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    “ 圓 ”源不斷

    2019-05-25 08:55:16吳曉剛
    初中生世界 2019年19期
    關(guān)鍵詞:內(nèi)切圓圓周角直角

    吳曉剛

    在每年的中考數(shù)學(xué)大戲里,圓都是重頭戲。有關(guān)圓的中考試題很多來(lái)源于教材,下面,我們擷取兩例,以幫助同學(xué)們固本清源。

    【原題再現(xiàn)】蘇科版九(上)57頁(yè)例2:

    如圖1,AB是⊙O的直徑,弦CD交AB于點(diǎn)E,∠ACD=60°,∠ADC=50°,求∠CEB的度數(shù)。

    圖1

    【解析】連接DB。AB是⊙O的直徑,根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”,可得∠ADB=90°,再 由 ∠ADC=50°可 得 ∠CDB=40°。 ∠ACD,∠ABD都是︵AD所對(duì)的圓周角,根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角相等”,可得∠ACD=∠ABD=60°,最后利用外角性質(zhì),可得∠CEB=∠ABD+∠EDB=60°+40°=100°。

    【點(diǎn)評(píng)】本題意圖是讓同學(xué)們掌握?qǐng)A周角定理,學(xué)會(huì)通過(guò)構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角來(lái)解決圓中的角度問(wèn)題。一條弦所對(duì)的弧有兩條,本題還可以利用另一個(gè)半圓上的點(diǎn)C,連接BC,構(gòu)造直角∠ACB來(lái)解決。

    變式1 如圖2,AD為△ABC的外接圓⊙O的直徑,若∠BAD=50°,則∠ACB= 。

    圖2

    【解析】連接BD。由AD為△ABC的外接圓⊙O的直徑可得∠ABD=90°,若∠BAD=50°,則∠D=90°-∠BAD=90°-50°=40°,所以∠ACB=∠D=40°。

    【點(diǎn)評(píng)】本題是教材例題的翻版,只是對(duì)圖形結(jié)構(gòu)進(jìn)行了異化,單純考查圓周角的知識(shí),突出了“遇到直徑,構(gòu)造直角”的轉(zhuǎn)化方法。

    變式2 如圖3,AC為⊙O的直徑,點(diǎn)B在圓上,OD⊥AC交⊙O于點(diǎn)D,連接BD,∠BDO=15°,則∠ACB= 。

    圖3

    【解析】連接DC。由OD⊥AC,OD=OC,可得∠ODC=45°,又∠BDO=15°,則∠BDC=30°。根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角相等”,可得∠A=∠BDC=30°。由AC為⊙O的直徑可得∠ABC=90°,并由此求得∠ACB=60°。

    【點(diǎn)評(píng)】本題的突破口是由“OD⊥AC”構(gòu)造出一個(gè)等腰直角三角形。如果連接AD,再利用弧AB轉(zhuǎn)化圓周角,亦可構(gòu)造求解。

    【原題呈現(xiàn)】蘇科版九(上)93頁(yè)第16題:

    如圖4,在△ABC中,∠C=90°,⊙O是△ABC的內(nèi)切圓,切點(diǎn)分別為D、E、F。若BD=6,AD=4,求⊙O的半徑r。

    圖4

    【解析】連接OE、OF,可得四邊形OECF是正方形,設(shè)OE=OF=CE=CF=r。由切線長(zhǎng)定理可得 BD=BE=6,AD=AF=4,則 BC=6+r,AC=4+r,再根據(jù)勾股定理,可得(6+r)2+(4+r)2=102,整理得r2+10r-24=0,解得r=2或-12(不合題意,舍去)。

    【點(diǎn)評(píng)】本題是教材中的一個(gè)習(xí)題,圖形的基本框架是直角三角形內(nèi)切圓,主要考查了切線長(zhǎng)定理。解題的關(guān)鍵是在直角三角形中,以內(nèi)心、直角頂點(diǎn)、兩直角邊的切點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造正方形這個(gè)基本圖形,再運(yùn)用勾股定理、方程思想即可求解。

    變式1 在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=8,CB=6,則△ABC內(nèi)切圓的周長(zhǎng)為 。

    圖5

    【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=8,CB=6,則AB=10。如圖5,連接OE、OF,可得四邊形OECF是正方形。設(shè)OE=OF=CE=CF=r,則AD=AE=8-r,BD=BF=6-r,列方程,得(8-r)+(6-r)=10,解得r=2,則△ABC內(nèi)切圓的周長(zhǎng)為4π。

    【點(diǎn)評(píng)】本題的主體還是直角三角形內(nèi)切圓,圖形結(jié)構(gòu)與教材原題無(wú)異,只是計(jì)算與方程的建立是原題的逆向應(yīng)用。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好的同學(xué)可以直接利用直角三角形內(nèi)切圓半徑公式(S是△ABC的面積,a、b為直角邊,c為斜邊)得到答案。

    變式2 結(jié)果如此巧合!下面是小穎對(duì)一道題目的解。

    題目 如圖6,Rt△ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點(diǎn)D,AD=3,BD=4,求△ABC的面積。

    圖6

    解:設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)E、F,CE的長(zhǎng)為x。

    根據(jù)切線長(zhǎng)定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x。

    根據(jù)勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2。

    整理,得x2+7x=12.=12

    小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是3×4,即△ABC的面積等于AD與BD的積。這僅僅是巧合嗎?

    請(qǐng)你幫她完成下面的探索。

    已知:△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點(diǎn)D,AD=m,BD=n。

    可以一般化嗎?

    (1)若∠C=90°,求證:△ABC的面積等于mn。

    倒過(guò)來(lái)思考呢?

    (2)若AC·BC=2mn,求證:∠C=90°。

    改變一下條件……

    (3)若∠C=60°,用m、n表示△ABC的面積。

    【解析】設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)E、F,CE的長(zhǎng)為x,根據(jù)切線長(zhǎng)定理,得:AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x。

    證明:(1)如圖7,在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理,得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2,整理,得x2+(m+n)x=mn,所以S=AC·BC=(x+m)(x+△ABCn)=x2+(m+n)x+mn]mn+mn)=mn。

    圖7

    證明:(2)由AC·BC=2mn,得(x+m)(x+n)=2mn,整理,得x2+(m+n)x=mn,∴AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=2[x2+(m+n)x]+m2+n2=2mn+m2+n2=(m+n)2=AB2,根據(jù)勾股定理逆定理可得∠C=90°。

    解:(3)如圖8,過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G,在Rt△ACG中,AG=AC·sin60°=x+m),CG=

    在Rt△ABG中,根據(jù)勾股定理可得[3

    2

    (x+m)]2+[(x+n)-x+m)]2=(m+n)2,整理,得

    x2+(m+n)x=3mn,∴S△ABC=BC·AG=×(x+n)·x+m)=x2+(m+n)x+mn]=(3mn+mn)=3mn。

    圖8

    【點(diǎn)評(píng)】本題是南京市中考數(shù)學(xué)的壓軸題,此題是對(duì)教材習(xí)題的深度挖掘。做這道中考題,同學(xué)們更應(yīng)該汲取的是其中的學(xué)習(xí)方法。研究一個(gè)問(wèn)題要從特殊到一般,思考不受局限,運(yùn)用多種角度、逆向思維,會(huì)有很多精彩的發(fā)現(xiàn)。事實(shí)上,本題可以進(jìn)一步推廣到一般三角形中:△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點(diǎn)D,AD=m,BD=n,∠C=α,則S△ABC=,同學(xué)們到了高中可以進(jìn)一步驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論。

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