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    矩陣環(huán)的冪級數(shù)弱McCoy子環(huán)

    2019-04-04 03:51:52王文康
    關(guān)鍵詞:數(shù)域冪級數(shù)約化

    王文康

    (西北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,甘肅 蘭州 730124)

    0 引言

    文獻(xiàn)[2]中的命題1.1指出,當(dāng)n≥2時, 任意約化環(huán)R(沒有非零冪零元的環(huán))上的n×n階矩陣環(huán)Mn(R)不是冪級數(shù)右弱McCoy環(huán).我們給出任意環(huán)R的矩陣環(huán)Mn(R)的兩個冪級數(shù)右McCoy子環(huán)和兩個冪級數(shù)右弱McCoy子環(huán),討論reduced環(huán)與冪級數(shù)右弱McCoy環(huán)之間的關(guān)系.

    用R表示數(shù)域F上的一個環(huán).nil(R)表示環(huán)R中所有的冪零元做成的集合.Mn(R)表示環(huán)R上的n×n矩陣環(huán),R[[x]]表示環(huán)R上的冪級數(shù)多項(xiàng)式環(huán).

    1 主要結(jié)果

    我們將(Dn[k1,k2,…,kn](R))[[x]]與Dn[k1,k2,…,kn]R([[x]])看作是相同的.

    定理1 設(shè)R是一個環(huán),那么Dn[k1,k2,…,kn](R)是冪級數(shù)右McCoy環(huán),從而是冪級數(shù)右弱McCoy環(huán),其中n≥2.

    其中as(i),bs(j)∈R,0≤i,j<∞,1≤s≤n.

    其中0≤i<∞.

    那么Dn[k1,k2,…,kn](R)是冪級數(shù)右 McCoy 環(huán),從而是冪級數(shù)右弱 McCoy 環(huán),其中n≥2.

    推論1 設(shè)R是一個環(huán),那么Dn(R)是冪級數(shù)右McCoy 環(huán),從而是冪級數(shù)右弱 McCoy 環(huán),其中n≥2.

    一個環(huán)R稱為 reduced,如果它沒有非零的冪零元, reduced環(huán)又被稱為約化環(huán). 由文獻(xiàn)[2]的命題1.2可得reduced環(huán)是冪級數(shù)右弱 McCoy 環(huán).下面說明反之則不成立.

    命題1 冪級數(shù)右弱 McCoy 環(huán)不是reduced環(huán).

    證明由推論1,D2(R)是一個冪級數(shù)右弱McCoy環(huán).

    采用與定理1類似的方法可得

    定理2 設(shè)R是一個環(huán),那么DnT[k1,k2,…,kn](R)是冪級數(shù)左 McCoy環(huán),從而是冪級數(shù)左弱 McCoy 環(huán),其中n≥2.

    CBj∈nil(DnT[k1,k2,…,kn](R)),其中0≤i<∞.

    其中as(i),bs(j)∈R,0≤i,j<∞,1≤s≤n.

    其中0≤j<∞.那么DnT[k1,k2,…,kn](R)是冪級數(shù)左McCoy 環(huán),從而是冪級數(shù)左弱 McCoy 環(huán),其中n≥2.

    命題2 冪級數(shù)左弱 McCoy 環(huán)不是reduced環(huán).

    證明由推論2,D2T(R)是一個冪級數(shù)左弱 McCoy 環(huán).

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