巧作平行線 構造相似形

周青松

類型一：巧連線段中點構造相似三角形

例1 如圖1，在△ABC中，E、F是邊BC上的兩個三等分點，D是AC的中點，BD分別交AE、AF于點P、Q，求BP∶PQ∶QD。

【分析】求線段比可以轉化為證相似三角形的問題來解決。通過已知條件獲悉有三等分點、有中點，從而利用平行線構造相似形（A型或X型）得到BP、PQ與DQ的關系。

解法1：如圖2，點D為線段AC的中點，點F為線段EC的中點，連接DF，從而得到DF∥AE，DF∥PE，△BEP∽△BFD，△APQ∽

△FDQ。通過平行線構造出了一個A型圖和一個X型圖，通過兩次相似即可得到結論BP∶

PQ∶QD=5∶3∶2。

解法2：如圖3，過點D作DG∥BC，交AE于點G，AF于點H。根據三角形中位線定理得到CF=2DH，得到QB=4DQ，BP=PD，得到BP、PQ與DQ的關系，求比即可。

【點評】本題考查平行線分線段成比例定理和三角形中位線定理，靈活運用定理、找準對應關系是關鍵。

類型二：過頂點作平行線構造相似三角形

例2 （2021·江蘇連云港）如圖4，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D。若BF=3FE，則[BDCD]= 。

【分析】傳統(tǒng)方式依舊可行，利用平行線構造相似形（A型或X型）便容易得解。此類問題也可以轉化為三角形的面積問題來解決。

解法1：如圖5，過點A作BC的平行線，交BE的延長線于點G。

因為BE是△ABC的中線，

易證△AEG≌△CEB，故BE=GE，GA=BC。

令EF=y，則BF=3y，GE=BE=4y，F(xiàn)G=5y。

因為AG平行于BC，易證△DFB∽△AFG，

故[BDGA]=[BFGF]=[35]，故[BDBC]=[35]，

從而[BDCD]=[32]。

解法2：如圖6，過E作EG∥AD，從而可以得到FD∥EG，G是CD的中點，根據已知BF=3FE，可以得到[BDCD]=[32]。

解法3：如圖7，連接CF，因為BE是△ABC的中線，所以FE是△FAC的中線，故S△FAE=S△FCE。

過點C作CN⊥AD于點N，過點F作FP⊥BC于點P，過點B作BM⊥AD交AD延長線于點M，令BM=h1，CN=h2，F(xiàn)P=h3，S△FAE=S△FCE=x。

因為BF=3FE，所以S△ABF=3x，

此時[S△ABFS△AFC]=[12AF·h112AF·h2]=[h1h2]=[32]，

故[S△BDFS△CDF]=[12DF·h112DF·h2]=[12BD·h312CD·h3]=[BDCD]=[32]。

【點評】本題表面上求的是兩條線段的比，其實質仍然是構造相似三角形。

類型三：過一邊上的點作平行線，構造相似三角形

例3 如圖8，在△ABC中，AB>AC，在邊AB上取一點D，在AC上取一點E，使AD=AE，直線DE和BC的延長線交于點P。求證：[BPCP]=[BDCE]。

【分析】要證[BPCP]=[BDCE]，由圖結構可知BP、CP共線且有公共端點，可以過點C作BA的平行線構造相似三角形，或過點C作DE的平行線，利用平行線分線段成比例來證明。

證法1：如圖9，過點C作CF∥AB，交DP于點F，從而得到△PCF∽△PBD，故[BPCP]=[BDCF]，根據已知條件知AD=AE，結合CF∥AB可以推導出EC=CF，故[BPCP]=[BDCE]。

證法2：如圖10，過點C作CF∥DE，交AB于點F，從而得到[BPCP]=[BDFD]，[ADDF]=[AEEC]，根據已知條件知AD=AE，故EC=DF，故[BPCP]=[BDCE]。

【點評】求同一條直線上有公共端點的兩條線段的比，通?？梢酝ㄟ^兩條線段的三個端點之一作已知線段的平行線，構造相似三角形（A型或X型）。

類型四：過一點作平行線，構造相似三角形

例4 如圖11，在△ABC中，點M為AC邊的中點，點E為AB上一點，且AE=[14]AB，連接EM并延長，交BC的延長線于點D。求證：BC=2CD。

【分析】我們不難發(fā)現(xiàn)，此題與上述三個例題相似，依然是作平行線，利用平行構造相似三角形（A型或X型）來解決問題。

證法1：如圖12，過點C作CF∥AB，交DE于點F，構造A型相似，△CDF∽△BDE，

∴[CFBE]=[CDBD]。

∵點M為AC邊的中點，

易證△AME≌△CMF，∴AE=CF。

∵AE=[14]AB，BE=AB-AE，

∴BE=3AE，∴[AEBE]=[13]。

∵[CFBE]=[CDBD]，∴[CDBD]=[AEBE]=[13]，

即BD=3CD。

又∵BD=BC+CD，∴BC=2CD。

證法2：如圖13，過點C作CF∥DE，交AB于點F，從而[AEAF]=[AMAC]。

又∵點M為AC邊的中點，∴AC=2AM，

∴2AE=AF，∴AE=EF。

又∵[AEAB]=[14]，∴[BFEF]=2。

∵CF∥DE，∴[BFEF]=[BCCD]=2，∴BC=2CD。

【點評】經三角形一邊的中點、三角形的頂點、三角形一邊上的點作平行線來構造相似三角形求解，是基于相似來解決問題的常用方法。

（作者單位：蘇州工業(yè)園區(qū)獨墅湖學校）