疊波模型視角下學(xué)生概率比較策略發(fā)展的再審視

何聲清

(北京師范大學(xué)教育學(xué)部 100875)

1 引言

無論是課程目標(biāo)的階段劃分，還是教材內(nèi)容的螺旋編排，亦或是教學(xué)過程的路徑設(shè)計，這些工作的開展都應(yīng)以尊重學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律為前提.傳統(tǒng)的認(rèn)知發(fā)展理論大都屬于某種階梯模式(staircase model)或等級模式(hierarchical model)，其關(guān)注點(diǎn)多聚焦于認(rèn)知發(fā)展的階段性(如認(rèn)知發(fā)展階段理論[1])或認(rèn)知水平的層次性(如SOLO分類理論[2]).

數(shù)學(xué)問題的美常常體現(xiàn)在答案的確定性和方法的多樣性.同一個作答反應(yīng)可能源自不同的解決策略，這些策略甚至有優(yōu)劣、正誤或多種層次之分.例如，新近一項(xiàng)有關(guān)學(xué)生概率比較策略的研究表明[3]：對于問題“不透明的盒子里有白球、黑球各2個，它們除顏色外都相同.從盒子里隨機(jī)摸出2個球，摸出‘一個是黑球而另一個是白球’和‘兩個都是白球’這兩種情況哪個可能性更大”，初中生的作答正確率為37.75%，而正確策略的使用頻率則僅為14.73%.這說明，在能夠作出正確判斷的學(xué)生群體中，有相當(dāng)一部分學(xué)生使用了不當(dāng)?shù)牟呗?

可見，僅僅從學(xué)生的最終答案來判斷其認(rèn)知水平在科學(xué)性上尚存在局限和偏頗，我們還應(yīng)該深入考察學(xué)生問題解決的策略表現(xiàn)及水平差異，分析學(xué)生持有不當(dāng)策略的潛在原因并探索可行的干預(yù)手段，厘清學(xué)生策略發(fā)展的過程并據(jù)此揭示其中的規(guī)律.前研究厘清了學(xué)生概率比較的典型策略并考察了其發(fā)展趨勢，但比較遺憾的是，該研究尚未就“學(xué)生策略發(fā)展的競爭、替代機(jī)制”等問題做更深入的探索，亦沒有從這個角度對“概率比較”問題解決的教學(xué)提出更多建議.本文在前研究的基礎(chǔ)上，從理論層面重新審視學(xué)生概率比較策略的發(fā)展機(jī)制并據(jù)此探討其一般模型以及提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

2 問題解決策略發(fā)展的疊波模型

當(dāng)代著名心理學(xué)家Siegler早在上世紀(jì)90年代就提出了策略發(fā)展疊波理論(overlapping waves theory).該理論認(rèn)為，兒童在其認(rèn)知發(fā)展的不同階段對于特定問題的解決一般都持有不同的策略，并且這些策略常常有對錯、優(yōu)劣和繁簡之分.學(xué)生問題解決的策略通常表現(xiàn)出情境適應(yīng)性和時間適應(yīng)性.情境適應(yīng)性是指學(xué)生會在不同的問題情境中傾向于訴諸不同的策略.時間適應(yīng)性是指學(xué)生在不同的認(rèn)知發(fā)展階段運(yùn)用不同策略的頻率在不斷變化，能夠越來越多地使用“好”的策略[4].

策略的“發(fā)展”主要體現(xiàn)在4個方面：接受新的策略；增加新策略的使用頻率；策略使用有效性的提高；越來越擅長使用最佳策略.不同年齡段學(xué)生都有其特定的“主打”策略和“替補(bǔ)”策略；隨著年級/年齡的遞增，各種策略的使用頻率呈現(xiàn)“此消彼長”的動態(tài)發(fā)展；在此過程中，新的策略被發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用，陳舊的策略被永久遺棄；策略運(yùn)用的有效性、貼適性也隨年齡/年級的遞增而提升，學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展在策略優(yōu)化過程中得以實(shí)現(xiàn).

該理論與以往認(rèn)知發(fā)展階段理論的最大區(qū)別是：它更多地關(guān)注到策略發(fā)展的漸進(jìn)機(jī)制，認(rèn)為兒童的認(rèn)知發(fā)展是“漸進(jìn)的”而非“突變的”，盡管新的策略不斷被采納，但這并不意味著舊的策略被隨即終止，策略的發(fā)展是在相當(dāng)長的一段時間里新、舊策略的持續(xù)競爭中得以實(shí)現(xiàn)的.

3 疊波模型視角下學(xué)生概率比較策略的發(fā)展機(jī)制

在前一項(xiàng)研究中，研究者設(shè)計了5個有關(guān)概率比較的測試題目[3]，并從學(xué)生的判斷結(jié)果和理由解釋兩個方面收集了學(xué)生的作答數(shù)據(jù)，本文的分析正是基于該套測試題目和相應(yīng)的數(shù)據(jù)庫而進(jìn)一步展開的，受測被試也與上述研究一致.5個測試題目詳見表1.

表1 測試題目的結(jié)構(gòu)

前研究還區(qū)分了學(xué)生概率比較的7種典型策略(表2)，并以年級為變量考察了學(xué)生各種策略使用頻率的發(fā)展?fàn)顩r[3]：隨著年級的遞增，學(xué)生正確策略的使用頻率總體上呈現(xiàn)上升趨勢，部分樸素策略的使用頻率總體上呈現(xiàn)下降趨勢，而尚有部分樸素策略的使用頻率長期居高不下.

表2 學(xué)生概率比較的典型策略

然而進(jìn)一步的問題是：各個年級組間正確策略的使用頻率是否存在顯著性差異？隨著年級的遞增，學(xué)生概率比較策略是以怎樣的機(jī)制進(jìn)行競爭和替代的？上述策略發(fā)展機(jī)制的潛在原因是什么？教學(xué)如何適應(yīng)學(xué)生的策略發(fā)展規(guī)律？本文以疊波模型為視角對上述問題進(jìn)行分析，以期從理論層面進(jìn)一步厘清學(xué)生概率比較策略的發(fā)展機(jī)制.

3.1 時間適應(yīng)性：不同年級學(xué)生策略使用的傾向性及其差異

對不同年級學(xué)生策略使用的頻率進(jìn)行了統(tǒng)計，這部分?jǐn)?shù)據(jù)已在前一項(xiàng)研究中進(jìn)行了初步報告和解讀[3]，不再贅述.進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，學(xué)生概率比較策略發(fā)展的數(shù)據(jù)符合疊波模型的理論預(yù)期，如圖1所示.若從疊波模型的視角重新審視前文數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)：策略的使用隨著年級的遞增呈現(xiàn)此消彼長的動態(tài)發(fā)展趨勢，有的策略逐漸在競爭中被替代，有的策略則逐漸成為主導(dǎo).具體而言：七年級學(xué)生的“主打”策略基本是樸素策略，正確策略使用頻率不高；八年級學(xué)生策略的使用頻率相對均衡，發(fā)展呈現(xiàn)多樣化；九年級學(xué)生的優(yōu)勢策略發(fā)展強(qiáng)勁并開始成為主導(dǎo)，部分樸素策略的使用頻率趨于緩和.

以上發(fā)展特點(diǎn)也進(jìn)一步表明：學(xué)生概率比較策略的發(fā)展是一個“漸進(jìn)的”而并非“突變的”過程，即優(yōu)勢策略的發(fā)展不是一蹴而就的，即便九年級學(xué)生所使用的策略也并非全然達(dá)到了最優(yōu)水平，他們同樣持有一些頑固的、難以消除的樸素策略.

圖1 七～九年級學(xué)生“概率比較”策略發(fā)展的疊波模型

對各個年級組間正確策略(包括“基于正確的樣本空間”和“分步試驗(yàn)法”)的使用頻率進(jìn)行差異檢驗(yàn).結(jié)果表明，除了Q2(χ2=4.646，p=0.098)以外，七～九年級學(xué)生在其余各個測試題目上正確策略的使用頻率均存在顯著性差異(Q1：χ2=6.383，p<0.05；Q3：χ2=8.578，p<0.05；Q4：χ2=13.133，p<0.01；Q5：χ2=6.383，p<0.05).這進(jìn)一步表明，除了個別測試題目以外，學(xué)生在大多數(shù)題目中優(yōu)勢策略的發(fā)展均是顯著的.那么，學(xué)生為何在Q2的問題解決中優(yōu)勢策略的發(fā)展不顯著呢？這可能與該測試題目本身的難度及學(xué)生的認(rèn)知局限有關(guān)：該題目涉及的黑球和白球均是2個，摸出的2個球所有可能的結(jié)果有6種(基本事件)，其中“1個黑球和1個白球”這種情況包含了“黑1白1”、“黑1白2”、“黑2白1”及“黑2白2”4種組合.然而，學(xué)生在對所有可能結(jié)果進(jìn)行組合的過程中遇到了困難，他們難于厘清“1個黑球和1個白球”的4種可能的組合，有84.8%的學(xué)生認(rèn)為所有可能結(jié)果為“2個白球，2個黑球，1黑1白”，有7.8%的學(xué)生認(rèn)為所有可能的結(jié)果為“2個白球，2個黑球，1黑1白，1白1黑”[5].在概率比較時，有11.8%的學(xué)生正是基于他們對樣本空間的上述錯誤理解而進(jìn)行的判斷，有26.5%的學(xué)生則是源于其持有的“等可能性偏見”而進(jìn)行的判斷，另有23.5%的學(xué)生從表面的數(shù)量關(guān)系出發(fā)，認(rèn)為“黑球和白球均是2個，所以兩種情況的概率一樣大”.可見，各年級學(xué)生均在該問題的概率比較任務(wù)中遇到了困難，這一方面源于他們的組合知識缺乏(盡管人教版教材在九年級上冊涉及到“用列舉法求概率”，但本測試進(jìn)行時他們尚未學(xué)習(xí)到該章節(jié))，一方面源于他們不良概率直覺的根深蒂固.

3.2 情境適應(yīng)性：不同問題情境下策略使用的傾向性及其差異

就學(xué)生在不同測試題目中策略的使用頻率進(jìn)行統(tǒng)計及差異檢驗(yàn)(表3)，結(jié)果表明：

(1)學(xué)生在Q1中的主導(dǎo)策略是“等可能性偏見”(33.3%)和“基于精確的樣本空間”(20.6%).盡管該測試題目涉及的球個數(shù)最少，但卻給學(xué)生造成了不小的干擾.有20.6%的學(xué)生能夠通過構(gòu)造樣本空間來進(jìn)行概率比較，這不足為奇，甚至這個百分比還可以更高，因?yàn)樗还矁H有3種可能的結(jié)果.但是更多學(xué)生的作答卻表現(xiàn)出了“等可能性偏見”，且該策略的使用頻率在5個測試題目中處于最高水平.

(2)學(xué)生在Q2中的主導(dǎo)策略是“等可能性偏見”(26.5%)和“基于數(shù)量或比例關(guān)系”(23.5%).“等可能性偏見”依然被學(xué)生頻繁地使用，這與該測試題目的自身特點(diǎn)有關(guān)：它涉及的兩種顏色球均是2個，而這種高度對等的外表特征很容易誘導(dǎo)學(xué)生作出“因?yàn)閮煞N球個數(shù)相等，所以各種情況的可能性相同”的判斷.相對于Q1而言，學(xué)生使用“基于精確的樣本空間”策略的頻率有所降低，而“基于數(shù)量或比例關(guān)系”的頻率則相對提高.這仍然與上述高度對等的外表特征有關(guān)，其次還與學(xué)生組合知識的局限有關(guān)，他們?nèi)菀妆弧?個黑球和1個白球”所涉及的4種基本事件所混淆.事實(shí)上，學(xué)生在該題目中“基于模糊的樣本空間”策略的使用頻率確實(shí)達(dá)到了5個題目的最高水平(11.8%)，這說明學(xué)生在列舉所有可能的結(jié)果時傾向于將基本事件中相同的樣本混淆為一種情況.

(3)學(xué)生在Q3中的主導(dǎo)策略是“等可能性偏見”(19.1%)，另外“基于精確的樣本空間”和“基于數(shù)量或比例關(guān)系”策略的使用頻率相當(dāng)(均為16.2%).

(4)學(xué)生在Q4中的主導(dǎo)策略是“等可能性偏見”(25%)、“基于精確的樣本空間”(22.5%)及“基于數(shù)量或比例關(guān)系”(21.1%).學(xué)生在該測試題目中的策略使用出現(xiàn)了高度的競爭關(guān)系和兩極分化：一方面，“等可能性偏見”和“基于精確的樣本空間”的使用頻率依然居高不下，其原因可能與Q2類似——高度對等的外表特征給學(xué)生的上述直覺性策略提供了土壤.另一方面，“基于精確的樣本空間”策略的使用頻率處于5個題目的最高水平，甚至高于Q1.究其原因，題目要求學(xué)生“分別”從盒子里個摸出一個球，這在一定程度上提示了學(xué)生對左右兩個盒子里摸出的球進(jìn)行組合.

(5)學(xué)生在Q5中的主導(dǎo)策略是“基于數(shù)量或比例關(guān)系”(29.4%)，而其他策略的使用頻率則均相對不高，其中“等可能性偏見”的使用頻率更處于5個題目的最低水平.這也容易理解：該題涉及的白球個數(shù)明顯多于其他顏色的球，這大大降低了題目的干擾性，并提高了“基于數(shù)量或比例關(guān)系”策略的有效性.此外，“分步試驗(yàn)法”的使用頻率在該題達(dá)到最高水平，這與題目情境有關(guān)：“分別”從兩個盒子里各摸出1個球?qū)W(xué)生的分步策略起到了一定的暗示作用.然而問題是，學(xué)生在Q4中使用該策略的頻率則很低，這正是因?yàn)槠涓叨葘ΨQ的外表特征誘導(dǎo)了“等可能性偏見”和“基于數(shù)量或比例關(guān)系”策略，而這些策略在與“分步試驗(yàn)法”的競爭中被采納.

(6)不同策略的使用頻率發(fā)展情況也與題目的情境有關(guān).例如，不同年級學(xué)生在“基于精確的樣本空間”策略的使用頻率上的發(fā)展一般都達(dá)到顯著，但是在Q2中卻并非如此，這再一次證實(shí)了學(xué)生在該題中的策略運(yùn)用存在局限，正確策略的使用也容易在競爭中被樸素策略所替代.再例如，不同年級學(xué)生“等可能性偏見”的發(fā)展未達(dá)顯著，其使用頻率一值居高不下，這說明它十分頑固、難以消除.

表3 學(xué)生在不同測試題目中策略的使用頻率及卡方檢驗(yàn)

注：*表示p<0.05，**表示p<0.01；考慮到部分年級在個別策略(“分步試驗(yàn)法”和“局部的分步試驗(yàn)法”)上的使用人數(shù)期望次數(shù)小于5，這不滿足卡方檢驗(yàn)的前提，故沒有對這些策略的使用頻率進(jìn)行卡方檢驗(yàn).

3.3 不同策略間競爭和替代的一般規(guī)律和基本機(jī)制

基于上述討論可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生概率比較的策略一般是按照“個別主導(dǎo)→相互制衡→個別主導(dǎo)”、“策略貧乏→策略豐富→策略優(yōu)化”的方向發(fā)展的.具體而言，可以歸納出如下的一般規(guī)律和基本機(jī)制：

(1)從“不可知論”到“可知論”.古典概率的一個鮮明特點(diǎn)是理論先驗(yàn)性，即在試驗(yàn)前能夠?qū)κ录母怕蔬M(jìn)行理論推演，通過將目標(biāo)事件所包含結(jié)果的個數(shù)與所有可能的結(jié)果個數(shù)作比而計算出來.換言之，盡管最終會出現(xiàn)哪種結(jié)果不得而知，但可以事先在理論上對其進(jìn)行預(yù)判.而學(xué)生往往持一種“不可知論”的觀點(diǎn)，認(rèn)為“事情沒有發(fā)生，不能知曉哪種結(jié)果更可能發(fā)生”、“只有上帝才知道會出現(xiàn)什么”，等等.數(shù)據(jù)表明，九年級學(xué)生較七、八年級學(xué)生在“認(rèn)為概率無法預(yù)測和量化”的使用頻率上有了明顯的降低，而在“基于精確的樣本空間”策略的使用頻率上則達(dá)到了峰值.值得提及的是，盡管“基于模糊的樣本空間”尚不屬于正確的策略，但它至少反映了學(xué)生能夠從樣本空間的角度出發(fā)進(jìn)行概率比較(這也是“可知論”的一種體現(xiàn))，而七～九年級學(xué)生關(guān)于該策略的使用頻率基本是呈現(xiàn)上升發(fā)展的.

(2)從“數(shù)量關(guān)系”的表象到“樣本空間”的實(shí)質(zhì).如前所述，古典概率計算的基本依據(jù)是“目標(biāo)事件的結(jié)果個數(shù)÷所有可能的結(jié)果個數(shù)”.如果將本研究中的題設(shè)改為“摸出1個球”，那么從不同顏色球的數(shù)量或比例的角度去分析是基本合理的.然而對于復(fù)合事件的概率計算而言，其可能的結(jié)果(基本事件)是一個組合的形式，上述的有關(guān)“數(shù)量或比例關(guān)系”的解釋在這種情況下就顯得蒼白無力.數(shù)據(jù)表明，八、九年級學(xué)生較七年級學(xué)生在“基于數(shù)量或比例關(guān)系”的使用頻率上有了明顯的降低.與此同時，“基于精確的樣本空間”策略的使用頻率則明顯提高，“基于模糊的樣本空間”策略的使用頻率也基本上呈現(xiàn)上升趨勢.

(3)從樸素的組合推理到精確的組合推理.從“不可知論”到“可知論”的發(fā)展是學(xué)生概率思維發(fā)展的第一步，從“基于數(shù)量關(guān)系”到“基于樣本空間”則體現(xiàn)了更深層次的發(fā)展.但是就樣本空間的認(rèn)識而言，學(xué)生的發(fā)展也并非一蹴而就的——它與學(xué)生組合知識的發(fā)展有關(guān).數(shù)據(jù)表明，八年級學(xué)生“基于模糊的樣本空間”策略的使用頻率處于三個年級的最低水平，九年級學(xué)生該策略的使用頻率反而較該年級有明顯的提高.但總體而言，“基于精確的樣本空間”策略的使用頻率是逐級提高的，且發(fā)展速度高于“基于模糊的樣本空間”.需要指出的是，學(xué)生的“等可能性偏見”在很大程度上源于其對樣本空間的模糊認(rèn)識：以Q2為例，當(dāng)認(rèn)為所有可能的結(jié)果為“2個白球，2個黑球，1黑1白”這3種情況時，他們則傾向于認(rèn)為“3種結(jié)果的可能性相等”.但數(shù)據(jù)表明，學(xué)生“等可能性偏見”的頻率一直居高不下且處于一個較高的水平，這也反映了學(xué)生組合推理發(fā)展的困難性和局限性.換言之，從“樸素的組合推理”到“精確的組合推理”是學(xué)生概率比較策略發(fā)展的一個大勢，但這個發(fā)展過程是曲折和緩慢的.

4 對概率教學(xué)的啟示

4.1 尊重策略使用的局限性和樸素性，關(guān)注錯誤策略的消除

學(xué)生的策略發(fā)展與其知識發(fā)展、思維水平、生活經(jīng)驗(yàn)等多重因素有關(guān)，他們早期使用的策略不可避免地存在一定的局限性和樸素性.研究表明，即便成人也難免表現(xiàn)出對概率的錯誤直覺和認(rèn)識[6].因此，我們應(yīng)充分尊重學(xué)生的認(rèn)知局限性，在策略的運(yùn)用上不可有過高的要求.盡管如此，我們還應(yīng)致力于通過教學(xué)系統(tǒng)地干預(yù)并糾正他們的錯誤策略.研究表明，盡管策略的發(fā)展是“漸進(jìn)”的，但教學(xué)干預(yù)能夠幫助他們更快擺脫錯誤認(rèn)識而產(chǎn)生“突變”的效果[7].

4.2 把握策略發(fā)展的漸進(jìn)性和競爭性，著力優(yōu)勢策略的培養(yǎng)

如前所述，策略的發(fā)展是一個競爭、替代并逐漸適應(yīng)的漸進(jìn)過程，最終的結(jié)果是優(yōu)勢策略的建立與鞏固.本文中“基于精確的樣本空間”策略是一種優(yōu)勢策略，盡管它的使用頻率基本是持續(xù)上升的，但在此過程中也不可避免地面臨著來自其他策略的競爭，因而其發(fā)展的過程是漸進(jìn)的.例如，七年級時主導(dǎo)策略是“基于數(shù)量或比例關(guān)系”，八年級時的主導(dǎo)策略是“等可能性偏見”，“基于精確的樣本空間”與“基于數(shù)量或比例關(guān)系”策略的使用頻率基本平分秋色，九年級時“基于精確的樣本空間”策略的使用頻率才發(fā)展到頂峰.另外，“基于精確的樣本空間”策略的發(fā)展還受到學(xué)生組合知識的影響，后者的局限不僅限制了其對樣本空間的理解，還是誘導(dǎo)“等可能性偏見”的原因之一.因此，教學(xué)應(yīng)正視學(xué)生優(yōu)勢策略發(fā)展的曲折性和漸進(jìn)性，著力加強(qiáng)學(xué)生對組合知識、樣本空間等概念的理解，讓學(xué)生優(yōu)勢策略的發(fā)展更加順利和穩(wěn)定.