高考導(dǎo)數(shù)壓軸題的那“點(diǎn)”事

廣東省廣州市真光中學(xué) (510380)

黃林盛

核心素養(yǎng)下的高考對(duì)學(xué)生的綜合素養(yǎng)的提出了新要求，函數(shù)零點(diǎn)問題是高中數(shù)學(xué)考察學(xué)生綜合素養(yǎng)的很好途徑，主要體現(xiàn)在基本初等函數(shù)的圖像，滲透著轉(zhuǎn)化、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用.近幾年的數(shù)學(xué)高考中頻頻出現(xiàn)函數(shù)零點(diǎn)存在的問題，其形式逐漸多樣化，難點(diǎn)在于函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間內(nèi)的取點(diǎn)問題.本文將以兩道高考題以例，闡述函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間內(nèi)應(yīng)如何取點(diǎn)的基本方法.

(1)若a=3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

解：(1)略；

綜上，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．

評(píng)析：如何思考到取3a-1,3a+1？

方法二：f′(x)=x2-a(2x+1)=x2-2ax-a,

①當(dāng)△=4a2+4a≤0即-1≤a≤0時(shí)，f′(x)≥0恒成立，且等號(hào)僅在a=-1或0，且x=a時(shí)取得，所以f(x)在R上單調(diào)遞增.

②當(dāng)△=4a2+4a≥0即a<-1或a>0時(shí)，x2-2ax-a=0有兩個(gè)不等實(shí)根，不妨設(shè)為x1,x2(x1

綜上所述，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

評(píng)析:如何取得零點(diǎn)區(qū)間為(-3|m|-1,|m|+1)呢？

思路2：由g(t)=t3+t2+t-m可得，試點(diǎn)，g(0)=-m，g(-1)=1-m，g(1)=3-m，g(m)=m3+m2=m2(m+1),g(2m)=8m3+4m2+m=m(8m2+4m+1)，g(-m)=-m3+m2-2m=

-m(m2-m+2),g(-2m)=-8m3+4m2-3m=

-m(8m2-4m+3)，因?yàn)?m2+4m+1>0，m2-m+2>0，8m2-4m+3>0都恒成立，即有

g(2m)g(-m)<0,g(2m)g(-2m)<0.

試題呈現(xiàn)2 (2015年高考全國Ⅰ卷文科數(shù)學(xué)第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，f′(x)沒有零點(diǎn)；

通過以上探究過程，可以總結(jié)零點(diǎn)區(qū)間端點(diǎn)選取的一般步驟：

步驟1：先分析當(dāng)x→∞或x→a時(shí)，f(x)的符號(hào)，確定影響符號(hào)的關(guān)鍵項(xiàng)，然后通過等價(jià)轉(zhuǎn)化使得y=f(x)各項(xiàng)均為基本初等函數(shù);

步驟2：由于放縮的需要，有時(shí)候需適當(dāng)縮小零點(diǎn)區(qū)間端點(diǎn)所在區(qū)間，一般說來，若區(qū)間為(a,+∞)(a<0)或(-∞,a)(a>0)型，通常取(0,+∞))或(-∞,0)型，對(duì)于區(qū)間為(a,b)，型，區(qū)間通?？扇?a,b′)，ab′>0型;

步驟3：一般來說，在不影響決定函數(shù)符號(hào)的前提下，常常要用到不等式或轉(zhuǎn)化成求某個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的最值問題進(jìn)行放縮，最終得到一個(gè)含參的可解不等式即可解出區(qū)間端點(diǎn).

常用的放縮公式：

第一組：對(duì)數(shù)放縮

(放縮成一次函數(shù))lnx≤x-1，lnx

第二組：指數(shù)放縮

(放縮成一次函數(shù))ex≥x+1，ex>x，ex≥ex;

第三組：指對(duì)放縮

ex-lnx≥(x+1)-(x-1)=2.

第四組：三角函數(shù)放縮

第五組：以直線y=x-1為切線的函數(shù)