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    證法

    • 一個(gè)擂臺(tái)不等式的探究
      與大家分享.二、證法探究這個(gè)不等式是成立的,下面給出3 種證法.證法1先證:由綜上可得(?)成立,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),(?)中等號(hào)成立.證法2先證:由均值不等式,得下同證法1.證法3由均值不等式,得評(píng)注由證法1,可得到一個(gè)不等式的隔離:三、進(jìn)一步探究3.1 題目的猜想利用均值不等式,易得:由②、③及原題,有如下的:猜想設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù),n∈N+,有3.2 當(dāng)n=4 時(shí)的探究當(dāng)n=4 時(shí),猜想是成立的,即有:命題1設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù),則先給出一個(gè)引理

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2023年7期2023-09-11

    • 一道北大綜合營試題的證法賞析
      出這道試題的多種證法.一、試題呈現(xiàn)如圖1,已知等腰直角△ABC,∠A=90°,點(diǎn)D在邊AB上,E在邊AC上,AD=AE,過點(diǎn)A,D分別作BE的垂線交BC于P,Q.用平面幾何方法證明:PQ=PC.圖1試題簡潔明了,結(jié)構(gòu)也不算復(fù)雜,題目特意強(qiáng)調(diào)用平面幾何方法證明.自然的想法就是添加輔助線,證明的途徑較多,關(guān)鍵在于利用題目條件進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化.二、證法賞析思路一兩條線段AP和DQ都垂直于BE,可以通過構(gòu)造平行線成比例解決問題.不同的解題視角,可得到以下4種證法.證

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2023年2期2023-01-16

    • 一道2022年江西省預(yù)賽試題的探究
      本文對(duì)這道試題的證法、變式和推廣作一探究.二、證法探究,不同視角、同樣精彩證法三:由已知條件結(jié)合均值不等式可得三、變式拓展以上兩個(gè)變式也可以用證法三-證法六來完成.四 推廣當(dāng)λ=2時(shí)就是2022年江西省高中數(shù)學(xué)預(yù)賽試題第10題.以上幾個(gè)推廣由有興趣的讀者自行完成.

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2022年12期2022-12-26

    • 歐幾里得證法中的雙模型
      般稱其為歐幾里得證法。具體的證明過程同學(xué)們可以見教材第88 頁中的內(nèi)容——“勾股定理的證明”。在歐幾里得證法中,我發(fā)現(xiàn)了幾何中經(jīng)常用到的兩個(gè)數(shù)學(xué)模型,一個(gè)是“手拉手”模型,另一個(gè)是“平行等積”模型。如圖1,當(dāng)AB=BF,BC=BD,并且它們的夾角∠ABF和∠CBD相等時(shí),就能證得△ABD≌△FBC,這就是我們常用的“手拉手”模型。圖1圖2如圖2,當(dāng)AB∥CD時(shí),易得S△ABC=S△ABD,這就是“平行等積”模型。我們在很多問題中會(huì)用到這個(gè)數(shù)學(xué)模型。進(jìn)一步研

      初中生世界 2022年42期2022-11-29

    • 由一道中考題說起
      ,∴∠B=∠C。證法一(三次全等):如圖3,連接AD、AE、DO、EO。圖3在△ABD和△ACE中,∵AB=AC,∠B=∠C,BD=CE,∴△ABD≌△ACE(SAS)?!郃D=AE。在△AOD和△AOE中,∵AD=AE,AO=AO,OD=OE,∴△AOD≌△AOE(SSS)。∴∠DAO=∠EAO。在△AFD和△AFE中,∵AD=AE,∠DAF=∠EAF,AF=AF,∴△AFD≌△AFE(SAS)?!唷螪FA=∠EFA。又∵∠DFA+∠EFA=180°,∴

      初中生世界 2022年39期2022-11-02

    • 一道伊朗競賽題的背景、證明、變式與拓展探究
      表一個(gè)“簡單”的證法,但隨后便發(fā)現(xiàn)存在問題并致歉. 之后香港Kee-Wai Lan 在第206-207 頁發(fā)表了一個(gè)較長證明,其中動(dòng)用了導(dǎo)數(shù),雜志編輯還特別提到希望看到該問題簡潔的證法,然而四、五年內(nèi)并未收到令大家都滿意的證法. 因?yàn)樵诋?dāng)時(shí)甚至包括現(xiàn)在,很多不等式愛好者都追求簡潔漂亮的證法(不用微積分、不用復(fù)雜展開計(jì)算、不要難以理解、不要太長過程等).伊朗人還是不滿足當(dāng)前復(fù)雜的證法,特別期待簡潔的證法,于是把該題作為1996 年數(shù)學(xué)奧林匹克試題,試圖借此引

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2022年13期2022-08-29

    • 一道代數(shù)不等式的三角背景及多種證法
      .二、命題的多種證法a+b-c、b+c-a、c+a-b三者中最多有一者非正,因?yàn)樗鼈儍蓛芍蜑檎?當(dāng)它們中一者非正,命題二顯然成立.所以我們只需考慮三者均為正的情形,這時(shí)a、b、c可以構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊.由(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)想到三角形的面積,得到如下證法.這是一個(gè)熟知的三角形不等式,不難證明,過程從略.以上兩種證明方法都與三角形密切相關(guān),作為一道代數(shù)不等式,我們希望有純代數(shù)證法,筆者經(jīng)過探究,又得到以下四種證法.證

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2022年8期2022-08-09

    • 對(duì)一道高中數(shù)學(xué)課本習(xí)題的多種證法探究
      等邊三角形.2 證法探究分析考慮到正方形和正三角形的對(duì)稱性,可以建立平面直角坐標(biāo)系通過兩點(diǎn)間距離相等證明,或用正余弦定理證明三邊相等,或通過作輔助線利用三角函數(shù)證明三個(gè)角均為60°,或通過再構(gòu)造等邊三角形利用平面幾何知識(shí)證明原三角形三內(nèi)角相等,或通過設(shè)點(diǎn)或構(gòu)造圓找點(diǎn)構(gòu)造等邊三角形,利用同一法證明等.思路1證明三邊相等.證法1(建系設(shè)點(diǎn))如圖2所示,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形邊長|AB|=2,則C(2,0),A(0,2),D(2,2).因?yàn)椤螾BC=∠PC

      數(shù)理化解題研究 2022年19期2022-08-01

    • 歐幾里得證法中的雙模型
      般稱其為歐幾里得證法。具體的證明過程同學(xué)們可以見教材第88頁中的內(nèi)容——“勾股定理的證明”。在歐幾里得證法中,我發(fā)現(xiàn)了幾何中經(jīng)常用到的兩個(gè)數(shù)學(xué)模型,一個(gè)是“手拉手”模型,另一個(gè)是“平行等積”模型。如圖1,當(dāng)AB=BF,BC=BD,并且它們的夾角∠ABF和∠CBD相等時(shí),就能證得△ABD≌△FBC,這就是我們常用的“手拉手”模型。如圖2,當(dāng)AB∥CD時(shí),易得S△ABC=S△ABD,這就是 “平行等積”模型。我們在很多問題中會(huì)用到這個(gè)數(shù)學(xué)模型。進(jìn)一步研究,我們

      初中生世界·八年級(jí) 2022年11期2022-05-30

    • 由一道中考題說起
      ,∴∠B=∠C。證法一(三次全等):如圖3,連接AD、AE、DO、EO。在△ABD和△ACE中,∵AB=AC,∠B=∠C,BD=CE,∴△ABD≌△ACE(SAS)。∴AD=AE。在△AOD和△AOE中,∵AD=AE,AO=AO,OD=OE,∴△AOD≌△AOE(SSS)。∴∠DAO=∠EAO。在△AFD和△AFE中,∵AD=AE,∠DAF=∠EAF,AF=AF,∴△AFD≌△AFE(SAS)?!唷螪FA=∠EFA。又∵∠DFA+∠EFA=180°,∴∠D

      初中生世界·九年級(jí) 2022年10期2022-05-30

    • 一道不等式題的多種巧證和結(jié)論推廣*
      x)2 解法探析證法1:(構(gòu)造一次函數(shù))令f(x)=(1-y-z)x+y+z-yz-1,x∈(0,1),∴f(0)=-(y-1)(z-1)圖1圖2證法4:(構(gòu)造立體圖形)如圖3,構(gòu)造一個(gè)邊長為1的正方體ABCD-EFGH,在正方體中分別取邊長為x,1-y,1的長方體IOPQ-EFRS,邊長為y,1-z,1的長方體AMND-IJKL,邊長為z,1-x,1的長方體TKCN-URGV.圖3由于x,y,z∈(0,1),根據(jù)體積關(guān)系可知VIOPQ-EFGR+VAMN

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2021年9期2021-10-22

    • 2020年全國Ⅲ卷理科數(shù)學(xué)第23題的探究與推廣
      b3+c3=3.證法一:由a+b+c=0得c=-a-b,所以a3+b3+c3=a3+b3-(a+b)3=a3+b3-(a3+3a2b+3ab2+b3)=-3ab(a+b)=3abc=3.證法二:由恒等式a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)得a3+b3+c3=3abc=3.證明:當(dāng)n=1,2,3時(shí),結(jié)論顯然成立.最后,本文提出以下猜想:

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2021年9期2021-10-22

    • 一道函數(shù)不等式試題的多種證法
      單增.評(píng)注:上述證法中,根據(jù)題設(shè)條件,a≥1,x>0得出ax>0,故在對(duì)函數(shù)式變形中,兩邊同除ax,使得后面的求導(dǎo)能找到公因式x-1,剩下只要簡證一下ex>x+1,由此g′(x)與0的關(guān)系立見分曉.(法2)欲證aex+2x-1≥x2+aex,即證aex-aex≥x2-2x+1=(x-1)2②.∵a≥1,∴aex-aex=a(ex-ex)≥ex-ex.令g(x)=ex-ex,則g′(x)=ex-e.∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)0,∴g(x)在(1,+∞)

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2021年8期2021-09-06

    • 一道2020年高考數(shù)列題的十種證法探究
      第(1)問的十種證法,旨在供同仁在教學(xué)過程中作參考,旨在對(duì)同學(xué)們在學(xué)習(xí)這類問題時(shí)有所幫助和啟示.證法1 (試驗(yàn)法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,證明如下:若an=2n+1,則an+1=2(n+1)+1=2n+3,又3an-4n=3(2n+1)-4n=6n+3-4n=2n+3,此時(shí)an+1=3an-4n成立,所以an=2n+1.證法2 (數(shù)學(xué)歸納法)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1,證明如下:(1)當(dāng)n=1時(shí),由an=2n+1知,a1=3,符

      數(shù)理化解題研究 2021年10期2021-08-05

    • 不等或問題的多種解(證)法
      《1,求證a+b證法1:因?yàn)閨a|《1,|6|《1,所以1士a》0,1土b》0。點(diǎn)評(píng):這里利用了絕對(duì)值不等式的性質(zhì),采用綜合法來證明,思路樸素自然。證法2:因?yàn)閨a|《1,|6|《1,所以1土a》0,1土b》0。點(diǎn)評(píng):此法通過構(gòu)造一次函數(shù),利用其單調(diào)性證明不等式,非常簡潔。證法4:當(dāng)6=0時(shí),原不等式顯然成立。點(diǎn)評(píng):此種證法通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明,突出了函數(shù)思想和方程思想,加強(qiáng)了函數(shù)、方程和不等式的聯(lián)系。證法了:消元法。證法4:判別式法。證法

      中學(xué)生數(shù)理化·高三版 2021年6期2021-07-25

    • 安振平老師的博客中兩個(gè)不等式證明
      (x+y+z).證法一:設(shè)s=x+y+z,p=xyz,∑x2=(∑x)2-2∑xy=s2-2,只需證明:2(s2-2)+5p+6≥5s等價(jià)于5p≥-2s2+5s-2(1).綜上所述,原不等式成立.綜上所述,原不等式成立.證法三:記s=x+y+z,p=xyz,∑x2=(∑x)2-2∑xy=s2-2,只需證明:2(s2-2)+5p+6≥5s?5p≥-2s2+5s-2?5p+(s-2)(2s-1)≥0(2).當(dāng)s≥2時(shí),(2)成立.問題4738 已知x、y、z≥

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2019年11期2019-12-31

    • 一道數(shù)學(xué)競賽訓(xùn)練題證法的商榷
      ,原不等式成立.證法2:(1)若△ABC為Rt△或鈍角△,證明方法同證法1.綜上所述,原不等式成立.證法3:(1)若△ABC為Rt△或鈍角△,證明方法同證法1.cosA+cosB+cosC+cos60°≤證法4:(1)若△ABC為Rt△或鈍角△,原不等式證明方法同證法1.綜上所述,原不等式成立.又∵4R2+12R+14r2≤8R2+8Rr+6r2等價(jià)于R2-Rr-2r2≥0,(R-2r)(R+r)≥0,由Euler不等式R≥2r知上述不等式成立.=2tan

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2019年5期2019-06-11

    • 一道北京大學(xué)夏令營試題的多種證法
      下幾種證明方法.證法2:因?yàn)閏osA+cosB+cosC=證法3:不妨設(shè)A≥B≥C,則B,C均為銳角.證法4:不妨設(shè)a=x+y,b=y+z,c=z+x,x,y,z∈R+.要證cosA+cosB+cosC>1,即證證法5:要證cosA+cosB+cosC>1,即證證法6:假設(shè)cosA+cosB+cosC≤1,則有acosA+acosB+acosC≤a,bcosA+bcosB+bcosC≤b,ccosA+ccosB+ccosC≤c,以上三式相加,得(acosB

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2018年12期2018-12-28

    • “奔馳定理”的多種證法及其應(yīng)用
      文給出了以下五種證法,并通過示例展示其在求解數(shù)學(xué)競賽題中的應(yīng)用.圖1下面從五個(gè)不同思路出發(fā)對(duì)定理的證明展開探索.證法一:利用三角形面積與線段比例關(guān)系推導(dǎo).如圖2,延長AP交BC于Q點(diǎn)(S=SA+SB+圖2證法二:利用正弦形式的三角形面積公式.圖3證法三:利用三角形重心的性質(zhì).圖4證法四:利用向量按垂直坐標(biāo)系分解的性質(zhì).圖5證法五:利用平面向量分解的基本定理.圖6利用奔馳定理可以容易解決如下問題:解析:由題意可知SΔBPC∶SΔAPC∶SΔAPB=1∶ 2∶

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2018年12期2018-12-28

    • 一道課本習(xí)題的九種證法
      后筆者整理出九種證法,供同行參考.圖1 證法一利 用面積法證法二利 用正弦定理證法三利用面積法證法四利用正弦定理和三角函數(shù)圖2 證法五利用三角形相似圖3 證法六利用平行線分線段成比例定理圖4 證法七利用三角形相似及合比定理圖5 證法八利用直角三角形相似圖6 證法九利用菱形及三角形相似圖7

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2018年20期2018-11-08

    • 一道能讓“隱圓”大展身手的幾何題*
      數(shù)學(xué)知識(shí)給出一種證法證法1因?yàn)椤螦CB=90°,AC=BC,所以∠BAC=∠ABC=45°.如圖2,作DE⊥AC于點(diǎn)E,DF⊥AB于點(diǎn)F,則DE=DF, ∠FDE=135°,又因?yàn)椤螧DC=67.5°,所以∠BDF+∠CDE=67.5°.延長CE至點(diǎn)G,使得EG=FB,可得Rt△DEG≌Rt△DFB(SAS),從而DG=DB, ∠GDE=∠BDF,于是∠GDC=∠GDE+∠CDE=67.5°=∠BDC.又DC=DC,得△GDC≌△BDC(SAS),從而于

      中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2018年7期2018-07-03

    • 一道數(shù)列題求通項(xiàng)的思考探究
      。下面進(jìn)行探究。證法1:(構(gòu)造法) 由an+1=3an+1得證法3:(歸納猜想法)由已知得:……這里的證明用數(shù)學(xué)歸納法就行。評(píng)析:上述證法1是參考答案提供的原證法,這種證法的第一步“由an+1=3an+1是利用“添項(xiàng)法”完成的,對(duì)一般同學(xué)來說,通常會(huì)遇到兩個(gè)問題:一是為什么要添項(xiàng)?二是添什么項(xiàng)?這兩個(gè)問題容易導(dǎo)致有些同學(xué)思維障礙的形成。雖然在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,老師也講過這種類型的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法,但是,因?yàn)橛行┩瑢W(xué)對(duì)這兩個(gè)問題較難理解,再加上這種“添

      中學(xué)生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學(xué)) 2018年3期2018-04-09

    • 多種證法解決一道課本例題
      3102))多種證法解決一道課本例題馬松林(甘肅省古浪縣第二中學(xué),甘肅 武威 733102))本文從一道課本例題出發(fā),除課本上給出的兩種證明方法外,作者又介紹了九種證明方法,通過這些證明方法可以讓同學(xué)們理解掌握不等式的基本證明方法.課本例題;證明方法此題的證明方法較多,課本上給出了作差比較法與分析法兩種證明方法,下面給出另外九種證法,以供大家參考.證法一(商值比較法)∵a,b,m∈R+,a證法二(放縮法)∵a,b,m∈R+,a證法三(增量換元法)設(shè)b=a+

      數(shù)理化解題研究 2017年28期2017-11-23

    • 一道經(jīng)典不等式問題的多種證法
      不等式問題的多種證法■陜西省武功縣教育局教研室 李 歆(特級(jí)教師)綜合法、分析法和反證法是數(shù)學(xué)證明的三種基本方法,下面利用這三種方法給出一道經(jīng)典不等式問題的多種證明方法,供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考。題目: 已知a,b,c∈R+,求證:a3+b3+c3≥3abc。一、綜合法本題可分別從作差比較法和作商比較法入手,利用熟知的立方和公式或和的立方公式以及基本不等式a2+b2≥2ab,以及a2+b2+c2≥ab+bc+ca進(jìn)行證明。證法一:a3+b3+c3-3abc=a3+

      中學(xué)生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學(xué)) 2017年4期2017-06-05

    • 一題多證 放飛思維
      00) 賴學(xué)鋒●證法一:綜合法∵(a+2)2+(b+2)2=a2+b2+4(a+b)+8=a2+b2+12,又∵a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab,∴(a+2)2+(b+2)2=13-2ab.證法二:分析法∴原不等式得證.證法三:比較法則原不等式成立.證法四:代數(shù)換元法∴原不等式得證.證法五:利用基本不等式變形∵(a+2)2+(b+2)2證法六:構(gòu)造函數(shù)法令y=(a+2)2+(b+2)2,∵a+b=1,∴原不等式得證.證法七:幾何法∵a+b=1,

      數(shù)理化解題研究 2017年10期2017-05-17

    • 歐拉不等式又兩則簡證
      出的歐拉不等式“證法不容易”,文[3]、[4]給出了“更簡捷證法”,受其啟發(fā),本文將再給出兩則新簡證.本文中,設(shè)△ABC的三邊a、b、c所對(duì)的角分別為A、B、C,△ABC的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R、r.證法1在△ABC中,根據(jù)基本不等式和正弦函數(shù)的凸凹性質(zhì),可得:所以進(jìn)一步可得:即得R≥2r,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)成立.注釋證法一也用三角證法,但篇幅極短且淺顯易懂,避免了文[1]妙證的繁瑣.下面仍采用邊變換和均值不等式,通過比值估計(jì)法來獲得比文[3]

      中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 2016年5期2016-11-10

    • Young不等式的兩種新證法
      g不等式的兩種新證法安徽省六安市六安中學(xué)張本春(郵編:237161)給出了Young不等式的兩種證法:均值不等式法和函數(shù)法.從引理到Y(jié)oung不等式的證明基本上都是采用初等數(shù)學(xué)的方法,是一次從初等數(shù)學(xué)的角度來思考高等數(shù)學(xué)問題的嘗試.Young不等式;均值不等式;函數(shù)1 均值不等式法引理易證,此處從略.下面運(yùn)用均值不等式法證明Young不等式.綜合(1)、(2)可知,Young不等式得證.2 函數(shù)法證法2先證明一個(gè)不等關(guān)系:設(shè)x>0,0構(gòu)造函數(shù)f(x)=xm

      中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 2016年5期2016-11-10

    • 對(duì)一道幾何題證法的賞析與思考
      昌義對(duì)一道幾何題證法的賞析與思考楊昌義一位勤學(xué)的學(xué)生問了我八年級(jí)上冊某教輔資料上的一道題,題目是:已知:如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)E在CA的延長線上,∠E=∠AFE。求證:EF⊥BC。教科書上兩直線垂直的定義是:兩直線相交所成的四個(gè)角中,如果有一個(gè)是直角,那么這兩直線叫做互相垂直。利用定義證明兩直線垂直是基本的思維方法。但對(duì)剛學(xué)證明的學(xué)生來說,還是較為困難的。而本題待證的兩條線段EF與BC不相交,更增加了難度。考慮到此題比較典型,我在接下來的課上

      湖南教育 2016年27期2016-10-13

    • 抓本質(zhì) 拓思路 求透徹*
      明,供參考.1 證法展示題目如圖1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,過點(diǎn)B的直線MN∥AC,D為BC邊上的一點(diǎn),聯(lián)結(jié)AD,過點(diǎn)D作DE⊥AD交MN于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)AE,∠ABC=45°,求證:AD=DE.圖1 圖2證法1如圖2,過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,作DH⊥MN于點(diǎn)H.由∠BAC=90°,∠ABC=45°,MN∥AC,可知∠ABC=∠NBC=45°,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知DF=DH.而由“等角的余角相等”又可知∠DAF=∠DEH,根據(jù)“AAS”得△DA

      中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2016年8期2016-09-06

    • 以美啟真 與美共舞 ——一道課本習(xí)題的解法探究
      均值換元法可得到證法1。證法1:均值換元,簡單明了二、數(shù)學(xué)美,美在對(duì)稱、整齊對(duì)稱是最能給人以美感的一種形式。正如德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家魏爾說:“美和對(duì)稱緊密相關(guān)?!睂?duì)稱不外乎局部與局部的對(duì)稱,幾何圖形與數(shù)學(xué)關(guān)系都存在這種對(duì)稱。體現(xiàn)形結(jié)構(gòu)與數(shù)(式)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱是對(duì)稱美,已知與結(jié)論的對(duì)稱能使解題者感到愉悅。本題中的條件和結(jié)論都關(guān)于a,b,c對(duì)稱,由對(duì)稱性啟發(fā),可得不同的證法。證法2(綜合法)雖然顯得突然,但證明過程處處體現(xiàn)出a,b,c的對(duì)稱、整齊、優(yōu)美;證法3(分

      湖南教育 2016年18期2016-03-15

    • 解析并推廣2014年“北約”自主招生不等式試題
      257027)證法6題目已知正實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn滿足x1x2…xn=1,求證:證法1證法2由AM-GM不等式知(1)由平均值不等式得證法4(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)不等式成立,即則當(dāng)n=k+1時(shí),因?yàn)閤1x2…xkxk+1=1,所以至少存在2個(gè)數(shù),其中一個(gè)不大于1,另一個(gè)不小于1,不妨設(shè)xk≤1,xk+1≥1,從而(xk-1)(xk+1-1)≤0,則xk+xk+1≥1+xkxk+1.由x1x2…xk-1(xkxk+1)=1以及n=k的假設(shè)知故當(dāng)

      中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2014年6期2014-08-07

    • 一道平面幾何題的六種證法
      幾何題千變?nèi)f化,證法靈活多樣,一題可有多種證法。 在平時(shí)的教學(xué)中,通過一題多證,可以加深學(xué)生對(duì)各學(xué)科知識(shí)的系統(tǒng)理解, 培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力,進(jìn)一步拓展學(xué)生的思維水平;使他們能熟練、系統(tǒng)地運(yùn)用掌握的基礎(chǔ)知識(shí)去分析問題和解決問題,更重要的是提高和培養(yǎng)了學(xué)生綜合解題能力和思維能力。下面以一道經(jīng)典平面幾何題為例,作六種證法和總結(jié)。1 題目題目:如圖1,已知AD∥BC,∠1=∠2,∠3=∠4,直線DC 過E 點(diǎn)交AD 于D,交BC 于C。求證:AD+BC=AB圖1

      科技視界 2013年2期2013-08-16

    • 舉一反三,一題多解
      相似三角形等).證法一:過D作DG∥CF交AB于點(diǎn)G,則有:∠DGA=∠CBA.因?yàn)椤螩AB=∠CBA,所以∠DGA=∠CAB=∠DAG.所以AD=DG.因?yàn)锳D=BF,所以DG=BF.又因?yàn)镈G∥CF,所以∠GDE=∠EFB.又因?yàn)椤螱ED=∠FEB(對(duì)頂角相等),所以△DGE≌△FBE.所以EF=ED.證法二:過D作DH∥AB交BC于H,則有:∠CHD=∠CBA,∠CDH=∠CAB.因?yàn)椤螩AB=∠CBA,所以CA=CB,∠CHD=∠CDH.所以CH=

      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年2期2012-08-27

    • 一道平面幾何問題的另證
      ,我們發(fā)現(xiàn)此問題證法靈活,難易適度,是一道適合奧賽訓(xùn)練的好題.現(xiàn)給出幾種更為簡潔自然的證法,供參考.證法一:如圖1所示,連結(jié)BF、DF,由B、C、D、F四點(diǎn)共圓,及AB∥CD,有∠BFC=∠BDC=∠ABD,∠CFD=∠CBD,所以,∠BFD∠ABC.又∠BDF=∠BCF=∠ACB,所以,△BDF∽△ACB.所以,BDAC=BFAB.同理△CDF∽△ECB,有CFBE=CDEC,由∠BAF=180°-∠BAC=180°-∠BEC=∠CED,及∠BFA=∠C

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年2期2008-12-10

    • 2008年高考數(shù)學(xué)江西理科卷壓軸題之別解
      明f(1)>1.證法(一):f(x)=11+x+11+λ+axax+8,由于x>0,a>0,故可令x=玹an2α,a=玹an2β,8ax=玹an2γ,且證α,β,γ∈(0,π2),則f(x)=玞osα+玞osβ+玞osγ,玹anα?玹anβ?玹anγ=22.由對(duì)稱性,不妨設(shè)0<γ≤β≤α<π2,于是,玹anα≥2,玹anβ玹anγ≤2蒔玸inβ玸inγ≤2玞osβ玞osγ蒔玞osβ玞osγ+玞os(β+γ)≥03玞os(β+γ)+玞os(β-γ)≥03玞o

      中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年8期2008-12-09

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