一道2020年高考數(shù)列題的十種證法探究

武增明

(云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

試題設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=3an-4n.

(1)計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；

(2)求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn.

這是2020年高考全國Ⅲ卷理科數(shù)學(xué)第17題.

這道考題的第(1)問是以數(shù)列遞推式為背景，求數(shù)列的通項(xiàng)公式問題，此問題符號(hào)優(yōu)美，題面簡(jiǎn)潔，構(gòu)思巧妙，立意新穎，讓人賞心悅目，耐人尋味，回味無窮，涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法非常豐富，邏輯推理性很強(qiáng)，具有很大的探究?jī)r(jià)值，具有很高的訓(xùn)練價(jià)值，具有很強(qiáng)的代表性，是一道訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的好題，很值得深入探究.于是，引起筆者極大的探究興趣與熱情.下面給出此題第(1)問的十種證法，旨在供同仁在教學(xué)過程中作參考，旨在對(duì)同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)這類問題時(shí)有所幫助和啟示.

證法1 (試驗(yàn)法)a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，證明如下：

若an=2n+1，則an+1=2(n+1)+1=2n+3，

又3an-4n=3(2n+1)-4n=6n+3-4n=2n+3，

此時(shí)an+1=3an-4n成立，所以an=2n+1.

證法2 (數(shù)學(xué)歸納法)a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，證明如下：

(1)當(dāng)n=1時(shí)，由an=2n+1知，a1=3，符合題意，故當(dāng)n=1時(shí)，an=2n+1成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)，an=2n+1成立，即ak=2k+1成立.

則n=k+1時(shí)，因?yàn)閍k+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2(k+1)+1，

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，an=2n+1成立.

由(1)，(2)可知，對(duì)于任意正整數(shù)n，an=2n+1成立.

證法3(正向思維迭代遞推法)a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，證明如下：

因?yàn)閍n+1=3an-4n，

所以a2-5=3(a1-3)，

a3-7=3(a2-5)，

a4-9=3(a3-7)，

……

an-(2n+1)=3[an-1-(2n-1)].

因?yàn)閍1-3=0，

所以an-(2n+1)=0，即an=2n+1.

證法4(逆向思維迭代遞推法)a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，證明如下：

由已知可得an+1-(2n+3)=3[an-(2n+1)]，

an-(2n+1)=3[an-1-(2n-1)]，

……

a2-5=3(a1-3).

因?yàn)閍1=3，即a1-3=0，

所以an-(2n+1)=0，即an=2n+1.

證法5(逆向思維迭代遞推法)a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，證明如下：

因?yàn)閍n+1=3an-4n，①

所以an=3an-1-4(n-1)，②

①-②，得an+1-an=3an-3an-1-4，

所以an+1-an-2=3(an-an-1-2)，

所以an-an-1-2=3(an-1-an-2-2)，

……

a4-a3-2=3(a3-a2-2)，

a3-a2-2=3(a2-a1-2).

因?yàn)閍2-a1-2=0，所以an+1-an-2=0.

于是數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=3，公差d=2的等差數(shù)列，故an=a1+(n-1)d，從而an=3+(n-1)·2，即an=2n+1.

證法6(逆向思維迭代遞推法)a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，證明如下：

因?yàn)閍n+1=3an-4n

①

所以an=3an-1-4(n-1)

②

①-②，得an+1-an=3an-3an-1-4，

所以an+1-an-2=3(an-an-1-2)，

所以an+1-an-2=3(an-an-1-2)=32(an-1-an-2-2)=33(an-2-an-3-2)=…=3n-1(a3-a2-2)=3n(a2-a1-2).

因?yàn)閍2-a1-2=0，所以an+1-an-2=0.

于是數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=3，公差d=2的等差數(shù)列，故an=a1+(n-1)d，從而an=3+(n-1)·2，即an=2n+1.

證法7 (逆向思維迭代遞推法)a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，證明如下：

令bn=an-(2n+1)，因?yàn)閍n+1=3an-4n，所以bn+1=3bn，從而bn+1=3bn=32bn-1=33bn-2=…=3n-1b2=3nb1.

所以b1=0，故bn=0，即an-(2n+1)=0，于是an=2n+1.

證法8(逆向思維待定系數(shù)法)a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，證明如下：

設(shè)an+1+k(n+1)+b=3an+(k-4)n+k+b，則

從而an+1-2(n+1)-1=3(an-2n-1)，

所以an-2[(n-1)+1]-1=3[an-1-2(n-1)-1]

……

a4-2(3+1)-1=3(a3-2×3-1)，

a3-2(2+1)-1=3(a2-2×2-1)，

a2-2(1+1)-1=3(a1-2×1-1)，

因?yàn)閍1-2×1-1=0，所以an-2n-1=0，即an=2n+1.

證法9 (待定系數(shù)法)a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，證明如下：

將an+1=3an-4n兩邊同除3n+1，得

證法10 (迭加法)a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，證明如下：

將an+1=3an-4n兩邊同除3n+1，得

①

②

①-②，得

……

從而an=2n+1.

作為學(xué)生領(lǐng)路人的教師，一些前因后果需要我們教者從其背后去思考、挖掘，只有潛心研究高考試題，從中探究出更多潛在價(jià)值，才能在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中高屋建瓴、有的放矢，才能確保對(duì)學(xué)生的指導(dǎo)方法得當(dāng)、條理清楚、思路流暢.潛心研究高考試題，在尋求解法的同時(shí)，要領(lǐng)略考題的本質(zhì)，挖掘其深刻的內(nèi)涵，才能充分發(fā)揮考題的功能和作用.