對(duì)Garfunkel-Bankoff不等式的探究

董 林

(山東省高青縣教學(xué)研究室 256300)

1983年，Jack Garfunkel在《Crux Mathematicorum》上提出如下猜想：

命題1在銳角△ABC中，有

①

事實(shí)上，不等式①對(duì)于任意三角形都成立.1984年，Leon Bankoff[1]指出它等價(jià)于O.Kooi于1958年發(fā)現(xiàn)的：[2]

命題2在△ABC中，若s，R，r分別表示其半周長(zhǎng)、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則有

2s2(2R-r)≤R(4R+r)2.

②

上世紀(jì)80年代末，浙江寧波大學(xué)陳計(jì)和王振兩位老師把它介紹到國(guó)內(nèi)，引發(fā)了高度關(guān)注.陳計(jì)、王振、黃漢生、王文正、簡(jiǎn)超、湯茂林等老師給出過(guò)這個(gè)不等式的不同證明方法[3]-[7].

1991年，陶平生老師給出了不等式①的如下等價(jià)形式：[8]

命題3在△ABC中，有

③

2019年，安振平老師給出了Garfunkel-Bankoff不等式的一個(gè)類似：[9]

命題4在△ABC中，R，r分別表示其外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則有

④

考慮到熟知的三角形恒等式

事實(shí)上不等式①和④分別等價(jià)于：

命題5在△ABC中，R，r分別表示其外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則有

⑤

受不等式⑤啟發(fā)，本文給出：

命題6在△ABC中，若s，R，r分別表示其半周長(zhǎng)、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則有

⑥

證明由于有熟知的三角形恒等式

所以，要證明等式⑥，只要證明

⑦

即可.

同理

得

又(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)

=(b+c+a)(c+a-b)(a+b-c)-2a(c+a-b)·(a+b-c)

=(b+c+a)[a2-(b-c)2]-2a[a2-(b-c)2]

=(b+c+a)(a2-b2-c2+2bc)-2a[a2-(b-c)2]

=(b+c+a)(-a2-b2-c2+2bc+2ca+2ab) -2a[a2-(b-c)2]+(b+c+a)(2a2-2ca-2ab)

=(b+c+a)(-a2-b2-c2+2bc+2ca+2ab)+2a[(b+c+a)(a-b-c)-a2+(b-c)2]

=(b+c+a)(-a2-b2-c2+2bc+2ca+2ab) +2a[a2-(b+c)2-a2+(b-c)2]

=(b+c+a)(-a2-b2-c2+2bc+2ca+2ab)-

8abc，則有

所以等式⑦成立，從而等式⑥成立，證畢.

由等式⑥和不等式⑤的左邊立知不等式①等價(jià)于不等式②.

由等式⑥和不等式⑤的右邊知不等式④等價(jià)于

⑧

2017年，郭要紅、劉其右老師給出了[10]

命題7在△ABC中，若s，R，r分別表示其半周長(zhǎng)、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則有

⑨

由等式⑥和不等式⑨可以得到：

命題8在△ABC中，R，r分別表示其外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則有

即可.

?R(4R+r)≤2(2R-r)(R+r)

?0≤(R-2r)r.

由著名的Euler不等式R≥2r知不等式顯然成立，從而不等式成立，亦即不等式強(qiáng)于不等式⑤.

命題9在△ABC中，R，r分別表示其外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則有

2018年，李永利老師給出了：[11]

命題10在△ABC中，若s，R，r分別表示其半周長(zhǎng)、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則有

命題11在△ABC中，R，r分別表示其外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則有

即可.

命題12在△ABC中，R，r分別表示其外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則有

補(bǔ)記《數(shù)學(xué)通報(bào)》2019年第7期數(shù)學(xué)問(wèn)題2439(由賀斌、李至軍老師提供)為：

求證：在△ABC中，有

值得說(shuō)明的是，這個(gè)不等式等價(jià)于著名的Garfunkel-Bankoff不等式.

考慮到熟知的三角形恒等式

我們只要證明

證明由A+B+C=π知