具有加性噪聲的Boussinesq方程的隨機(jī)吸引子

富 娜，楊 墨

(西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 610031)

0 引 言

設(shè)Ω是R3上帶有光滑邊界Γ的有界區(qū)域,我們考慮帶有可加白噪聲的Boussinesq方程：

(0.1)

其邊界條件

u|Γ=Δu|Γ=0

(0.2)

給定初值條件

u(0)=u0,ut(0)=u1,

(0.3)

其中，隨機(jī)函數(shù)W(t)是定義在概率空間(Ω,F,P)上的一維雙邊維納過程,q(x)描述了一個(gè)可加白噪聲.

假設(shè)(0.1)中非線性函數(shù)f(u)滿足下面的條件

f∈C2(R,R),f(0)=0

(0.4)

|f″(s)|≤C(1+|s|p-2), 2≤p≤5

(0.5)

(0.6)

其中p>0,c>0是給定的常數(shù),λ1是第一特征值.

自1872 年J.Boussinesq[3]推導(dǎo)出描述在淺水中小振幅長波傳播的 Boussinesq方程以來 ,各種類型的Boussinesq方程就成為眾多學(xué)者研究的對象.古典Boussinesq方程可描述為

utt-uxx-αuxxxx=β(u2)xx.

(0.7)

這里u(x,t)為流體自由表面的運(yùn)動(dòng),常數(shù)α>0、β>0依賴于流體的深度和長波的特征速度. 當(dāng)α<0時(shí),方程(0.7)被稱為“好”的Boussinesq 方程.Bona和Sachs[4]研究了“好”的Boussinesq方程的初值問題的局部解的適定性.Sachs[5]研究了方程(0.7) 的初值問題整體解的不存在性.當(dāng)α>0時(shí), 方程(0.7)被稱為“壞”的Boussinesq 方程. 1982年, Deift等[6]將反散射理論應(yīng)用于“壞”的Boussinesq方程的研究, 首次證明在初始函數(shù)呈負(fù)指數(shù)階一致衰減的條件下,下面的Boussinesq方程的初值問題是可解的.

utt-uxx-3uxxxx=-12(u2)xx.

(0.8)

1985年Levine和Sleeman[7]進(jìn)一步指出，在一定條件下,方程(0.8)的初邊值問題不可能存在整體解.1996年陳國旺和楊志堅(jiān)[8]用不同的方法討論了更一般的“壞”的Boussinesq 方程的初邊值問題解的“Blow up”問題.2008年,宋長明等[9]證明了一維情況下具強(qiáng)阻尼“壞”的Boussinesq 方程存在整體光滑解.2008年,楊志堅(jiān)和郭柏靈[10]證明了多維Boussinesq 方程初值問題整體弱解的存在性. Lai等[11]研究了更一般的具阻尼Boussinesq 方程的Cauchy問題的整體適定性,并給出一個(gè)長時(shí)間的漸近解.

整體吸引子是研究具有耗散項(xiàng)非線性發(fā)展方程的長時(shí)間行為的一個(gè)基本概念,現(xiàn)已有很多研究[12-13]. Boussinesq方程的整體吸引子問題受到廣泛關(guān)注[14-17].

2012年,楊志堅(jiān)[18]研究了具阻尼項(xiàng)的Boussinesq方程

utt-Δut+Δ2u-Δf(u)=g(x)

解的長時(shí)間行為,在f(u)非超臨界情況下得到方程對應(yīng)解算子半群整體吸引子及指數(shù)吸引子的存在性. 現(xiàn)在我們有必要給上面的方程增添一個(gè)隨機(jī)部分——加性白噪聲, 來研究隨機(jī)的情形, 它的整體吸引子是否仍然存在?

本文的安排如下:第一部分引言; 第二部分討論了方程(0.1)初邊值問題解的存在惟一性以及方程的解可以確定一個(gè)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng); 第三部分得到方程解的有界性; 第四部分證明隨機(jī)吸引子的存在性.

1 解方程并產(chǎn)生相應(yīng)的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)

為了本文證明方便,將空間L2(Ω)中的內(nèi)積和范數(shù)記為(·，·)0和‖·‖0,并將其定義為

引入內(nèi)積空間E=H×L2(Ω),將空間E中的內(nèi)積和范數(shù)記為(·，·)E和‖·‖E,并將其定義為

其中u=(u1,u2)T,v=(v1，v2)T.

為了證明解的存在性,設(shè)v=ut,則方程(0.1)的初邊值問題與下面的一階發(fā)展方程問題等價(jià)

定義線性算子L∶D(L)?E→E,其中L的定義域?yàn)榧?/p>

令

則方程(1.1)與下面的系統(tǒng)等價(jià)

(1.2)

令?=(u,z)T=(u,ut-qω)T，則通過保測度變換,可得出系統(tǒng)(1.2)的等價(jià)系統(tǒng)

(1.3)

為得到方程(1.2)的解的存在性,下面研究算子L的性質(zhì)：

引理1.1 算子滿足

(i) 對任意的?∈D(L),有(L(?),?)E≥0.

(ii)I+L的值域?yàn)镋,其中I為恒等算子.

(iii)-L的預(yù)解集包含R+=[0，+∞).

對λ≥0以及?=(u,v)T∈D(L),有

因此可知，‖(λI+L)?‖E≥λ‖?‖E，故可驗(yàn)證算子L滿足性質(zhì)(iv).

對于性質(zhì)(ii)可參考文獻(xiàn)[19-21].

定理1.2 假設(shè)(0.4)～(0.6)成立,對任意?0∈E,存在惟一的弱解?∈C0([0，∞);E)滿足

且對任意固定t≥0,映射

S(t)∶?0=(u0,u1)T→?(t)=(u(t),ut(t))T,E→E.

2 吸收集

這一部分將證明半群S(t)在E上存在有界吸收集,為了得到這一結(jié)論,將方程(0.1)的初邊值問題轉(zhuǎn)化為一階方程.

設(shè)

則問題(2.1)等價(jià)于

(2.2)

由方程(2.2)可知,其解可以定義一個(gè)連續(xù)的算子半群

且滿足S(t)=RεSε(t),其中(u,ut)→(u,ut+εu)是E上的一個(gè)同構(gòu),所以Sε(t)是S(t)的一個(gè)同構(gòu).同時(shí)由于(1.2)與(1.3)的等價(jià)關(guān)系,我們只需要研究(1.2)的等價(jià)系統(tǒng)(2.2)的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)Sε(t).

下面介紹一個(gè)輔助引理,它是證明半群的吸引子的存在性的核心工具.

證明在E中

(2.3)

由Green第二公式以及零邊界條件可得

(2.4)

由式(2.3),式(2.4) 可得

因此有

所以上式大于等于0,即引理2.1成立. 證畢.

為得到系統(tǒng)(2.2)的解的有界性,有:

引理2.2 若對E中任意一個(gè)有界集B,都存在一個(gè)緩增的隨機(jī)變量C1(ω)>0和T0(ω)=T0(B,ω)∈B，對t≥T0(w)以及φ(0)∈B有‖Sε(t)φ(0)‖≤C1(ω).

(2.5)

整理可得

利用Green第二公式可得

因此有

由式(0.5)和Holder不等式以及Young不等式可知,

其中K為(0，λ1)之間的常數(shù).

因此有

≤+C1(ε,k)(Φ+O(|g|)+H(|w|))P,

其中O(|g|),H(|W|)是關(guān)于|g|、|W|的正定函數(shù).

令Ψ=Φ+O(|g|)+H(|W|)，則可得

(f′(u)u,u)0≥-k‖

由一般Gronwall公式[12]以及Sobolev嵌入定理有

3 漸近緊性

為了得到系統(tǒng)(0.1)的初邊值問題，在E中存在吸引子,我們下面證明Sε(t)的漸近緊性.換而言之，Sε(t)具有緊的吸收集,因此需要將式(0.1)的初邊值問題的解分為兩部分.

設(shè)u=w+v,其中w,v分別是下面問題的解,則式(0.1)可分解為

和

設(shè)

于是式(3.1)可以轉(zhuǎn)化為下面的方程

(3.3)

引理3.1 對E中的任意有界集B,有

證明對等式(3.3)兩邊與φb在E中作內(nèi)積,有

(3.4)

而

因?yàn)?/p>

所以

(3.5)

于是，由式(3.4)可得

由Gronwall引理可得

證畢.

設(shè)

于是式(3.2)可寫作如下形式

(3.6)

引理3.2 設(shè)B0是空間E中的任意一個(gè)吸收集,存在一個(gè)正常數(shù)C2,使得

其中σ∈(0,1].

證明用Aσφα對式(3.6)兩邊在E中作內(nèi)積,得

(3.7)

用類似于引理2.1的方法計(jì)算可得

于是，有

根據(jù)Cauchy-Schwartz不等式,

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

下面首先說明引理證明過程中用到的Sobolev嵌入定理.

其中v∈[1,2].

本文討論n=3時(shí)的情況.當(dāng)n=3時(shí),有H2(Ω)?L∞(Ω),L4(Ω)?H1(Ω),取v=σ+1,所以有

以及

由Sobolev嵌入定理可得

≤M1.

再利用Gronwall不等式,計(jì)算可得

定理3.3 隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)Sε(t)在E中有一個(gè)緊的隨機(jī)吸引子A,其中A是B0的ω-極限集.

證明由于隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)S(t)與隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)Sε(t)是等價(jià)的,則隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)Sε(t)存在一個(gè)緊的隨機(jī)吸引子Aε.