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    用冪級數(shù)研究常數(shù)項級數(shù)

    2016-06-01 11:29:54◎聶
    數(shù)學學習與研究 2016年24期
    關鍵詞:散性冪級數(shù)級數(shù)

    ◎聶 濤

    (南京科技職業(yè)學院,江蘇 南京 210048)

    用冪級數(shù)研究常數(shù)項級數(shù)

    ◎聶 濤

    (南京科技職業(yè)學院,江蘇 南京 210048)

    冪級數(shù)是最簡單也是最重要的函數(shù)項級數(shù),它在表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)及進行數(shù)值計算等方面都具有重要作用,同時它在研究常數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)方面也有重要的貢獻.本文通過舉例闡述了如何用冪級數(shù)判斷常數(shù)項級數(shù)的斂散性并進一步求和.

    冪級數(shù);常數(shù)項級數(shù);斂散性;和函數(shù)

    一、用冪級數(shù)判斷數(shù)項級數(shù)的斂散性

    判斷數(shù)項級數(shù)斂散性的方法有很多.有的數(shù)項級數(shù)可以用定義法,即通過求解部分和數(shù)列{Sn}的極限來判斷;有的可以運用數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)來判斷.對于正項級數(shù),又有很多不同的判斷方法,例如比較判別法、比值判別法、積分判別法、對數(shù)判別法、高斯判別法等等.還有交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法.

    對于某些數(shù)項級數(shù),這些方法都無法判斷其斂散性,而通過冪級數(shù)展開式可以將原級數(shù)化成比較容易判斷其斂散性的正項級數(shù)、交錯級數(shù)或任意項級數(shù).下面先給出萊布尼茲定理的推論.

    分析 這是一個交錯級數(shù),無法用萊布尼茲定理判斷其收斂性,數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)也不能用,而將通項取絕對值之后也無法用正項級數(shù)的審斂法判斷,考慮到通項中函數(shù)的特點,可以用冪級數(shù)展開化簡.

    二、用冪級數(shù)求收斂的數(shù)項級數(shù)的和

    一個收斂的數(shù)項級數(shù)的和就等于它的部分和數(shù)列的極限值,而對于部分和不可求或難以求解的數(shù)項級數(shù),可以構造一個冪級數(shù),求出它的和函數(shù),然后求該和函數(shù)在某一點處的函數(shù)值.

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