第三代微積分的研究

◎李子研

(西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)，陜西 西安 710072)

第三代微積分的研究

◎李子研

(西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)，陜西 西安 710072)

第三代微積分是以初等數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，通過對導(dǎo)數(shù)與積分的定義研究，所發(fā)展起來的一代微積分.與前兩代微積分相比第三代微積分所提供的理論通俗易懂，可以大大降低學(xué)習(xí)難度，提升微積分學(xué)習(xí)效果.由此，本文以第三代微積分為研究對象，在簡要分析微積分發(fā)展歷程之后，對甲、乙函數(shù)及其與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行重點(diǎn)探究.

第三代微積分；導(dǎo)數(shù)；初等數(shù)學(xué)；甲乙函數(shù)

在數(shù)學(xué)研究如火如荼的今天，微積分作為數(shù)學(xué)中的一個重要組成部分，其研究也得到了快速的發(fā)展，研究視角越來越新穎獨(dú)特，研究內(nèi)容越來越深入廣泛，研究方法越來越多樣豐富.其中，尤以第三代微積分研究最為繁榮.研究第三代微積分，對推動數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的發(fā)展具有重要理論指導(dǎo)意義.

一、微積分發(fā)展歷程探微

自微積分創(chuàng)建至今，共經(jīng)歷了三個發(fā)展階段.第一階段為初創(chuàng)期，由牛頓和萊布尼茲共同創(chuàng)建出微積分學(xué)，這一階段微積分剛剛建立，在各個方面均尚未成形，不管是理論、方法還是內(nèi)容都極為欠缺，是創(chuàng)建者自身和使用者都說不清楚的微積分.雖然不成體系，所有的一切都說不清楚，但微積分卻就在這樣迷迷糊糊的狀態(tài)下，逐漸發(fā)展起來了，并隨著使用者的不斷增多，隨著微積分的進(jìn)一步發(fā)展而變得越來越蓬勃興旺[1].

微積分發(fā)展進(jìn)入第二階段的重要標(biāo)志是柯西和維爾斯特拉斯極限理論的建立.這一階段，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限定理成為微積分的重要理論支撐，成為微積分基礎(chǔ)得到進(jìn)一步鞏固的重要代表.此時(shí)，微積分已由第一代的說不清變得能夠說清了，但過于復(fù)雜煩瑣的推理推導(dǎo)過程和繁多的定理概念，卻使得微積分給人們留下了復(fù)雜難懂的深刻印象，絕大多數(shù)學(xué)生對于數(shù)學(xué)微積分部分的學(xué)習(xí)都表現(xiàn)得非常吃力，既學(xué)不明白，理解不了，更不會運(yùn)用.

第三代微積分是以初等數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，在相關(guān)專家學(xué)者們對導(dǎo)數(shù)與積分進(jìn)行大量研究基礎(chǔ)上所建立起來的.通過對導(dǎo)數(shù)與積分的研究，學(xué)者們提出了甲函數(shù)與乙函數(shù)的概念，并對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行了研究和分析[2].這一時(shí)期人們對微積分研究的重心開始從理論框架向通俗易懂、簡潔明了方向轉(zhuǎn)移，即人們開始注重微積分知識理論的簡化，以便于學(xué)習(xí)者理解和掌握，確保學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分過程中能夠真正學(xué)得懂.基于上述需求，微積分初等化成為第三代微積分的重要表現(xiàn)形式和研究方式，第三代微積分研究至今取得了一系列研究成果.

二、第三代微積分

(一)導(dǎo)數(shù)

|D(|h|)(F(x+h)-F(x)-f(x)h)|≤N|h|,

則可稱函數(shù)F(x)在該區(qū)間上一致可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為f(x).將一致不等式下的導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行一定的改變，即可得到強(qiáng)可導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的定義.導(dǎo)數(shù)定義所發(fā)生的這一系列改變，在很大程度上歸功于第三代微積分的建立和發(fā)展.正因?yàn)榈谌⒎e分以初等數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，是在導(dǎo)數(shù)研究基礎(chǔ)上所建立起來的，因此第三代微積分的發(fā)展帶動了導(dǎo)數(shù)定義的改革，因而從某種意義上我們可以說導(dǎo)數(shù)定義改革是第三代微積分發(fā)展的一個必然結(jié)果，是第三代微積分研究的一個重要成果.

(二)甲函數(shù)、乙函數(shù)及與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系

甲函數(shù)和乙函數(shù)是導(dǎo)數(shù)與積分研究中提出的一個重要概念，與第三代微積分有著密不可分的聯(lián)系，與導(dǎo)數(shù)有著緊密的聯(lián)系.甲函數(shù)與乙函數(shù)定義如下：設(shè)在區(qū)間T上，函數(shù)F(x)和f(x)都有定義，若該區(qū)間內(nèi)的任意子區(qū)間[m,n]及其上的任意兩點(diǎn)p,q，總有如下不等式成立：

則可稱函數(shù)F(x)是f(x)在區(qū)間T上的甲函數(shù)，而函數(shù)f(x)則是F(x)在區(qū)間T上的乙函數(shù)[3].結(jié)合乙函數(shù)的定義，通過一些例題分析發(fā)現(xiàn)，乙函數(shù)與微積分中的導(dǎo)數(shù)其實(shí)是同一種事物，即乙函數(shù)就是微積分中的導(dǎo)數(shù)，并且這一結(jié)論得到了充分的證明.在該結(jié)論的影響下，隨著研究的持續(xù)不斷進(jìn)行，人們開始思考不用極限理論來推導(dǎo)微積分基本定理，并將其付諸實(shí)踐，進(jìn)一步推動了第三代微積分的發(fā)展.

三、總 結(jié)

第三代微積分可以說是對微積分發(fā)展至一個新的高度的充分體現(xiàn)，它不僅化繁為簡，提出了微積分的初等化，為微積分學(xué)習(xí)難度的降低帶來了生機(jī)，而且從全新的角度對微積分進(jìn)行研究，以初等數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，進(jìn)一步提升了微積分理論的嚴(yán)謹(jǐn)性.因此，加強(qiáng)對第三代微積分的研究具有重要價(jià)值和作用.

[1]張奠宙.努力掌握微積分思想的精髓——“初等數(shù)學(xué)里的微積分”讀后感[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2010(02)：8.

[2]趙艷敏.影視輔助微積分教學(xué)的研究與實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2015(19)：10-11.

[3]肖露.高中微積分概念教學(xué)研究[D].長沙：湖南師范大學(xué),2015.