關(guān)于x軸對(duì)稱，由此知：

（1）當(dāng) 時(shí)，x軸為 的平分線（如圖1）；

（2）當(dāng) ，x軸為 的外角的平分線（如圖2）.

注：在性質(zhì)1中，當(dāng) 時(shí)，C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng) 時(shí)，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；當(dāng) 時(shí)，表示一個(gè)圓.由此便知有如下的性質(zhì)2.

性質(zhì)2 過點(diǎn) 的直線 與曲線 相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn) ，則

（1）當(dāng) 時(shí)，y軸為 的平分線；

（2）當(dāng) ，y軸為 的外角的平分線.

性質(zhì)3過點(diǎn) 的直線 與雙曲線 相交于同一支上的A，B兩點(diǎn)，點(diǎn) ，則

（1）當(dāng) 時(shí)，x軸為 的平分線；

（2）當(dāng) 時(shí)， x軸為 的外角的平分線.

證明：不妨設(shè)直線 的斜率存在，其方程為

由 ，消去y 可得

，直線AN，BN關(guān)于x軸對(duì)稱，由此知：

（1）當(dāng) 時(shí)，x軸為 的平分線（如圖3）；

（2）當(dāng) 時(shí)， x軸為 的外角的平分線（如圖4）.

注：當(dāng)B，A分別位于雙曲線的左，右支時(shí)，則與性質(zhì)3中的結(jié)論相反：

（1）當(dāng) 時(shí)，x軸為 的平分線；

（2）當(dāng) 時(shí)， x軸為 的外角的平分線.

應(yīng)用

例1 （2015年高考四川理科數(shù)學(xué)第20題）如圖，橢圓E： 的離心率是 ，過點(diǎn)P（0，1）的動(dòng)直線 與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線 平行與 軸時(shí)，直線 被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為 .

（1）求橢圓E的方程；

（2）在平面直角坐標(biāo)系 中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，

使得 恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解析（1） ；

（2）因?yàn)?，所以當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 ，由性質(zhì)2知，y軸為 的平分線，所以 恒成立.

例2 過點(diǎn) 的直線與雙曲線E： 相交于同一支上的A，B兩點(diǎn)，點(diǎn) .若 干，則直線 的斜率為 .

解 由性質(zhì)3知，x軸為 的外角的平分線，，過點(diǎn)A，B分別作x軸的垂線，垂足分別為G，H，則 ∽ ，故 （如圖5）

聯(lián)立（1），（5）解得 ，代入（3）解得 ，故直線 的斜率

.