發(fā)現(xiàn)之旅：由正三角形“衍生”出正三角形再探

◎楊 川

(四川新津縣鄧雙學(xué)校，四川 新津 611437)

發(fā)現(xiàn)之旅：由正三角形“衍生”出正三角形再探

◎楊 川

(四川新津縣鄧雙學(xué)校，四川 新津 611437)

在文[1]中探究了由正三角形“衍生”出正三角形的一些情況，現(xiàn)對(duì)原正三角形與“衍生”出的正三角形邊長(zhǎng)、面積之間的聯(lián)系進(jìn)行探究.

正三角形；邊長(zhǎng)；面積

一、命題探究

探究命題1 已知，如圖1，點(diǎn)M，N，P分別在正三角形ABC(邊長(zhǎng)為a)的BC，CA，AB的延長(zhǎng)線上，且BM=CN=AP=b(b>a)，連接NP，PM，MN.

圖1

圖2

證明① 在文[1]中已證△MNP為正三角形.

∵AB=a，BM=AP=b，∠ABC=60°，

∴BP=b-a，∠PBM=120°，

探究命題2 已知，如圖2，點(diǎn)M，N，P分別在正三角形ABC(邊長(zhǎng)為a)的BC，CA，AB的邊上，且BM=CN=AP=b(b

證明① 在文[1]中已證△MNP為正三角形.

∵BC=a，BM=CN=b，∠C=60°，∴CM=a-b，

特別的，當(dāng)點(diǎn)M，N，P為中點(diǎn)時(shí)，即b=0.5a，△MNP的面積為△ABC面積的0.25倍.

圖3-1

證明① 在文[1]中已證∠BQM=60°，△EFQ為正三角形.

∵在△QBM和△CBN中，∠BQM=∠BCN，∠QBM=∠CBN，∴△QBM∽△CBN，

易證△BMQ≌△CNE(ASA)，∴BM=CN，QM=EN，

(1)

∴BN2=a2+b2-2a·bcos60°=a2+b2-ab>0,

(2)

特別的當(dāng)b=0時(shí)，也滿足上述式子，此時(shí)△EFQ即為△ABC.

圖3-2

∵EQ=BN-NQ-BE.

特別的當(dāng)b=a時(shí)，也滿足上述式子，此時(shí)△EFQ即為△ABC.

探究命題4 已知，如圖4，點(diǎn)M,N,P分別在正三角形ABC(邊長(zhǎng)為a)的BC,CA,AB的延長(zhǎng)線上，且BM=CN=AP=b(b>a)，AM,BN交于點(diǎn)Q，BN,CP交于點(diǎn)E，CP,AM交于點(diǎn)F.

圖4

證明① 在文[1]中已證△EFQ為正三角形.由題意可得：BC=a(a>0)，BM=AP=b(b>a)，∠BCN=60°，∴∠PBC=120°，

∴在△CBP中，CP2=BC2+BP2-2BC·BP·cos∠PBC(余弦定理)，

∴CP2=a2+(b-a)2-2a·(b-a)cos120°=a2+b2-ab>0，

易證△BPE≌△CMF(AAS)，∴BP=CM=b-a，EP=FM，易證△BCP∽△FCM，

(3)

(4)

二、結(jié)束語(yǔ)

一題多變，拋磚引玉，希望能開闊學(xué)生的視野，找到解題的靈感，使類似的問題迎刃而解.有紕漏之處，敬請(qǐng)讀者指正.

[1]楊川.發(fā)現(xiàn)之旅：由正三角形“衍生”出正三角形[J].考試與評(píng)價(jià)，2016(8).

[2]程峰.探究與分點(diǎn)有關(guān)的兩個(gè)三角形面積的比值[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2011(23).