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      關(guān)于三角形的一個不等式鏈

      2020-08-01 01:40:26蘇化明
      數(shù)學(xué)通報 2020年6期
      關(guān)鍵詞:幾何平均正三角形外接圓

      時 軍 蘇化明

      (合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 230009)

      本文給出一個關(guān)于三角形的不等式鏈,即如下的:

      定理設(shè)△ABC的半周長為p,面積為Δ,外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r,則有

      (1)

      其中所有的等號當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時成立.

      首先介紹如下的引理.

      引理的證明由f(x)=ln sinx-lnx,知

      f(x)為上凸函數(shù).

      由g(x)=ln tanx-lnx知

      g″(x)>0.

      (2)

      sin22x-4x2cos 2x>0,

      注: ① 不等式(2)等價于

      (3)

      ② 不等式(2)可加強為[1]

      (4)

      下面進(jìn)行定理的證明:

      由此知

      再由△ABC中的等式

      可得

      (5)

      故由Jensen不等式知

      由此知

      利用△ABC中的等式

      可得

      (6)

      由算術(shù)—幾何平均不等式知

      sinA+sinB+sinC

      利用△ABC中的等式

      再由△ABC中的等式

      (7)

      由此知

      利用△ABC中的等式

      可得

      (8)

      由算術(shù)—幾何平均不等式知

      由此知

      (9)

      由式(5),(6),(7),(8),(9)知不等式(1)成立.由于(5)—(9)中等號均為當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時成立,故(1)中所有的等號當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時成立.

      最后指出,△ABC中有著名的Euler不等式[1]:R≥2r,而不等式(1)對此不等式進(jìn)行了若干隔離或加細(xì).

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