外接圓
- 對(duì)一道直線與圓相切試題的探究
證:?PST的外接圓與過(guò)點(diǎn)P的直線l:x+2y?4=0 相切.試題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與圓和橢圓的位置關(guān)系,考查了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).試題構(gòu)思巧妙,內(nèi)涵豐富,體現(xiàn)了在知識(shí)交匯處命題的特點(diǎn).第(1)問(wèn)求得橢圓C的方程為;第(2)問(wèn)根據(jù)已知條件得到直線PS,PT的斜率互為相反數(shù),而直線l:x+2y?4=0 是橢圓C在點(diǎn)P處的切線.將試題一般化,是否也有相應(yīng)的結(jié)論呢? 經(jīng)過(guò)探究,并類比雙曲線、拋物線,得到了下面一組性質(zhì).2
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2023年5期2023-09-11
- 多面體外接球的一條重要性質(zhì)的證明及其應(yīng)用
,設(shè)△PAB的外接圓的圓心為O1,半徑為r1,底面多邊形的外接圓的圓心為O2,半徑為r2,球心為O,球的半徑為R,此側(cè)面與底面的公共棱長(zhǎng)為2a.取AB的中點(diǎn)為O3,連接OO1,OO2,OO3,AO.圖1 定理例題圖因?yàn)镺1為△PAB的外接圓的圓心,所以O(shè)1A=O1B.又O3為AB的中點(diǎn),所以O(shè)1O3⊥AB.同理O2O3⊥AB.又側(cè)面PAB⊥底面ABC,所以O(shè)1O3⊥底面ABC,O2O3⊥側(cè)面PAB.由球的性質(zhì),得OO1⊥側(cè)面PAB,OO2⊥底面ABC.所以
數(shù)理化解題研究 2023年22期2023-08-30
- 四邊形外接圓半徑問(wèn)題的探究
昌一、問(wèn)題背景外接圓問(wèn)題是歷年來(lái)較為熱門的探究問(wèn)題, 主要涉及:四點(diǎn)共圓的證明[1]、利用外接圓性質(zhì)處理問(wèn)題[2-3]以及尋找出或作出輔助圓求解問(wèn)題[4]. 對(duì)四邊形外接圓問(wèn)題的探究方面,已經(jīng)取得一些研究成果: 圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)面積公式[5]: 已知四邊形四邊的長(zhǎng)度,得到該四邊形面積公式;四邊形外接圓的半徑公式[6]: 已知四邊形四邊的長(zhǎng)度,得到其外接圓的半徑公式等.二、原題呈現(xiàn)與解法題目1(2022 年“大夢(mèng)杯”福建省青少年數(shù)學(xué)水平測(cè)試第7 題)如圖1
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2023年9期2023-06-03
- 三角形半角正切立方和的幾何不等式的加強(qiáng)
的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑與半周長(zhǎng),則有為了證明不等式(2)，我們先利用r-s-R法給出幾個(gè)關(guān)于三角形半角正切的公式.引理1 設(shè)r,R,s分別為其內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑與半周長(zhǎng),則有16Rr-5r2≤s2≤4R2+4Rr+3r2(7).其中∑,∏分別表示循環(huán)和與循環(huán)積.公式(4)是熟知的半角正切公式.不等式(7)是Gerretsen不等式，(8)的右邊不等式就是著名的Kooi不等式.
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2023年3期2023-03-11
- 兩個(gè)與遠(yuǎn)切圓相關(guān)的不等式
兩邊延長(zhǎng)線及其外接圓相切的圓，叫三角形的遠(yuǎn)切圓(即外半切圓).其半徑分別用Ra,Rb,Rc表示(Ra表示與AB、AC延長(zhǎng)線及外接圓相切的圓半徑等).設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑、半周長(zhǎng)、面積、旁切圓半徑與遠(yuǎn)切圓半徑分別為a,b,c,R,r,s,△,ra,rb,rc,Ra,Rb,Rc，用∑表示循環(huán)求和.文[1]建立了如下的結(jié)論.本文給出上述不等式的下界估計(jì)以及關(guān)于遠(yuǎn)切圓的兩個(gè)不等式.下面給出兩個(gè)新的涉及遠(yuǎn)切圓的不等式.證明：由[2]知，在△AB
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2023年1期2023-01-12
- Mathematical Reflections 的S357 號(hào)問(wèn)題的加強(qiáng)
17）關(guān)鍵字 外接圓半徑; 內(nèi)切圓半徑; 高線1 問(wèn)題提出蒂圖·安德雷斯庫(kù)[1]的Mathematical Reflections (2014-2015)中提供了如下幾何不等式:Mathematical Reflections S357問(wèn)題在任意△ABC的中,BC=a,CA=b,AB=c,ha,hb,hc分別為對(duì)應(yīng)邊上的高,r為△ABC的內(nèi)切圓半徑, 則有:定理1 在任意△ABC的中,BC=a,CA=b,AB=c,ha,hb,hc分別為對(duì)應(yīng)邊上的高,r為△
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 2022年5期2022-11-09
- 美國(guó)數(shù)學(xué)月刊第12154 號(hào)問(wèn)題的加強(qiáng)與反向不等式
的旁切圓半徑,外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑,則有其中∑ 表示循環(huán)和.本文給出不等式①的加強(qiáng)及反向不等式:定理2設(shè)ra、rb、rc、R、r分別是△ABC的頂點(diǎn)A、B、C所對(duì)的旁切圓半徑,外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑,則有2 幾個(gè)引理為了證明定理2,我們給出一些關(guān)于三角形的各種半徑和半周長(zhǎng)的恒等式與不等式:引理1設(shè)ra、rb、rc、R、r、s分別是△ABC的頂點(diǎn)A、B、C所對(duì)的旁切圓半徑,外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑與半周長(zhǎng),則有其中∏f(a,b,c)表示循環(huán)積.證明③～⑥是熟
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 2022年4期2022-08-28
- 解三角形、解析幾何、微積分、不等式四重奏
——兩邊定和圓內(nèi)接三角形面積的取值范圍
究的問(wèn)題帶單位外接圓約束且三邊之和為定值的三角形面積問(wèn)題就是單位圓內(nèi)接三角形的等周問(wèn)題[1].自然會(huì)考慮兩邊之和為定值的情形,事實(shí)上這個(gè)問(wèn)題已有結(jié)論:已知ΔABC的外接圓半徑為R,sinA+sinC=l(l＜2).則ΔABC面積S的取值范圍是下面將結(jié)合解三角形、解析幾何、微積分、不等式給出一個(gè)有趣的新證明[3].2 問(wèn)題的轉(zhuǎn)化不妨設(shè)ΔABC的外接圓半徑R=1,于是|BA|+|BC|=2l,則點(diǎn)B是ΔABC的外接圓與一橢圓的一個(gè)交點(diǎn).以邊AC所在直線為x軸,
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2022年12期2022-07-14
- 識(shí)圖 構(gòu)圖 作圖
角;旋轉(zhuǎn)相似;外接圓2022年蘇州中考數(shù)學(xué)選擇壓軸題，在坐標(biāo)系中以正三角形為背景，以旋轉(zhuǎn)為平臺(tái)，通過(guò)求點(diǎn)的坐標(biāo)，考察學(xué)生的邏輯推理和幾何直觀能力，對(duì)學(xué)生的構(gòu)圖能力也有良好的檢測(cè)作用，考題具有一定的探索價(jià)值和良好的可拓展性.本文先介紹原題多種思路的來(lái)源，再將問(wèn)題進(jìn)行一般化推廣，最后改變問(wèn)題的設(shè)問(wèn)方式：將問(wèn)題變化為尺規(guī)作圖題.在此整理成文，以期給讀者的構(gòu)圖教學(xué)和尺規(guī)作圖教學(xué)帶來(lái)些許啟發(fā).1 中考原題（2022年蘇州）如圖1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B是x軸正
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2022年4期2022-05-30
- 對(duì)一道解三角形題的解法探究
3：（三角形的外接圓）如圖2，以AC為直徑作Rt△ABC的外接圓O，延長(zhǎng)AE交圓O于點(diǎn)F，連接FB、FC，過(guò)F作FG//AB交DC于G，則∠AFB=∠ACB.因?yàn)锳D=DE，所 以∠DAE=∠DEA，又因?yàn)椤螪AE=∠ACB，所以∠AED=∠AFB，所以DG//BF，四邊形BDGF是平行四邊形，所以FG=BD=1，∠DAE=∠GFE，又∠AED= ∠FEG，所以∠GEF=∠GFE，所以GE=GF=1，又EC是Rt△EFC的斜邊，所以G為EC的中點(diǎn)，EC=2
河北理科教學(xué)研究 2022年1期2022-05-30
- 探尋一類動(dòng)點(diǎn)路徑問(wèn)題的通式通法
變式;直線型;外接圓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是以數(shù)學(xué)課程教學(xué)為載體，基于數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)技能而形成的重要的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力. 自2016年教育部公布《中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》正式確定學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的框架、維度和指標(biāo)以來(lái)，數(shù)學(xué)學(xué)科被注入了新的根本任務(wù)，通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)與學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，立德樹人.在九年制義務(wù)教育的基礎(chǔ)上，什么樣的試題能夠綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，正成為中考數(shù)學(xué)命題者思考與研究的問(wèn)題. 若能在一道試題中綜合考查各方面的能力，這種題型無(wú)疑既
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·初中版 2022年3期2022-04-25
- 關(guān)于垂足三角形的幾個(gè)極值問(wèn)題
c，面積為S，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r.點(diǎn)P關(guān)于△ABC的垂足三角形△P1P2P3（可以是退化的）的面積為SP，周長(zhǎng)為L(zhǎng)P，外接圓半徑為RP，內(nèi)切圓半徑為rP.先給出幾個(gè)引理：引理1[1]點(diǎn)P到△ABC的外心的距離為d，則其中當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外接圓外時(shí)取“+”，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外接圓內(nèi)時(shí)取“-”.由此易知：當(dāng)d為定值時(shí)，SP也為定值.即有推論1[1]當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外接圓的半徑為d的同心圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其垂足三角形的面積SP為定值當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外接圓上
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 2022年1期2022-02-28
- 一道北京大學(xué)自主招生試題的探究與推廣
102,則它的外接圓直徑為( )分析已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的四條邊長(zhǎng),如何求它的外接圓直徑? 若圓內(nèi)接四邊形ABCD形狀特殊,比如存在內(nèi)角為直角,則易求外接圓直徑.然后去尋找存在內(nèi)角為直角的條件,于是得到解法一.若不考慮圓內(nèi)接四邊形ABCD的特殊形狀,從一般情況出發(fā),結(jié)合正余弦定理,求出內(nèi)角和對(duì)角線長(zhǎng),然后得到外接圓直徑,于是得到解法二.解法一由AB2+DA2= 1362+ 1022= 1702,BC2+CD2= 802+1502= 1702得A=C=,
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2021年9期2021-06-08
- 對(duì)一個(gè)猜想的探究
形ABC 中的外接圓相交于F，那么證明記BE = x,EC = y,AE = l,EF = s，由圓的相交弦定理可知xy = ls，由三角形角平分線定理可知，由引理可知l2= bc - xy. 那么命題2三角形ABC 中，BC = a,CA = b,AB = c，D 為邊BC 上一點(diǎn)，直線AD 與三角形ABC 的外接圓相簡(jiǎn)證如圖，設(shè)I 為ΔABC 的內(nèi)心，射線AI 交邊BC 于D′，交ΔABC 的外接圓于點(diǎn)A2，顯然，A2是弧BC的中點(diǎn)，故A1到直線BC
- 利用三角形外接圓判斷三角形解的個(gè)數(shù)
弦定理和三角形外接圓判斷是一種容易理解且操作簡(jiǎn)單的方法，教學(xué)過(guò)程中效果很好。【關(guān)鍵詞】 正弦定理;外接圓;最近發(fā)展區(qū)我們?cè)趯W(xué)習(xí)正弦定理時(shí)會(huì)遇到這樣一類問(wèn)題“已知三角形的兩邊及其一邊的對(duì)角，判斷三角形解的個(gè)數(shù)”。解決此類題一般有兩種思路：思路1：利用下圖中的規(guī)律。思路2：利用余弦定理。學(xué)習(xí)過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)，實(shí)際情況是學(xué)生聽得懂，但時(shí)間長(zhǎng)了，方法就忘記了，原因是對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，方法很突然，并不理解為什么要那樣做，脫離了他們的最近發(fā)展區(qū)。而這種問(wèn)題因?yàn)橹缹?duì)邊、對(duì)角
數(shù)學(xué)大世界·中旬刊 2020年9期2020-11-28
- 一個(gè)分式型Weitzenbock不等式的九層隔離①
、內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑，則設(shè)a,b,c,S,p分別是△ABC的邊長(zhǎng)、面積和半周長(zhǎng)，則文[3]給出一個(gè)加強(qiáng)不等式：設(shè)a,b,c,S,r,R分別是△ABC的邊長(zhǎng)、面積、內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑，則文[4]刊出一個(gè)拓展不等式：設(shè)a,b,c,S,p分別是△ABC的邊長(zhǎng)、面積、半周長(zhǎng)，pa=p-a，pb=p-b,pc=p-c，則文[5]進(jìn)一步給出如下加強(qiáng)不等式：≤∑a2-∑(a-b)2定理設(shè)a,b,c,S,r,R,p分別是△ABC的邊長(zhǎng)、面積、內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑
數(shù)學(xué)通報(bào) 2020年8期2020-09-24
- 立體幾何代數(shù)化
能力、代數(shù)化、外接圓、外接球高中階段進(jìn)入立體幾何的學(xué)習(xí)，跟初中的平面幾何相比，對(duì)學(xué)生的空間想象能力提出了更高的要求，對(duì)于很多文科生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)本來(lái)就弱，而立體幾何更是難上加難，甚至有不少學(xué)生就是因?yàn)楦杏X立體幾何太難才轉(zhuǎn)投文科數(shù)學(xué)的懷抱。按正常來(lái)說(shuō)，理科的立體幾何難度肯定高于文科，然而對(duì)于文科生來(lái)說(shuō)，立體幾何真的會(huì)變?nèi)菀讍?？在高中的?shù)學(xué)教材中，立體幾何被分成了兩個(gè)部分。第一部分：學(xué)習(xí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖和直觀圖;簡(jiǎn)單空間幾何體表面積和體積;空間點(diǎn)、線、
高考·下 2020年3期2020-09-10
- 三角形內(nèi)心與外接圓的變式探索
三角形的內(nèi)心和外接圓有關(guān)的問(wèn)題是中考的常見題型，本文以一道中考試題為例，變式探索如下.引例（2019·湖北·荊門）如圖1，△ABC內(nèi)心為I，連接AI并延長(zhǎng)交△ABC的外接圓于D，則線段DI與DB的關(guān)系是（ ）.A. DI=DB B. DI>DB C. DI分析：觀察圖形，通過(guò)度量可以猜想DI=DB，那么如何說(shuō)理呢？“等角對(duì)等邊”是我們證明線段相等常用的方法，為此，連接BI，構(gòu)造△DBI，只需證∠DBI = ∠DIB即可，觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)∠DBI = ∠C
初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·中考版 2020年10期2020-09-10
- 對(duì)Garfunkel-Bankoff不等式的探究
表示其半周長(zhǎng)、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則有2s2(2R-r)≤R(4R+r)2.②上世紀(jì)80年代末，浙江寧波大學(xué)陳計(jì)和王振兩位老師把它介紹到國(guó)內(nèi)，引發(fā)了高度關(guān)注.陳計(jì)、王振、黃漢生、王文正、簡(jiǎn)超、湯茂林等老師給出過(guò)這個(gè)不等式的不同證明方法[3]-[7].1991年，陶平生老師給出了不等式①的如下等價(jià)形式：[8]命題3在△ABC中，有③2019年，安振平老師給出了Garfunkel-Bankoff不等式的一個(gè)類似：[9]命題4在△ABC中，R，r分別表示其外
數(shù)學(xué)通報(bào) 2020年6期2020-08-01
- 一組合幾何問(wèn)題的證明和推廣
BC和△ABD外接圓是等圓且不重合，則C、D在AB同側(cè)時(shí)，∠ACB+∠ADB=180°；C、D在AB異側(cè)時(shí)，∠ACB=∠ADB.(如圖1)由同圓或等圓中，等弧所對(duì)應(yīng)的圓周角相等，及圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)容易得之.引理2△ABC三個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)D構(gòu)成平面凸四邊形，若△ABD、△ACD與△ABC外接圓相等，則A、B、C、D四頂點(diǎn)共圓.證明分兩種情況.情況1：(如圖2)若△ABD、△ACD與△ABC外接圓相等且不重合，否則A、B、C、D四頂點(diǎn)共圓.由引理1知∠ADB+
數(shù)學(xué)通報(bào) 2020年5期2020-06-23
- 共底異側(cè)等高三角形的外接圓頂點(diǎn)切線交點(diǎn)性質(zhì)研究
頂點(diǎn)分別作各自外接圓的切線，本文對(duì)兩條切線的交點(diǎn)做了很多探索，發(fā)現(xiàn)了這個(gè)交點(diǎn)的幾個(gè)主要幾何性質(zhì)，并尋找到了技巧性很強(qiáng)的基于幾何變換等相關(guān)構(gòu)造方法的證明.在這幾個(gè)性質(zhì)中，兩條切線長(zhǎng)度之比是最基本的性質(zhì)，它的證明基于正弦定理，用它可以直接導(dǎo)出一對(duì)相似的直角三角形.在兩條切線的交點(diǎn)與兩個(gè)三角形構(gòu)成的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的連線中，會(huì)形成兩組相似的三角形，很有對(duì)稱美感，但它的證明卻不易尋找，本文給出了一種基于位似變換的證明方法.本文最后給出了一道基于這個(gè)基本形的奧數(shù)練習(xí)
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2020年8期2020-06-01
- 歐拉不等式的一個(gè)加強(qiáng)的改進(jìn)
角形ABC中，外接圓半徑R，內(nèi)切圓半徑r，則(∑表示循環(huán)和)(1)文[2]將定理1改進(jìn)為：定理2在三角形ABC中，外接圓半徑R，內(nèi)切圓半徑r，則(2)我們發(fā)現(xiàn)不等式成立，這是由于故設(shè)想將不等式(2)改進(jìn)為定理3在三角形ABC中，外接圓半徑R，內(nèi)切圓半徑r，則(3)那么記三角形ABC的內(nèi)心為I，令A(yù)B=AC,BC→0，注12(R+r)≥IA+IB+IC.(4)同理有那么就得出不等式(4)的一個(gè)等價(jià)結(jié)論：(5)注2運(yùn)用上面證明中的基本數(shù)學(xué)事實(shí)，可以簡(jiǎn)捷地證明一
數(shù)學(xué)通報(bào) 2019年9期2019-10-22
- 兩個(gè)旁切圓與半外切圓半徑的平方型雙邊不等式
別為ΔABC的外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑及半周長(zhǎng).Σ表示輪換對(duì)稱求和.定義[2]與三角形兩邊延長(zhǎng)線及其外接圓相切的圓，叫做三角形的半外切圓(即“遠(yuǎn)切圓”).ΔABC三邊a,b,c對(duì)應(yīng)的半外切圓半徑分別記為Ra、Rb、Rc.其中Ra表示與AB,AC延長(zhǎng)線及外接圓相切的圓半徑；Rb表示與BC,BA延長(zhǎng)線及外接圓相切的圓半徑；Rc表示與CA,CB延長(zhǎng)線及外接圓相切的圓半徑.引理在ΔABC中有如下結(jié)論成立：(1)R≥2r(歐拉不等式)；定理1證明：由文[1]可得恒等式
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2019年8期2019-09-04
- Finsler-Hadwiger型不等式推廣的再研究
的邊長(zhǎng)、面積、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑，則(1)事實(shí)上，1998年武鋼高三學(xué)生李磊應(yīng)用Kooi不等式[4]證明了不等式(1)[5]，文[6]已收錄不等式(1).本文對(duì)不等式(1)進(jìn)行研討，得到如下不等式：定理3設(shè)a,b,c,S,R,r分別是△ABC的邊長(zhǎng)、面積、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑，則(2)2 兩個(gè)引理為證明不等式(2)，先給出兩個(gè)引理引理1(Blundon不等式)[4]設(shè)a,b,c,s,R,r分別是△ABC的邊長(zhǎng)、半周長(zhǎng)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑，則其中等
數(shù)學(xué)通報(bào) 2019年7期2019-08-29
- 三角形的最小覆蓋圓一定是其外接圓嗎
會(huì)認(rèn)為三角形的外接圓就是所求圓，然后給出如下解法.解直線x+2y-5=0,y-2=0,x+y-4=0的交點(diǎn)為A(1,2),B(2,2),C(3,1),能夠覆蓋三角形ABC且面積最小的圓是△ABC的外接圓設(shè)△ABC的外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0將點(diǎn)A(1,2),B(2,2),C(3,1)分別代入方程得：辨析所求圓要覆蓋△ABC，則三個(gè)頂點(diǎn)均在圓上或圓內(nèi).若三個(gè)頂點(diǎn)都在圓內(nèi)，則圓肯定不是面積最小的；若只有一個(gè)頂點(diǎn)在圓上，則圓面積一定可繼續(xù)減??；
數(shù)理化解題研究 2019年17期2019-07-01
- 歐拉不等式一個(gè)加強(qiáng)的再改進(jìn)
為a、b、c，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R、r，則有著名的歐拉不等式R≥2r.文[1]中建立了如下三角形式的加強(qiáng).定理1 設(shè)R、r分別為△ABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(Σ表示循環(huán)和)①當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)取等號(hào).定理2 設(shè)R、r分別為△ABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有②當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)取等號(hào).r(R-2r)(400R3-2452R2r+4243Rr2-1230r3)≥0③由于R≥2r，且
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 2019年3期2019-06-21
- 三角形旁切圓半徑平方的倒數(shù)和的上下界加強(qiáng)
C旁切圓半徑，外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑，∑表示循環(huán)和，則①本文給出上述不等式(1)的一個(gè)加強(qiáng).定理2若ra,rb,rc,R,r分別是△ABC的頂點(diǎn)A，B，C所對(duì)的△ABC旁切圓半徑，外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑，∑表示循環(huán)和，則②1 兩個(gè)引理引理1[2]設(shè)a,b,c,s,r,R分別是△ABC的邊長(zhǎng)、半周長(zhǎng)、內(nèi)接圓半徑與外接圓半徑，則其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形時(shí)成立.引理2[3]設(shè)a,b,c,s,r,R分別是△ABC的邊長(zhǎng)、半周長(zhǎng)、內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑，則其
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 2019年1期2019-02-21
- 歐拉不等式一個(gè)三角形式的類比
為a,b,c，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，則有著名的歐拉不等式R≥2r，文[1]建立了歐拉不等式的一個(gè)三角形式：定理1設(shè)R,r分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)和)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)取等號(hào).文[2]給出了歐拉不等式的一個(gè)三角形式的類似：定理2設(shè)R,r分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)和)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)取等號(hào).2 構(gòu)建新的歐拉三角不等式定理3設(shè)R,r分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)
數(shù)學(xué)通報(bào) 2018年12期2019-01-16
- 變形式定圓運(yùn)動(dòng) 求最值動(dòng)中取靜
是三角形ABC外接圓上的圓弧，解決與之相關(guān)的問(wèn)題，通常做法是作出三角形ABC的外接圓[1][2]，外接圓的位置和半徑是固定不變的.這個(gè)結(jié)論在諸多文獻(xiàn)都有討論，文[1]和文[2]說(shuō)明了這種方法的正確性，本文嘗試探索“定角定高求最值”“定角定中線求最值”“定角定角平分線求最值”的轉(zhuǎn)化思路.1 ?定角定高求最值1.1 定角為直角如圖2，∠ACB=90°恒定不變，點(diǎn)C到直線AB的距離CD=a為定值，角的兩邊與直線交于A、B兩點(diǎn)，在∠ACB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求線段A
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2019年6期2019-01-14
- 關(guān)于課堂教學(xué)中正弦定理證明的引導(dǎo)式探究
證明 向量法 外接圓【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）46-0111-01正弦定理是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)人教A版必修5[1]第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容，是反應(yīng)三角形中邊角關(guān)系的重要定理，是解決可以轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算模型的一些測(cè)量、設(shè)計(jì)等實(shí)際問(wèn)題的重要手段。在學(xué)生已經(jīng)具備平面幾何知識(shí)、解直角三角形、任意角的三角函數(shù)概念和平面向量等知識(shí)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)具有一定的觀察、分析以及解決問(wèn)題的能
課程教育研究 2018年46期2018-12-27
- 四心垂足三角形外接圓半徑的一條不等式鏈
b,AB=c，外接圓，內(nèi)切圓的半徑分別為R,r，面積為s，R△表示三角形外接圓的半徑.對(duì)于銳角三角形內(nèi)一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的垂足三角形，文[1]中有如下：結(jié)論△DEF為銳角△ABC內(nèi)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的垂足三角形，記△DEF的外接圓半徑為R，當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心時(shí)，R最小.進(jìn)一步思考，對(duì)于銳角△ABC四心:內(nèi)心，重心，垂心，外心，其對(duì)應(yīng)的垂足三角形外接圓半徑的大小關(guān)系如何？我們得到如下：定理的證明需用到如下引理.圖1證明如圖1，由三角形重心性質(zhì)得則s△PQR=s△GPQ+s△
數(shù)學(xué)通報(bào) 2018年8期2018-10-16
- 歐拉不等式的一個(gè)加強(qiáng)的改進(jìn)
拉關(guān)于三角形的外接圓半徑R與內(nèi)切圓半徑r的著名不等式R≥2r的隔離、加強(qiáng)與推廣研究精彩紛呈.文[1]給出歐拉不等式與邊長(zhǎng)間的一個(gè)不等式鏈，文[2]建立了歐拉不等式的如下三角形式的加強(qiáng)不等式.定理1設(shè)R,r分別為△ABC的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)和)(1)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)取等號(hào).文[3]將不等式(1)加強(qiáng)為：定理2設(shè)R,r分別為△ABC的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑，則(2)類比不等式(2)，文[3]得到歐拉不等式的如下三角形式的加強(qiáng)式
數(shù)學(xué)通報(bào) 2018年2期2018-07-14
- Finsler-Hadwiger型不等式的再加強(qiáng)
的邊長(zhǎng)、面積、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則(3)最近，郭要紅、劉其右兩位老師在文[4]中對(duì)(3)式右端的不等式進(jìn)行了加強(qiáng)，得到定理4設(shè)a,b,c,△,R,r分別是△ABC的邊長(zhǎng)、面積、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則∑a2-∑(a-b)2(4)受文[4]啟發(fā)，筆者對(duì)(3)式左端的不等式也進(jìn)行了加強(qiáng)，得到如下結(jié)果：定理5設(shè)a,b,c,△,R,r分別是△ABC的邊長(zhǎng)、面積、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則∑a2-∑(a-b)2(5)2 兩個(gè)引理為證明不等式(5)，先給出兩個(gè)
數(shù)學(xué)通報(bào) 2018年3期2018-07-14
- 一邊一角“圓”來(lái)完美
問(wèn)題情境,借助外接圓直觀分析.如圖1所示,其中 ∠A1CB= ∠A2BC=90°,點(diǎn)P是優(yōu)弧BC的中點(diǎn),圓O是△ABC的外接圓.圖1點(diǎn)A在弧A1A2上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不包含A1和A2),滿足△ABC是銳角三角形的要求.當(dāng)點(diǎn)A在A1或A2時(shí),周長(zhǎng)取最小值,當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí),周長(zhǎng)達(dá)到最大值3,因此銳角△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為題2(2014年全國(guó)1卷理16題)已知a,b,c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,a=2,且(2+b)(sinA?sinB)=(c?b)
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2018年5期2018-04-23
- 互聯(lián)網(wǎng)背景下高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課優(yōu)化教學(xué)實(shí)踐
形有且僅有一個(gè)外接圓。Q：存在沒有外接圓的四邊形。寫出命題P和Q的否定，并判斷真假”這一問(wèn)題時(shí)，首先請(qǐng)學(xué)生思考答出了問(wèn)題的前半部分，用多媒體快速展示?P是指“存在沒有外接圓或有一個(gè)以上外接圓的三角形”和?Q是指“所有四邊形都有外接圓”。其后，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)上述四個(gè)命題的真假性作出判斷，此時(shí)學(xué)生的解題意見便出現(xiàn)了分歧。教師便展示幾何畫板課件，為學(xué)生分別展示出了A.正三角形外接圓形、B.等腰三角形外接圓形、C.正方形外接圓形、D.梯形外接圓形、E.菱形外接圓形，這
新課程教學(xué)(電子版) 2018年6期2018-02-23
- 一個(gè)Finsler-Hadwiger型不等式的加強(qiáng)
、內(nèi)接圓半徑與外接圓半徑，則(1)本文對(duì)不等式(1)進(jìn)行加強(qiáng)，得到：定理4設(shè)a,b,c,S,r,R分別是△ABC的邊長(zhǎng)、面積、內(nèi)接圓半徑與外接圓半徑，則a2+b2+c2-∑(a-b)2(2)2 兩個(gè)引理為證明不等式(2)，先給出兩個(gè)引理.引理1(Blundon不等式)[3]設(shè)a,b,c,s,r,R分別是△ABC的邊長(zhǎng)、半周長(zhǎng)、內(nèi)接圓半徑與外接圓半徑，則其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形時(shí)成立.引理2設(shè)a,b,c,s,r,R分別是△ABC的邊長(zhǎng)、半周長(zhǎng)、內(nèi)接圓
數(shù)學(xué)通報(bào) 2017年1期2017-12-25
- 歐拉不等式的一個(gè)加強(qiáng)的改進(jìn)及其類似
為a,b,c，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，則有不等式R≥2r.上述不等式是數(shù)學(xué)家歐拉于1765年建立，該不等式具有簡(jiǎn)單而不平凡的特點(diǎn)，關(guān)于它的各種加強(qiáng)、隔離和推廣的研究從未間斷過(guò). 文[1]給出歐拉不等式與邊長(zhǎng)間的一個(gè)不等式鏈，文[2]則建立了歐拉不等式的如下三角形式的加強(qiáng)不等式定理1設(shè)R,r分別為△ABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有(Σ表示循環(huán)和)(1)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)取等號(hào).(2)下面給出式(2)的證明.由于原本到此，對(duì)式(1)的探究可以
數(shù)學(xué)通報(bào) 2017年2期2017-12-24
- 關(guān)于歐拉不等式一個(gè)猜想的改進(jìn)
為a,b,c，外接圓和內(nèi)接圓半徑分別為R,r，則有不等式R≥2r，此即為著名的歐拉不等式.文[1]提出歐拉不等式的如下加強(qiáng)猜想.文[2]中給出該猜想的驗(yàn)證.事實(shí)上，早在1974年，就已有如下更強(qiáng)的結(jié)論[3]因?yàn)?a+b+c)(a3+b3+c3)-(a2+b2+c2)2=∑ab(a-b)2≥0(Σ表示輪換對(duì)稱求和).本文將式(1)作進(jìn)一步的改進(jìn)，建立了與式(2)不分強(qiáng)弱的結(jié)論定理設(shè)ΔABC的三邊為a,b,c，外接圓和內(nèi)接圓半徑分別為R,r，則有結(jié)合歐拉不等式
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2017年9期2017-11-02
- 一道高中聯(lián)賽題的探究及其一般化*
為銳角三角形，外接圓圓心為O，半徑為R，AO的延長(zhǎng)線交△BOC的外接圓于點(diǎn)A′，BO的延長(zhǎng)線交△AOC的外接圓于點(diǎn)B′，CO的延長(zhǎng)線交△AOB的外接圓于點(diǎn)C′，求證：OA′·OB′·OC′≥8R3.(2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽遼寧賽區(qū)預(yù)選賽試題第13題)試題圖形簡(jiǎn)潔優(yōu)美，激發(fā)了筆者的探究欲望.從不同的角度運(yùn)用圖形特征，建立相關(guān)量之間的聯(lián)系，可以得到不同的證明方法.1 證法探究以下證法1～證法3是對(duì)結(jié)論的一種等價(jià)性變換代數(shù)化證明[1]，證法4是通過(guò)添加輔助線
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2017年3期2017-03-15
- 值得關(guān)注的轉(zhuǎn)化技巧
——構(gòu)造輔助圓
共圓”，三角形外接圓及直角三角形的外接圓圓心是斜邊中點(diǎn)（教材習(xí)題）；三是“四點(diǎn)共圓”的一個(gè)基本性質(zhì)為圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).下面舉例說(shuō)明解題時(shí)根據(jù)上述知識(shí)要點(diǎn)構(gòu)造輔助圓，進(jìn)行轉(zhuǎn)化.一、到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)時(shí)可作輔助圓例1（自貢）如圖1，在矩形A B C D中，A B＝4，A D＝6，E是A B邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段B C邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△E B F沿E F所在直線折疊得到△E B′F，連接B′D，則B′D的最小值是（ ）.圖1解析：E為A B的中點(diǎn)，點(diǎn)F在B C
初中生天地 2016年30期2016-12-07
- 有關(guān)垂足三角形幾個(gè)最值猜想的證明*
的面積、周長(zhǎng)、外接圓半徑分別為S,L,R.筆者證明了當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的外心時(shí)，S最大；當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的垂心時(shí)，L最?。划?dāng)點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心時(shí)，R最小．銳角三角形；垂足三角形；最值定義 如圖1，在△ABC中，過(guò)點(diǎn)P分別作PD,PE,PF垂直AB，BC,CA于點(diǎn)D,E,F，聯(lián)結(jié)DE,EF,FD，則稱△DEF為△ABC的垂足三角形．圖1 圖2對(duì)于垂足三角形，在文獻(xiàn)[1]中提出了4個(gè)猜想：猜想 如圖1，△DEF為銳角△ABC內(nèi)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的垂足三角形，記△DEF的
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2016年3期2016-12-01
- 一個(gè)歐拉不等式加強(qiáng)猜想的證明
面積為 Δ ，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為 R,r ，則有最后提出如下猜想1設(shè) ΔABC 的三邊為 a,b,c ，面積為 Δ ，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為 R,r ，則有經(jīng)探討發(fā)現(xiàn)，(3)式成立.f(16Rr-5r2)=400R3r2-1312R2r3+1168Rr4-288r5=16r2(R-2r)(25R2-32Rr+9r2)=16r2(R-2r)[(9(R2+r2)+16R(R-2r)]≥0.當(dāng)R=8r 時(shí),R-8r=0,f(s2)=1056r2s2>0.
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2016年6期2016-08-25
- 心路歷程之外心
鍵詞】 外心；外接圓；垂直平分線三角形的五心“外心”“內(nèi)心”“重心”“垂心”“旁心”給出了三角形的一些重要性質(zhì)，對(duì)于我們認(rèn)識(shí)三角形提供了幫助.下面筆者就對(duì)外心加以整理：邊中垂線交一點(diǎn)，用它可作外接圓，此點(diǎn)定義為“外心”，其到頂點(diǎn)長(zhǎng)相等，要問(wèn)最小覆蓋圓，先看形狀定圓心一般的，把三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫作外心.如圖1，△ABC中，AB、AC、BC的中垂線的交點(diǎn)O即為△ABC的外心.一、某大型主題樂(lè)園由動(dòng)物園A、植物園B、水上樂(lè)園C組成，現(xiàn)要建一個(gè)圓形軌
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2016年20期2016-05-30
- 正五邊形的常見繪制方法
已知正五邊形的外接圓直徑、內(nèi)切圓直徑、邊長(zhǎng)等不同條件時(shí)的正五邊形的繪制方法。關(guān)鍵詞：正五邊形；內(nèi)切圓；外接圓；邊長(zhǎng)由于正五邊形具有一定的實(shí)用性和趣味性，在高等職業(yè)教育中，常把正五邊形的繪制作為一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的幾何圖形繪制能力和綜合制作能力。綜觀各種教材及實(shí)際生產(chǎn)中關(guān)于正五邊形的繪制，可分為下述三種方法：1 已知正五邊形外接圓直徑來(lái)繪制正五邊形已知正五邊形的外接圓直徑，來(lái)繪制五邊形，實(shí)質(zhì)上就是要根據(jù)作圖法來(lái)求出該正五邊形的邊長(zhǎng)，求出邊長(zhǎng)后，在已知外
卷宗 2015年8期2015-08-28
- 對(duì)2013年高考數(shù)學(xué)中一道幾何題的探究
CD為∠ABC外接圓的切線，AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)D，E、F分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BC AE＝DC AF，B、E、F、C四點(diǎn)共圓。（1）證明：CA是外接圓的直徑；（2）若DB＝BE＝EA，求過(guò)B、E、F、C四點(diǎn)的圓的面積與外接圓面積的比值。現(xiàn)對(duì)這道題從如何作出滿足條件的題意圖、證法探索、變式探究等方面展開研究。1 作題意圖滿足第一問(wèn)條件的題意圖很容易作出，而滿足第二問(wèn)條件的題意圖，除滿足第一問(wèn)的條件外，還要滿足DB＝BE＝EA。分析：假設(shè)滿足條
遵義師范學(xué)院學(xué)報(bào) 2015年5期2015-03-01
- 一道IMO試題的另解與探究
P與△ABC的外接圓Γ的另一個(gè)交點(diǎn)分別為K、L、M，圓Γ在點(diǎn)C處的切線與直線AB交于點(diǎn)S.若SC=SP，證明：MK=ML[1].（第51屆IMO）證明：如下圖，設(shè)AC>BC，由切割線定理知SC2=SP2=SB·SA，就有△APS∽△PBS，△ACS∽△CBS，于是BC1AC=BP1AP①由相交弦定理知ML1BC=PM1PB②，AC1MK=PA1PM③，②×③得ML·AC1MK·BC=PA1PB④，①×④得ML1MK=1，故MK=ML.二、題目條件減弱設(shè)P是
中學(xué)教學(xué)參考·理科版 2014年3期2014-04-10
- 基于半徑變化量測(cè)量的圓度誤差最小外接圓評(píng)定法研究
的圓度誤差最小外接圓評(píng)定法研究張玉梅（赤峰學(xué)院建筑與機(jī)械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000）最小外接圓法是一種工程中常用的圓度誤差評(píng)定方法.文章給出了基于半徑變化量測(cè)量的圓度誤差最小外接圓評(píng)定法的數(shù)學(xué)模型和最小外接圓的判定方法和條件.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，給出的數(shù)學(xué)模型是正確的，判定條件是合理可行的.最小外接圓法；半徑變化量測(cè)量；圓度誤差1 前言根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T7235-2004，圓度誤差主要有四種評(píng)定方法，分別是最小區(qū)域圓法、最小二乘圓法和切接圓法（包括最小外
- 一個(gè)幾何命題的證明及其應(yīng)用
個(gè)直角三角形的外接圓，所截得的線段長(zhǎng)等于兩直角邊和的倍.這個(gè)事實(shí)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為:命題 在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O 為 Rt△ABC 的外接圓，CD平分∠ACB且交⊙O于點(diǎn)D，則CD=(AC+BC).證明 連接AD，BD，如圖1.現(xiàn)以2010年部分中考試題為例，介紹這個(gè)命題的應(yīng)用.1 求線段的長(zhǎng)例1 (2010年武漢)如圖2，⊙O的直徑 AB的長(zhǎng)為10，弦 AC長(zhǎng)為6，∠ACB的平分線交⊙O于D，則CD長(zhǎng)為故應(yīng)選B.2 求點(diǎn)的坐標(biāo)例2 (2
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2011年12期2011-02-01
- sin+sin+sin≥3·的一個(gè)隔離及類似
題1△ABC的外接圓與內(nèi)切圓半徑分別為R,r,證明：(1)引理1若△ABC的外接圓與內(nèi)切圓半徑分別為R,r,則證明設(shè)△ABC的3條邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則由面積公式及正弦定理,可得因此 2RsinB·2RsinC·sinA=(2RsinA+2RsinB+2RsinC)r.于是從而故引理2(Euler不等式)若△ABC的外接圓與內(nèi)切圓半徑分別為R,r,則R≥2r.R≥2r.下面證明命題1.證明先證式(1)中的第1個(gè)不等式.所以同理可得以上3個(gè)式子相加化簡(jiǎn)即得
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2010年1期2010-12-01