推廣加權(quán)型Jensen不等式

關(guān)卻東智 ，索南仁欠,2

(1.青海師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，青海 西寧 810008；2.青海師范大學 研究生院，青海 西寧 810008)

0 引言

凸函數(shù)是數(shù)學中廣泛使用的重要概念之一，例如與幾何測度論，極值問題與凸規(guī)劃的理論，數(shù)學物理方程，邊界結(jié)構(gòu)等都具有密切的聯(lián)系.經(jīng)凸理論研究者發(fā)現(xiàn),在不等式的證明中凸性是常用的工具.而Jensen不等式是關(guān)于描述凸函數(shù)性質(zhì)的不等式，它與凸函數(shù)的定義息息相關(guān)，是凸函數(shù)幾何意義的另一種表達形式.

本文應用構(gòu)造方法刻畫化歸思想，使其在復雜問題等價轉(zhuǎn)化中起到了一定的指導作用.

1 預備知識

1)凸集定義：若f(X)在I?R上有定義，對于x,y∈I和t>0，都存在tx+(1-t)y∈I，則稱I為凸集.

2)凸函數(shù)定義：設(shè)f(X)在非空凸集I上有定義，若?x,y∈I,t>0，有f(tx+(1-t)y)≤tf(x)+(1-t)f(y)，則稱f(X)在I上是凸函數(shù)；不等號相反時為凹函數(shù).

3)p階齊次函數(shù)定義：設(shè)p為正整數(shù)，若對于任意(x1,x2,…，xn)=X∈Rn和λ>0，都有

f(λX)=f(λx1,λx2,…,λxn)=λpf(x1,x2,…,xn)=λpf(X)，

則f(x)為Rn上的p階齊次函數(shù).

4)Taylor定理：若n元函數(shù)f(x)在點(x'1，x'2，…,x'n)的領(lǐng)域U存在n階連續(xù)的偏導數(shù)，則有

同理，可以利用方陣將n元函數(shù)Taylor展開式轉(zhuǎn)化成Hesse矩陣形式：

令X=(x1，x2，…,xn)，X'=(x'1，x'2，…,x'n)，ΔX=(Δx1，Δx2，…，Δxn)T，則有f(X)=f(X')+其中︳X',AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣.

為f(X)點X'處的Hesse矩陣.

5)正定陣判別法：實二次型q(x1，x2，…,xn)=XTAX,X=(x1,x2，…，xn)是正定(半正定)的充分必要條件，是一切主子式(行列下標相同的子式)都大于零.

f(q1x1+q2x2+…+qnxn)≤q1f(x1)+q2f(x2)+…+qnf(xn)，此不等式稱為一元函數(shù)加權(quán)Jensen不等式.

利用Jensen定理證明方法將一元函數(shù)Jensen不等式推廣到多元函數(shù)Jensen不等式.多元函數(shù)Jensen不等式對解決級數(shù)等問題時具有獨特的作用，只要這樣，級數(shù)在等價函數(shù)下是凸的，則可以通過預備知識與下面的引理1、引理2解決，以泛函分析著名Minkouski不等式為例.

2 Jensen不等式推廣與齊次函數(shù)性質(zhì)

引理1 設(shè)n元函數(shù)f(X)在點X'=(x'1，x'2,…,x'n)的U(X')內(nèi)存在二階連續(xù)偏導數(shù)，若H(X)在X'為正定陣時，f(X)在X'處為凸函數(shù).

證明H(X)≥0時由Taylor定理知，令

兩邊同時乘qi有

qif(x1i,x2i，…，xni)≥qif(X')+qif(X')T(x1i-x'1,x2i-x'2，…，xni-x'n)

再取和得

(1.1)

因此，f(X)在(X')處為凸函數(shù).而(1.1)不等式稱為凸函數(shù)Jensen不等式的推廣.

下證g(X)是凸函數(shù)，令q1+q2=1，因f(X)為凸函數(shù)，有

(2.1)

(2.2)

(2.3)

3 Minkouski定理證明

若xi,yi≥0，i=1,2,…,n，當p>1時，有

(3.1)