利用乘法原理計(jì)算等可能事件發(fā)生的概率

董梅

教材給出了計(jì)算等可能事件概率的兩個(gè)基本方法：一是畫樹狀圖法，二是列表法，這兩種方法的共同特點(diǎn)是比較形象、直觀地列舉出了某一事件所有等可能結(jié)果，然后再?gòu)闹写_定所要出現(xiàn)事件的個(gè)數(shù)，最后根據(jù)概率的定義計(jì)算出該事件的概率。雖然這兩種確定事件概率的方法在解決一些簡(jiǎn)單問題時(shí)立竿見影、效果明顯，但這兩種方法的局限性是：列表法只能表示兩步事件發(fā)生的所有等可能性結(jié)果，樹狀圖可以表示兩步及兩步以上事件發(fā)生的所有等可能性結(jié)果，但是當(dāng)步數(shù)增多時(shí)所列的樹狀圖會(huì)比較亂。遇到此類情況，我們可以嘗試?yán)贸朔ㄔ斫鉀Q。

所謂乘法原理，就是如果完成一件事需要多個(gè)步驟，其中做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事一共有m1×m2×…×mn種不同的方法。需要注意的是：（1）這件事要分幾個(gè)獨(dú)立步驟來(lái)完成;（2）每個(gè)步驟各有若干種不同的方法來(lái)完成。根據(jù)這個(gè)原理，我們?cè)谇蠖嗖皆囼?yàn)事件發(fā)生的概率時(shí)，可以求出第一步事件發(fā)生的概率為p1，第二步事件發(fā)生的概率為p2……第n步事件發(fā)生的概率為pn，這樣整個(gè)事件發(fā)生的概率就是p1×p2×…×pn。

例1 （2021·陜西）從一副普通的撲克牌中取出四張牌，它們的牌面數(shù)字分別為2，3，3，6。

（1）將這四張撲克牌背面朝上，洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，則抽取的這張牌的牌面數(shù)字是3的概率為 ;

（2）將這四張撲克牌背面朝上，洗勻。從中隨機(jī)抽取一張，不放回，再?gòu)氖Ｓ嗟娜龔埮浦须S機(jī)抽取一張。請(qǐng)利用畫樹狀圖或列表的方法，求抽取的這兩張牌的牌面數(shù)字恰好相同的概率。

【解析】在解決第（2）問時(shí)，我們可以利用樹狀圖或列表分析完成，通過列表或畫樹狀圖發(fā)現(xiàn)所有等可能性結(jié)果共有12種，其中兩次都是3的共有2種，于是得到其概率為[16]。我們也可以利用乘法原理，完成這個(gè)事件分兩步：第一步抽一張3，第二步再抽一張3。所以第一步是4張中有2張3，則p1=[12];第二步是在剩下的3張中抽剩下的一張3，則p2=[13]。這樣此事件發(fā)生的概率為p=p1×p2=[12]×[13]=[16]。

與此類似的還有2021年湖南省懷化市中考第21題第（4）問：在這次測(cè)試中，九年級(jí)（3）班的甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的成績(jī)均為“優(yōu)秀”，現(xiàn)班主任準(zhǔn)備從這四名同學(xué)中隨機(jī)選取兩名同學(xué)出一期“禁毒”知識(shí)的黑板報(bào)，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法求甲、乙兩名同學(xué)同時(shí)被選中的概率。這道題也可以借助乘法原理完成：這是一個(gè)在4人中選2人的事件，選第一人時(shí)有兩個(gè)符合條件，選第二人時(shí)只有一個(gè)符合條件，所以事件的概率p=p1×p2=[12]×[13]=[16]。我們用常規(guī)方法也能解決以上兩個(gè)問題，乘法原理此時(shí)并不能體現(xiàn)其優(yōu)勢(shì)，但可以借助乘法原理驗(yàn)證其結(jié)果的正確性。

例2 （2021·江蘇南京）不透明的袋子中裝有2個(gè)紅球、1個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別。

（1）從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，放回并搖勻，再隨機(jī)摸出1個(gè)球。求兩次摸出的球都是紅球的概率。

（2）從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，如果是紅球，不放回再隨機(jī)摸出1個(gè)球;如果是白球，放回并搖勻，再隨機(jī)摸出1個(gè)球。兩次摸出的球都是白球的概率是 。

【解析】第（1）問是一個(gè)兩步試驗(yàn)，第一次是在3個(gè)球中摸出一個(gè)紅球，概率為[23]，第二次還是在3個(gè)球中摸出一個(gè)紅球，概率為[23]，這樣兩次都摸到紅球的概率就是[23]×[23]=[49]。第（2）問中第一次摸到紅球是一個(gè)無(wú)效事件，這樣就變成了兩次都摸到的是白球的概率，所以可以表示為[13]×[13]=[19]。這道題容易出錯(cuò)，抓住題中的關(guān)鍵條件很重要。這是一個(gè)兩步試驗(yàn)，計(jì)算的概率也只能是兩次摸球的結(jié)果，所以問題中的前半句實(shí)質(zhì)是一個(gè)無(wú)效條件。

例3 （2021·內(nèi)蒙古通遼）如圖，甲、乙兩個(gè)轉(zhuǎn)盤均被分成3個(gè)面積相等的扇形，每個(gè)扇形中都標(biāo)有相應(yīng)的數(shù)字，同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤（當(dāng)指針指在邊界線上時(shí)視為無(wú)效，需重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤），當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，把甲、乙兩個(gè)轉(zhuǎn)盤中指針?biāo)笖?shù)字分別記為x，y。請(qǐng)用樹狀圖或列表法求點(diǎn)（x，y）落在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的概率。

【解析】?jī)纱无D(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，其實(shí)質(zhì)是一個(gè)兩步試驗(yàn)。畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，點(diǎn)（x，y）落在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的結(jié)果有4種，再由概率公式可得概率為[49]。我們也可以利用乘法原理來(lái)完成，由題意得點(diǎn)（x，y）在第一象限，即表示第一次在甲轉(zhuǎn)盤中轉(zhuǎn)到一個(gè)正數(shù)，概率為[23]，第二次在乙轉(zhuǎn)盤中也轉(zhuǎn)到一個(gè)正數(shù)，概率為[23]，這樣兩次都轉(zhuǎn)到正數(shù)的概率為[23]×[23]=[49]。

利用乘法原理求一個(gè)事件發(fā)生的概率，一定要分清事件發(fā)生分幾步，每一步有多少種情況。我們?cè)诮忸}的過程中使用乘法原理可以省時(shí)省力，還可以驗(yàn)證結(jié)果的正確性。當(dāng)然這個(gè)方法在初中數(shù)學(xué)中不是必須要掌握的，學(xué)有余力的同學(xué)可以拓展自己的知識(shí)視野，發(fā)展自己的興趣愛好。

（作者單位：江蘇省南京市六合區(qū)雄州初級(jí)中學(xué)）