一道北京大學(xué)夏令營(yíng)試題的多種證法

陜西師范大學(xué)附屬中學(xué) (710061)

張錦川

試題在ΔABC中，求證：cosA+cosB+cosC>1.

本題是2017年北京大學(xué)夏令營(yíng)考試的一道試題，題目短小精悍，立足高中基礎(chǔ)知識(shí)，能很好地考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力，是高校選拔優(yōu)秀學(xué)生的良好素材.筆者經(jīng)過(guò)思考，給出了以下幾種證明方法.

證法2:因?yàn)閏osA+cosB+cosC=

證法3:不妨設(shè)A≥B≥C，則B，C均為銳角.

證法4:不妨設(shè)a=x+y，b=y+z，c=z+x，x,y,z∈R+.要證cosA+cosB+cosC>1，即證

證法5:要證cosA+cosB+cosC>1，即證

證法6:假設(shè)cosA+cosB+cosC≤1，則有acosA+acosB+acosC≤a，bcosA+bcosB+bcosC≤b，ccosA+ccosB+ccosC≤c，以上三式相加，得(acosB+bcosA)+(bcosC+ccosB)+(ccosA+acosC)+acosA+bcosB+ccosC≤a+b+c,即acosA+bcosB+ccosC≤0，即sinAcosA+sinBcosB+sinCcosC≤0，即sin2A+sin2B+sin2C≤0，即2sin(A+B)cos(A-B)+2sinCcosC≤0，即cos(A-B)-cos(A+B)≤0，即2sinAsinB≤0，得出矛盾，所以假設(shè)不成立，原不等式成立.

證法7:不妨設(shè)ΔABC的外接圓的直徑長(zhǎng)為1.

(1)若ΔABC為直角三角形，則cosA+cosB+cosC>1顯然成立；

(2)若ΔABC為銳角三角形，如圖1所示，則cosA+cosB+cosC=cos∠BDC+cos∠AEC+cos∠ADB=CD+AE+AD>CE=1；

圖1 圖2

(3)若ΔABC為鈍角三角形，不妨設(shè)角A為鈍角.如圖2所示，設(shè)∠BAA′=α，∠CAA′=β.則cosA+cosB+cosC=cos(α+β)+cosB+cosC=cosαcosβ-sinαsinβ+cosB+cosC=AB·AC-A′B·A′C+A′B+A′C=AB·AC-(1-A′B)(1-A′C)+1.因?yàn)锳B>AA′-A′B=1-A′B，AC>AA′-A′C=1-A′C，所以AB·AC>(1-A′B)(1-A′C)，從而得出cosA+cosB+cosC>1.

綜上所述，cosA+cosB+cosC>1.