平面幾何中的向量方法①

王貴軍 魏 爍

(北京市第八十中學 100102)

向量的運算與幾何圖形的性質有著緊密的聯(lián)系，向量的運算可以用圖形簡明地表示，而圖形的一些性質又可以反映到向量的運算上來，因此我們可以建立向量的運算與幾何圖形之間的對應關系，通過向量的運算來研究幾何問題．向量的運算主要包括向量的加(減)法運算、向量的數(shù)乘運算和向量的數(shù)量積運算，其各種運算均包含幾何運算、代數(shù)運算、坐標運算三種形式的運算．

向量作為工具研究幾何問題，開創(chuàng)了研究幾何問題的新方法，在一些期刊上的相關文章和有些教材上相關內(nèi)容多數(shù)使用向量的代數(shù)運算，在解決某些幾何問題時過于復雜，采取的方式和方法過于牽強，與傳統(tǒng)的綜合法解決幾何問題的方法相差甚遠，看不到向量在解決幾何問題時的優(yōu)勢，不利于激發(fā)學生運用向量方法解決幾何問題的積極性，在某種程度上起了誤導的作用，其問題根源在于用向量解決問題時過分強調(diào)向量的代數(shù)運算，而忽視了向量的幾何運算．

運用向量解決幾何問題的基本程序是首先建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題，然后通過向量的運算，研究幾何元素間的關系，如距離、夾角等問題，最后將運算結果“翻譯”成幾何關系．在運用向量方法解決幾何問題時，要突出向量的幾何運算，即“圖形”的運算，或幾何運算與代數(shù)運算結合使用來解釋圖形的幾何性質，這樣才能更好地發(fā)揮向量在解決幾何問題的魅力．

1 垂直問題

圖1

例1如圖1，在△ABC中∠C=90°，CA=CB，D是CB的中點，E為AB邊上一點，AE=2EB．求證：AD⊥CE．

證明因為∠C=90°，CA=CB，

故AD⊥CE．

圖2

例2如圖2，已知正方形ABCD，P為對角線AC上任意一點，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，連接PD，EF．求證PD⊥EF．

證明因為ABCD為正方形，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F,

所以AE=BF，BE=CF，

=AE·EB-CF·BF=0．

故PD⊥EF．

例3如圖3，分別以△ABC的兩邊AC和BC向外作正方形ACDE和正方形BCFG．求證：AF⊥BD．

圖3

證明因為ACDE和BCFG均為正方形，

=0．

故AF⊥BD．

說明線段的垂直問題轉化向量的數(shù)量積為零，在證明過程中通常利用向量加法的三角形法則(首尾銜接法)，將所求向量進行轉化，用向量的運算的結果解釋圖形的幾何特征．

2 平行問題

圖4

證明因為D,E分別為邊AC,BC的中點，

又因為DE,AB不共線，

圖5

證明因為F,G,M,N分別為AB,BC,CD,DE的中點，P,Q分別為FM,GN的中點，

因為AE與PQ不共線，

說明利用向量證明兩個線段平行時，將線段平行問題轉化為對應的向量平行問題，通過向量的運算，尋求這兩個向量的實數(shù)λ倍的關系．在證明過程中要充分利用向量加法或減法的幾何運算的首尾銜接法(回路法)．

3 長度問題

圖6

例6如圖6，已知△ABC中，AB⊥BC，BD⊥AC于點D，求證AB2=AD·AC，CB2=CD·CA，BD2=DA·DC．

證明因為AB⊥BC，BD⊥AC，

=0+AD·CD+AD·DC-AD·DC

=AD·DC．

圖7

例7如圖7，D為Rt△ABC斜邊AB的中點，E,F分別在邊AC,BC上，且DE⊥DF，求證：EF2=AE2+BF2．

證明取EF中點G，連結DG.

因為DE⊥DF，AC⊥BC，

=AE2+BF2．

4 分點問題

圖8

例8如圖8，平行四邊形ABCD，點E,F分別為AD,DC的中點，BE,BF分別與AC交于R,T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR，RT，TC之間的關系嗎？

解直觀猜想知AR=RT=TC．

因為ABCD為平行四邊形，E為AD的中點，

根據(jù)平面向量的基本定理得μ=2，

故點R為AC的三等分點．

同理點T也為AC的三等分點，

故AR=RT=TC．

圖9

例9如圖9，在△ABC中，M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN=2NC，AM與BN相交于點P，求AP∶PM的值．

解因為M是BC的中點，AN=2NC，

于是AP∶PM=4∶1．

5 夾角問題

圖10

例10如圖10，設四邊形ABCD中，AD=BC，M,N分別為AB與CD的中點，連接MN，設AD與MN夾角為∠1,BC與MN夾角為∠2,求證∠1=∠2.

因為AD=BC，

所以cos∠1=cos∠2.

因為∠1,∠2∈(0,π),

所以∠1=∠2．

說明利用向量證明與角有關的問題時，要有意識地建立向量的數(shù)量積的關系式，如在向量等式兩邊同時點乘一個向量，再將向量的數(shù)量積轉化成向量的模與夾角余弦的關系式，這樣可進一步研究角的有關問題．

6 教學建議

在用向量研究平面幾何問題的教學中，首先建立平面幾何的元素與平面向量元素間的聯(lián)系，將平面幾何問題轉化為向量問題，例如，線段的長度轉化為向量的模；線段平行轉化為向量平行；三點共線轉化為向量共線；線段垂直轉化為向量垂直；線段夾角轉化為向量夾角等．然后通過向量的運算解釋向量的幾何關系，再將向量的幾何關系轉化成對應的平面幾何的元素關系．

教學中應當通過實例，引導學生認真體會通過建立向量及其運算與幾何圖形之間的關系，利用向量的代數(shù)運算和幾何運算研究幾何問題的基本思想．在進行向量的運算時可以使用向量的幾何運算也可以使用向量的代數(shù)運算還可以使用向量的坐標運算來解決幾何問題．要著重引導學生使用向量的“形”的運算，即幾何運算來研究幾何問題，從本文例子可以看出向量“形”的運算更直觀，能充分反映向量的本質，可使幾何問題的解答過程十分簡潔，這樣才能激發(fā)學生使用向量的積極性，體現(xiàn)數(shù)學的簡潔美，因此教學中要注意引導學生尋求更美的解題方法，要充分運用向量的首尾銜接法(回路法)及向量的運算的幾何意義來研究平面幾何問題，這樣才能更好地讓學生體驗到向量在解決平面幾何問題的魅力．