四心垂足三角形外接圓半徑的一條不等式鏈

劉才華

(山東省泰安市寧陽(yáng)第一中學(xué) 271400)

定義點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PD⊥BC,PE⊥CA,PF⊥AB，垂足分別為點(diǎn)D,E,F，連接DE,EF,FD，則稱△DEF為△ABC的垂足三角形.

在本文中，我們約定△ABC的三邊分別為BC=a,CA=b,AB=c，外接圓，內(nèi)切圓的半徑分別為R,r，面積為s，R△表示三角形外接圓的半徑.

對(duì)于銳角三角形內(nèi)一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的垂足三角形，文[1]中有如下：

結(jié)論△DEF為銳角△ABC內(nèi)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的垂足三角形，記△DEF的外接圓半徑為R，當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心時(shí)，R最小.

進(jìn)一步思考，對(duì)于銳角△ABC四心:內(nèi)心，重心，垂心，外心，其對(duì)應(yīng)的垂足三角形外接圓半徑的大小關(guān)系如何？我們得到如下：

定理的證明需用到如下引理.

圖1

證明如圖1，由三角形重心性質(zhì)得

則s△PQR=s△GPQ+s△GQR+s△GPR

在△GQR中，由三角形中線公式

定理的證明

(1)r=R△B1B2B3≤R△C1C2C3.

由三角形內(nèi)心性質(zhì)得R△B1B2B3=r.

由引理1得R△B1B2B3≤R△C1C2C3.

(2)R△C1C2C3≤R△D1D2D3.

由常見(jiàn)不等式：若a,b,c>0，則

并結(jié)合三角形中線公式

從而由引理1得

又由Neuberg不等式：∑a2≤9R2(見(jiàn)文[3])，

由三角形外心性質(zhì)得△E1E2E3∽△ABC，

由(1)、(2)、(3)知定理成立.

注上述不等式鏈給出了銳角三角形中歐拉不等式R≥2r的一種隔離.