內切圓
- 橢圓中兩類三角形的內切圓的性質探究
ΔPF1F2的內切圓圓心為I與ΔPF1F2相切于點D,E,H,PI與x軸交于點M(xM,yM),設點P(x0,y0),點I的坐標為(xI,yI),則有如下性質:2. 橢圓內一類三角形的性質探究如圖2,橢圓C的標準方程為= 1(a＞b＞0),F1,F2分別為橢圓的左右焦點,直線PQ1經過點F1且與橢圓交于P,Q1兩點,ΔPQ1F2的內切圓圓心為I1, 半徑為r1, 直線PQ2經過點F2且與橢圓交于P,Q2兩點, ΔPQ2F1的內切圓圓心為I2, 半徑為r2,
中學數(shù)學研究(廣東) 2023年15期2023-09-16
- 三角形半角正切立方和的幾何不等式的加強
別為△ABC的內切圓半徑、外接圓半徑與半周長,則有為了證明不等式(2)，我們先利用r-s-R法給出幾個關于三角形半角正切的公式.引理1 設r,R,s分別為其內切圓半徑、外接圓半徑與半周長,則有16Rr-5r2≤s2≤4R2+4Rr+3r2(7).其中∑,∏分別表示循環(huán)和與循環(huán)積.公式(4)是熟知的半角正切公式.不等式(7)是Gerretsen不等式，(8)的右邊不等式就是著名的Kooi不等式.
中學數(shù)學研究(江西) 2023年3期2023-03-11
- 縝密思維 嚴謹答題
形形狀；錯解；內切圓；嚴謹性中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（202301-0050-03收稿日期：2022-10-05作者簡介：林國紅（1977-），男，廣東省佛山人，本科，中學高級教師，從事數(shù)學教學研究.數(shù)學的靈活與嚴謹，時刻體現(xiàn)在知識的運用和解決問題中，若輕視數(shù)學的嚴謹性，往往在解決數(shù)學問題時，會導致解答的過程失之嚴密完整，而產生遺漏甚至錯誤的結果.下面以一道判斷三角形形狀的問題為例，說明數(shù)學解答嚴謹?shù)闹匾?
數(shù)理化解題研究·高中版 2023年1期2023-02-09
- Mathematical Reflections 的S357 號問題的加強
外接圓半徑; 內切圓半徑; 高線1 問題提出蒂圖·安德雷斯庫[1]的Mathematical Reflections (2014-2015)中提供了如下幾何不等式:Mathematical Reflections S357問題在任意△ABC的中,BC=a,CA=b,AB=c,ha,hb,hc分別為對應邊上的高,r為△ABC的內切圓半徑, 則有:定理1 在任意△ABC的中,BC=a,CA=b,AB=c,ha,hb,hc分別為對應邊上的高,r為△ABC的內切圓
中學數(shù)學教學 2022年5期2022-11-09
- 美國數(shù)學月刊第12154 號問題的加強與反向不等式
,外接圓半徑與內切圓半徑,則有其中∑ 表示循環(huán)和.本文給出不等式①的加強及反向不等式:定理2設ra、rb、rc、R、r分別是△ABC的頂點A、B、C所對的旁切圓半徑,外接圓半徑與內切圓半徑,則有2 幾個引理為了證明定理2,我們給出一些關于三角形的各種半徑和半周長的恒等式與不等式:引理1設ra、rb、rc、R、r、s分別是△ABC的頂點A、B、C所對的旁切圓半徑,外接圓半徑，內切圓半徑與半周長,則有其中∏f(a,b,c)表示循環(huán)積.證明③～⑥是熟知的結論.令
中學數(shù)學教學 2022年4期2022-08-28
- 對Weitzenbock不等式的一個猜想式的探究
、外接圓半徑、內切圓半徑、半周長與面積分別為a,b,c,R,r,s，△，∑表示循環(huán)求和.文[1]作者已得如下結論：安振平先生在文[2]中提出了四個待證問題，其中待證問題6如下：本文對上述待證問題6進行探討，獲得如下結論：1、當R=2r時，待證問題6顯然成立;綜上所述，有如下結論：1、所有正三角形，待證問題6成立.4、待證問題6轉化為：尋求滿足待證問題6的非正三角形內切圓半徑的最小值.
中學數(shù)學研究(江西) 2022年8期2022-08-09
- 一道習題的四種解法
P是△ABC的內切圓圓心.因為BP平分∠ABC，所以∠1=∠2.又∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，所以∠3=∠4.同理∠5=∠6.所以∠5+∠3=∠6+∠4，在四邊形ADPE中，∠A+∠DPE+∠ADP+∠AEP=360°，所以∠A+∠DPE=360°-90°-90°=180°，所以∠DPE=180°-∠A=180°-40°=140°，又因為∠DPE+∠3+∠4+∠5+∠6=360°，所以∠3+∠4+∠5+∠6=360°-∠DPE=360°-140
數(shù)理天地(初中版) 2022年3期2022-07-24
- 七種方法求解直線方程
程；角平分線；內切圓；正切中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0031-02收稿日期：2022-07-05作者簡介：盧會玉（1981.7-），女，甘肅省天水人，本科，中學高級教師，從事中學數(shù)學教學研究.高考對直線方程的考查也是比較常見，但是一般都是選擇或者填空題.有時用相關的平面幾何的知識解決問題是非常快捷的，有時用適合題目特點的一些方法也是比較合適.本文對一道涉及角平分線的題進行了深入的分析和探究，用七種方法揭
數(shù)理化解題研究·高中版 2022年10期2022-05-30
- 挖掘知識關聯(lián)整合教材設計構建學習生態(tài)鏈
”章節(jié)中三角形內切圓部分的例、習題整合為例進行闡述.一、題例分析，明確題目價值義務教育教科書（人教版）《數(shù)學》九年級（上冊）第二十四章24.2.2直線和圓的位置關系，講解了切線長定理和三角形的內心相關內容.教材用三角形內切圓的圓心定義了三角形的內心，即三角形內切圓圓心是三角形三條角平分線的交點.在教學過程中，教師既要讓學生對照圖形理解三角形內切圓的概念，又要引導他們把三角形的內心和三角形的外心、內切圓和外接圓進行比較，讓學生真正理解“切”和“接”的含義.在
云南教育·中學教師 2022年4期2022-05-29
- 一道三角不等式的探討
，外接圓半徑和內切圓半徑分別為R,r，求證：為了證明不等式②和③，先給出四個引理.引理1[1]在△ABC中，有∑ab=s2+4Rr+r2,∑a2=2(s2-4Rr-r2)，∑a3=2s(s2-6Rr-3r2)，∑a4=2(s2-4Rr-r2)2-8s2r2.利用引理1和abc=4Rrs，可得(2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)=(2s+a)(2s+b)(2s+c)=8s3+4s2(a+b+c)+2s(ab+bc+ca)+abc=16s3+2s(
中學數(shù)學研究(江西) 2022年4期2022-04-11
- 一道預賽題的解法及拓廣
離心率;焦點;內切圓中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）04-0008-051 試題呈現(xiàn)題目1 （2021年5月全國高中數(shù)學聯(lián)賽福建省預賽第8題）已知離心率為62的雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線上一點，R，r分別為△PF1F2的外接圓、內切圓半徑.若∠F1PF2=60°，則Rr=.2 解法探究由于題目1涉及雙曲線焦點三角形的內切圓半徑，比較自然地會想到
數(shù)理化解題研究·高中版 2022年2期2022-03-27
- 三角形內切圓的若干結論在高中數(shù)學的應用
曉波涉及三角形內切圓的題目在高中階段是常見題型之一,該類題目往往能很好的體現(xiàn)了數(shù)學的動態(tài)與對稱美.該類問題往往在解三角形、圓錐曲線、向量等知識點中來考查學生.然而,該類題目往往會讓學生感覺比較頭痛,無從下手.究其原因在于學生對內切圓的相關知識缺乏一個系統(tǒng)的有效的提煉與總結.下面筆者給出三角形內切圓相關的幾個結論及其應用,力求讓讀者在解決此類題目時有清晰的思路和有效的方法.一、等面積二、切線長相等定理三、角度關系四、面積關系五、升華與總結
中學數(shù)學研究(廣東) 2022年1期2022-03-14
- 一道預賽題的解法及拓廣
線焦點三角形的內切圓半徑,比較自然地會想到從面積出發(fā)求解.解法1 設|PF1|=m,|PF2|=n,雙曲線的半焦距為c,則由余弦定理,知4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn.即(m+n)2=4c2+3mn.所以mn=4b2.解法2 根據(jù)對稱性不妨設P(x0,y0)在第一象限,雙曲線的半焦距為c,則在△PF1F2中由正弦定理知圖1解法3 如圖1,根據(jù)對稱性不妨設點P在雙曲線的右支上,△PF1F2的內切圓圓心為I,圓I依次切PF1,PF
數(shù)理化解題研究 2022年4期2022-03-12
- 三角形內切圓的方程的求解策略
探究了求三角形內切圓的方程的求解策略.關鍵詞： 三角形;內切圓;角平分線;方程;策略中圖分類號： G632 ? ? ? 文獻標識碼： A ? ? ? 文章編號： 1008-0333（2021）16-0058-03本文給出求解三角形內切圓方程的四種方法，何時用哪種方法求解速度快？沒有規(guī)律可循，可以說很靈活，但是只要同學們認真領悟并掌握這五種方法，解決三角形內切圓方程的問題就沒有問題了. 參考文獻： [1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開
數(shù)理化解題研究·高中版 2021年6期2021-09-10
- 三角形內切圓的方程的求解策略
的定義和三角形內切圓的定義.由三角形內角平分線的定義知，三角形內角平分線上任意一點到這個角的兩邊的距離相等.由三角形內切圓的定義知，三角形中兩個內角的角平分線的交點是這個三角形內切圓的圓心，內切圓的圓心到三角形的一條邊的距離是這個內切圓的半徑.方法3(等面積法)：不妨取直線l的方程為3x-4y+3=0，不妨設點A在點B的下方.設△BDK的內切圓的半徑為r，則我們知道，若已知一個三角形的三邊的長，都可以用再解1求出其面積，在這里是運用余弦定理求cos∠BKD
數(shù)理化解題研究 2021年16期2021-08-05
- 三角形周長為定值的內切圓半徑最值問題探究*
若求?ABC的內切圓半徑r的最大值.探求結論往往明確解題方向.注意到的對稱性, 猜想A=B時內切圓半徑最大, 此時A=B=C=如圖1所示, 有r=ID=圖1解法1記?ABC的內角A,B,C的對邊為a,b,c,又S?ABC=(a+b+c)r=故所以?ABC的內切圓半徑的最大值為解法2由記?ABC的內切圓I切邊AB,BC,CA于點D,E,F,記AD=DF=x,BD=BE=y,CE=CF=z.圖2如圖2 所示,則x+y+則依題意可知S?ABC=(a+b+c)r=
中學數(shù)學研究(廣東) 2021年3期2021-03-17
- 一個分式型Weitzenbock不等式的九層隔離①
的邊長、面積、內切圓半徑與外接圓半徑，則設a,b,c,S,p分別是△ABC的邊長、面積和半周長，則文[3]給出一個加強不等式：設a,b,c,S,r,R分別是△ABC的邊長、面積、內切圓半徑與外接圓半徑，則文[4]刊出一個拓展不等式：設a,b,c,S,p分別是△ABC的邊長、面積、半周長，pa=p-a，pb=p-b,pc=p-c，則文[5]進一步給出如下加強不等式：≤∑a2-∑(a-b)2定理設a,b,c,S,r,R,p分別是△ABC的邊長、面積、內切圓半徑
數(shù)學通報 2020年8期2020-09-24
- 對Garfunkel-Bankoff不等式的探究
、外接圓半徑和內切圓半徑，則有2s2(2R-r)≤R(4R+r)2.②上世紀80年代末，浙江寧波大學陳計和王振兩位老師把它介紹到國內，引發(fā)了高度關注.陳計、王振、黃漢生、王文正、簡超、湯茂林等老師給出過這個不等式的不同證明方法[3]-[7].1991年，陶平生老師給出了不等式①的如下等價形式：[8]命題3在△ABC中，有③2019年，安振平老師給出了Garfunkel-Bankoff不等式的一個類似：[9]命題4在△ABC中，R，r分別表示其外接圓半徑和內
數(shù)學通報 2020年6期2020-08-01
- 一道平幾題的變式與類比
1,ΔABC的內切圓的圓心為O，BC邊的切點為D，DE為內切圓的直徑，連AE并延長，交BC于F，則BF=DC.文獻[1]中給出了8種詳盡的解法，其中有平幾法、三角法、解析法等等.本文旨在研究它的變式與類比，將其推廣到圓錐曲線中，并用解析法給予證明，與大家分享.變式(第十屆中國香港數(shù)學奧林匹克)設F是ΔABC邊BC上一點，且滿足AB+BF=AC+CF，線段AF與ΔABC的內切圓交于點E,Y，且E距點A更近一些，ΔABC的內切圓與邊BC切于點D.證明：(1)D
中學數(shù)學研究(江西) 2020年3期2020-05-13
- 三角形的內心在圓錐曲線中的應用舉例
求解.評析借助內切圓半徑公式,結合橢圓性質求解,很快得到答案.圖2解析如圖2所示,設△F1PF2的內切圓與該三角形的三邊分別相切于點M,N,K.不妨設F1M=F1K=x,F2M=F2N=z,PK=PN=y.評析借助內切圓與三角形的幾何性質,結合題目條件r+c=a,得到PF1⊥PQ,這是解決本道試題的關鍵.評析本題涉及到重心與內心,準確地掌握好重心和內心的相關性質是解決本道試題的關鍵.圖3評析借助內切圓半徑公式,聯(lián)立直線和橢圓方程求解.評析借助內切圓半徑公式
數(shù)理化解題研究 2020年13期2020-05-07
- 圓周率的一個新公式
過對等邊三角形內切圓進行分割，利用高等數(shù)學的極限思想及一階二次遞歸數(shù)列得到圓周率的一個新的計算公式.新公式相比于已有的圓周率計算公式，不僅在精度上而且在計算時間上都有很大的優(yōu)勢.當循環(huán)次數(shù)不超過20時，可得到小數(shù)點后12位;當循環(huán)次數(shù)等于21時，可得到小數(shù)點后一千萬位.本方法可以作為計算圓周率的一種簡單的、精確度高的方法.【關鍵詞】圓周率;內切圓;極限;一階二次遞歸數(shù)列一、引言圓周率用第十六個希臘字母π表示，是精確計算圓的周長與面積、球的體積等幾何圖形的關
數(shù)學學習與研究 2020年26期2020-03-24
- 三角形內心(內切圓)在橢圓中的應用舉隅
求解.評析借助內切圓半徑公式,結合橢圓性質求解,很快得到答案.圖2解析如圖2所示,設△F1PF2的內切圓與該三角形的三邊分別相切于點M,N,K.不妨設F1M=F1K=x,F2M=F2N=z,PK=PN=y.評析借助內切圓與三角形的幾何性質,結合題目條件r+c=a,得到PF1⊥PQ,這是解決本道試題的關鍵.評析本題涉及到重心與內心,準確地掌握好重心和內心的相關性質是解決本道試題的關鍵.圖3評析借助內切圓半徑公式,聯(lián)立直線和橢圓方程求解.評析借助內切圓半徑公式
數(shù)理化解題研究 2020年4期2020-03-02
- 一道平面幾何試題的探析
三角形的內心;內切圓;線段之比作者簡介：劉道祥（1987-），男，山東東阿人，教育碩士，中學二級教師，研究方向：中學數(shù)學教育教學;王吉利（1990-），男，甘肅莊浪人，本科，中學二級教師，研究方向：中學數(shù)學教育教學.對于求兩條線段之比，初中階段常用的解題方法是：求出兩條線段的長度，然后求得兩條線段之比;或者是通過已知條件，得到一個等式，通過對等式的化簡，從而直接得到兩條線段之比. 本文以一幾何試題為例，探討解決有關三角形內心的線段之比問題.1 試題呈現(xiàn)題目
理科考試研究·初中 2019年10期2019-11-12
- 歐拉不等式的一個加強的改進
外接圓半徑R，內切圓半徑r，則(∑表示循環(huán)和)(1)文[2]將定理1改進為：定理2在三角形ABC中，外接圓半徑R，內切圓半徑r，則(2)我們發(fā)現(xiàn)不等式成立，這是由于故設想將不等式(2)改進為定理3在三角形ABC中，外接圓半徑R，內切圓半徑r，則(3)那么記三角形ABC的內心為I，令AB=AC,BC→0，注12(R+r)≥IA+IB+IC.(4)同理有那么就得出不等式(4)的一個等價結論：(5)注2運用上面證明中的基本數(shù)學事實，可以簡捷地證明一些不等式，如：
數(shù)學通報 2019年9期2019-10-22
- Finsler-Hadwiger型不等式推廣的再研究
、外接圓半徑、內切圓半徑，則(1)事實上，1998年武鋼高三學生李磊應用Kooi不等式[4]證明了不等式(1)[5]，文[6]已收錄不等式(1).本文對不等式(1)進行研討，得到如下不等式：定理3設a,b,c,S,R,r分別是△ABC的邊長、面積、外接圓半徑、內切圓半徑，則(2)2 兩個引理為證明不等式(2)，先給出兩個引理引理1(Blundon不等式)[4]設a,b,c,s,R,r分別是△ABC的邊長、半周長、外接圓半徑、內切圓半徑，則其中等號成立當且僅
數(shù)學通報 2019年7期2019-08-29
- 歐拉不等式一個加強的再改進
、c，外接圓和內切圓半徑分別為R、r，則有著名的歐拉不等式R≥2r.文[1]中建立了如下三角形式的加強.定理1 設R、r分別為△ABC的外接圓和內切圓半徑，則有(Σ表示循環(huán)和)①當且僅當△ABC為正三角形時取等號.定理2 設R、r分別為△ABC的外接圓和內切圓半徑，則有②當且僅當△ABC為正三角形時取等號.r(R-2r)(400R3-2452R2r+4243Rr2-1230r3)≥0③由于R≥2r，且
中學數(shù)學教學 2019年3期2019-06-21
- “ 圓 ”源不斷
O是△ABC的內切圓，切點分別為D、E、F。若BD=6，AD=4，求⊙O的半徑r。圖4【解析】連接OE、OF，可得四邊形OECF是正方形，設OE=OF=CE=CF=r。由切線長定理可得 BD=BE=6，AD=AF=4，則 BC=6+r，AC=4+r，再根據(jù)勾股定理，可得（6+r）2+（4+r）2=102，整理得r2+10r-24=0，解得r=2或-12（不合題意，舍去）?！军c評】本題是教材中的一個習題，圖形的基本框架是直角三角形內切圓，主要考查了切線長定理
初中生世界 2019年19期2019-05-25
- 歐拉不等式一個三角形式的類比
,c，外接圓和內切圓半徑分別為R,r，則有著名的歐拉不等式R≥2r，文[1]建立了歐拉不等式的一個三角形式：定理1設R,r分別為△ABC外接圓和內切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)和)當且僅當△ABC為正三角形時取等號.文[2]給出了歐拉不等式的一個三角形式的類似：定理2設R,r分別為△ABC外接圓和內切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)和)當且僅當△ABC為正三角形時取等號.2 構建新的歐拉三角不等式定理3設R,r分別為△ABC外接圓和內切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)和)當且
數(shù)學通報 2018年12期2019-01-16
- 歐拉不等式的一個加強的改進
外接圓半徑R與內切圓半徑r的著名不等式R≥2r的隔離、加強與推廣研究精彩紛呈.文[1]給出歐拉不等式與邊長間的一個不等式鏈，文[2]建立了歐拉不等式的如下三角形式的加強不等式.定理1設R,r分別為△ABC的外接圓半徑與內切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)和)(1)當且僅當△ABC為正三角形時取等號.文[3]將不等式(1)加強為：定理2設R,r分別為△ABC的外接圓半徑與內切圓半徑，則(2)類比不等式(2)，文[3]得到歐拉不等式的如下三角形式的加強式：定理3設R,
數(shù)學通報 2018年2期2018-07-14
- Finsler-Hadwiger型不等式的再加強
、外接圓半徑和內切圓半徑，則(3)最近，郭要紅、劉其右兩位老師在文[4]中對(3)式右端的不等式進行了加強，得到定理4設a,b,c,△,R,r分別是△ABC的邊長、面積、外接圓半徑和內切圓半徑，則∑a2-∑(a-b)2(4)受文[4]啟發(fā)，筆者對(3)式左端的不等式也進行了加強，得到如下結果：定理5設a,b,c,△,R,r分別是△ABC的邊長、面積、外接圓半徑和內切圓半徑，則∑a2-∑(a-b)2(5)2 兩個引理為證明不等式(5)，先給出兩個引理．引理1
數(shù)學通報 2018年3期2018-07-14
- 初中三角形內切圓的教學應用研究
沈小福三角形內切圓是指與三角形三邊相切的特殊圓.在初中階段幾何知識點的教學實踐中，有關三角形內切圓的教學是一大重點，同時也是難點所在.內切圓與三角形形狀、三邊以及面積等有密切關系，學生必須熟知相關理論，并掌握該知識點的解題方法，從而促進三角形問題求解能力的提高.以下即結合相關教學實例，就初中階段三角形內切圓在教學中的具體應用與方法進行分析.一、三角形內切圓半徑求法在面積法中的應用面積法是初中階段平面幾何計算中非常重要的方法之一.在一些平面幾何題目的求解中，
數(shù)學學習與研究 2017年21期2018-01-15
- 歐拉不等式的一個加強的改進及其類似
,c，外接圓和內切圓半徑分別為R,r，則有不等式R≥2r.上述不等式是數(shù)學家歐拉于1765年建立，該不等式具有簡單而不平凡的特點，關于它的各種加強、隔離和推廣的研究從未間斷過. 文[1]給出歐拉不等式與邊長間的一個不等式鏈，文[2]則建立了歐拉不等式的如下三角形式的加強不等式定理1設R,r分別為△ABC的外接圓和內切圓半徑，則有(Σ表示循環(huán)和)(1)當且僅當△ABC為正三角形時取等號.(2)下面給出式(2)的證明.由于原本到此，對式(1)的探究可以暫告一個
數(shù)學通報 2017年2期2017-12-24
- 三圓兩兩外切的空隙圓
2）△ABC的內切圓與邊BC，CA，AB，分別切于點D，E，F(xiàn)。（3）△ABC的內切圓的半徑R= 。 （2）證明（1）△ABC的三邊長分別為AB=a+b，BC=b+c，CA=c+a，半周長p= （AB+BC+CA）=a+b+c，由三角形面積的海倫公式得= = 。（2）設△ABC的內切圓的圓心為O，⊙O切邊BC，CA，AB于L，M，N.由切線性質得AM=AN，BN=BL，CL=CM，而且AM+BN=AN+BN=a+bBN+CL=BL+CL=b+cCL+AM=
東方教育 2016年23期2017-04-07
- 淺議焦點三角形的內切圓
議焦點三角形的內切圓◇ 北京 岳昌慶如圖1所示,設△ABC內切圓I分別與AB、BC、CA相切于D、E、F,設BC=a,AC=b,BA=c.由初中平面幾何知識可得圖1本文中的焦點三角形指橢圓或雙曲線上一點P與2焦點F1、F2所組成的△PF1F2.1 雙曲線的焦點三角形圖2又|F1O|=c,所以|OE|=a,即E與A2重合.下面4個命題① △PF1F2內切圓的圓心必在直線x=a上;② △PF1F2內切圓的圓心必在直線x=b上;③ △PF1F2內切圓的圓心必在直
高中數(shù)理化 2016年21期2017-01-03
- 一個歐拉不等式加強猜想的證明
Δ ，外接圓和內切圓半徑分別為 R,r ，則有最后提出如下猜想1設 ΔABC 的三邊為 a,b,c ，面積為 Δ ，外接圓和內切圓半徑分別為 R,r ，則有經探討發(fā)現(xiàn)，(3)式成立.f(16Rr-5r2)=400R3r2-1312R2r3+1168Rr4-288r5=16r2(R-2r)(25R2-32Rr+9r2)=16r2(R-2r)[(9(R2+r2)+16R(R-2r)]≥0.當R=8r 時,R-8r=0,f(s2)=1056r2s2>0.當2r≤
中學數(shù)學研究(江西) 2016年6期2016-08-25
- 一道奧數(shù)競賽題的推廣*
方法.關鍵詞：內切圓；導數(shù)；泰勒中值定理(第3屆IMO試題)筆者將這一不等式加以推廣，證明了以下2個優(yōu)美的不等式．定理1在△ABC中，記a，b，c為其邊長，S為其面積，k為任意給定的正整數(shù)，則當且僅當a=b=c時，不等式取到等號．顯然，當k=2時，該不等式即為例1中的不等式．定理2在存在內切圓的凸n邊形中，設a1,a2,…,an為其各邊長，S為其面積，k為任意給定的正整數(shù)，則當且僅當a1=a2=…=an時，不等式取到等號．為了證明上述2個定理，先證明以下3
中學教研(數(shù)學) 2016年7期2016-07-14
- 眾里尋他千百度——對內含兩圓切接三角形存在性的探索
即等邊三角形的內切圓與外接圓是同心圓．筆者在教授了三角形的內切圓的新課后，在課后練習中碰到了一個習題：若△ABC的內切圓和外接圓是2個同心圓，則△ABC一定是()A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．鈍角三角形因為等邊三角形內切圓與外接圓是同心圓，所以根據(jù)直覺答案應選A．由于三角形的內心在三角形的內部，而直角三角形的外心在其斜邊的中點，不可能與三角形內部的內心重合；鈍角三角形的外心在三角形的外部，也不可能與三角形的內心重合；等腰三角形包括等腰直角三
中學教研(數(shù)學) 2015年10期2016-01-06
- 拋物線內切伴隨圓族的方程及性質
一類伴隨圓——內切圓族的方程和性質.在此基礎上，筆者對拋物線y2=2px(p＞0)的內切伴隨圓族的方程與性質進行了進一步的探討，得到了一些結論.1 相關定義1.1 內切圓在拋物線的內部，與拋物線有且只有一個交點的圓，叫做拋物線的內切圓(圖1).1.2 內切圓族與拋物線內切，且具有共性的一族圓稱為拋物線的內切圓族(圖1).2 相切于一點的內切圓族圖1 內切圓與內切圓族圖2 引理1內切圓族引理1［1］設拋物線C的方程為y2=2px(p＞0)，設M(x0，y0)
長春師范大學學報 2015年8期2015-12-29
- “圓”中的實用結論與公式
為42，求它的內切圓的半徑.【解析】如圖6，連接OA，OB，OC，OE，OF，OG（通過這些輔助線，我們可以把原△ABC的面積分成△ABO，△BOC，△AOC三個三角形面積之和）.設△ABC內切圓半徑為r，原△ABC的面積為S，周長為C.答：內切圓半徑為4.【點評】其實這種方法也可以推廣到任意三角形中，我們可以把它當作求一般三角形內切圓半徑的公式，即r=（其中S表示三角形面積，C表示三角形周長，r表示三角形的內切圓半徑）.在求直角三角形內切圓半徑時我們往往
初中生世界·九年級 2015年10期2015-09-10
- 正五邊形的常見繪制方法
的外接圓直徑、內切圓直徑、邊長等不同條件時的正五邊形的繪制方法。關鍵詞：正五邊形；內切圓；外接圓；邊長由于正五邊形具有一定的實用性和趣味性，在高等職業(yè)教育中，常把正五邊形的繪制作為一個教學內容，來訓練學生的幾何圖形繪制能力和綜合制作能力。綜觀各種教材及實際生產中關于正五邊形的繪制，可分為下述三種方法：1 已知正五邊形外接圓直徑來繪制正五邊形已知正五邊形的外接圓直徑，來繪制五邊形，實質上就是要根據(jù)作圖法來求出該正五邊形的邊長，求出邊長后，在已知外接圓周上按該
卷宗 2015年8期2015-08-28
- 歐拉不等式的推廣
外接圓半徑R與內切圓半徑r之間關系的著名不等式：R≥2r，當且僅當△ABC為正三角形時等號成立.由于該不等式具有簡單而不平凡的特點，所以至今仍然在幾何不等式領域里保持著高水平的地位，關于它的各種加強和推廣的研究一直是幾何不等式研究的熱點，筆者在研究三角形內部任意一點到各邊的距離時得到了歐拉不等式的如下推廣.由上述證明過程不難看出，當且僅當△ABC為正三角形并且點P為△ABC的中心時等號成立.特別地，當點P為△ABC的內心時，x=y=z=r（r為△ABC的內
中學數(shù)學雜志(高中版) 2015年3期2015-05-28
- 研究習題 提煉方法
是48，求它的內切圓的半徑.解：設內切圓的圓心為O，半徑為r，與△ABC三邊的切點依次為D、E、F，連 接AO、BO、CO、OD、OE、OF，則OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，OD=OE=OF=r，S△ABC=S△ABO+S△BCO+SACO=AB·r+BC·r+AC·r=r（AB+BC+AC）. ∵△ABC的周長是24，面積是48，∴AB+BC+AC=24，S△ABC=48，∴r×24=48，r=4.一般地，應用上述方法，可以得到結論：已知△ABC的
初中生世界·九年級 2014年10期2014-10-29
- 一道高考壓軸題的平面幾何解法
00875)有內切圓的等腰梯形是中考命題的熱點之一，該知識點在高中階段的應用背景一般認為是圓臺內切球的軸截面．雖然新課標中仍有“旋轉體與多面體的切接問題”的相關要求，但實際上，圓臺內切球已不再作為明確的要求了．本文給出這一知識點在拋物線中的應用．眾所周知，等腰梯形不一定都有內切圓．只有滿足“內切圓的直徑為等腰梯形上、下底邊長的等比中項”這一條件時，等腰梯形才有內切圓．如圖1，在等腰梯形AB1C1D中有內切圓O，但在等腰梯形ABCD中不存在內切圓．圖1圖2如
中學教研(數(shù)學) 2012年9期2012-11-20
- 三角形內切圓的幾個性質及應用
081)三角形內切圓的幾個性質及應用●沈文選(湖南師范大學數(shù)學奧林匹克研究所 湖南長沙 410081)本文將三角形內切圓中的幾個有趣結論作為性質介紹如下.證明過程略.性質2設△ABC內切圓的圓心為I，△IBC的外接圓分別和射線AB，AC交于點D，E，則DE與⊙I相切.圖1 圖2證明顯然D，B，I，E，C五點共圓.對于圖1，有∠IDB=∠ICB,∠IDE=∠ICE.而∠ICB=∠ICE,于是∠IDB=∠IDE.由于AD與⊙I相切，由對稱性知DE也與⊙I相切.
中學教研(數(shù)學) 2011年5期2011-11-21
- 再談三角形內切圓的幾個性質及應用
1)再談三角形內切圓的幾個性質及應用●沈文選 (湖南師范大學數(shù)學奧林匹克研究所 湖南長沙 410081)筆者在文獻［1］中介紹了三角形內切圓的幾個性質及應用，以下是筆者再次給出的幾個性質及應用．性質7設△ABC的內切圓分別切邊BC，CA，AB于點D，E，F(xiàn)，記以A為圓心，AE為半圓的圓為W，直線DE交圓W于點G，點H在圓W上，則GH為圓W的直徑的充要條件是H，F(xiàn)，D三點共線．證明如圖1，注意到△AEG和△CED均為等腰三角形，且底角相等，則知其頂角相等，即
中學教研(數(shù)學) 2011年7期2011-02-02
- sin+sin+sin≥3·的一個隔離及類似
BC的外接圓與內切圓半徑分別為R,r,證明：(1)引理1若△ABC的外接圓與內切圓半徑分別為R,r,則證明設△ABC的3條邊長分別為a,b,c,則由面積公式及正弦定理,可得因此 2RsinB·2RsinC·sinA=(2RsinA+2RsinB+2RsinC)r.于是從而故引理2(Euler不等式)若△ABC的外接圓與內切圓半徑分別為R,r,則R≥2r.R≥2r.下面證明命題1.證明先證式(1)中的第1個不等式.所以同理可得以上3個式子相加化簡即得再利用2
中學教研(數(shù)學) 2010年1期2010-12-01