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    “圓”中的實(shí)用結(jié)論與公式

    2015-09-10 17:41:11薛飛
    初中生世界·九年級(jí) 2015年10期
    關(guān)鍵詞:內(nèi)切圓外接圓圓周角

    薛飛

    圓是最完美的平面圖形,在“對(duì)稱圖形——圓”這一章中我們學(xué)習(xí)了“等”對(duì)“等”定理、垂徑定理、圓周角定理,這些定理能夠幫助我們解決絕大部分問(wèn)題,當(dāng)然這一章中還有一些我們不知道但是非常實(shí)用的結(jié)論及公式.

    1. 圓周角定理的推論:直徑所對(duì)的圓周角是直角.

    如圖1,以BC為直徑的圓上有一點(diǎn)A(異于B,C兩點(diǎn)),那么∠BAC=90°.

    由此猜想:如果點(diǎn)A在圓內(nèi)(或圓外),那么∠BAC的大小又會(huì)怎樣呢?

    ①當(dāng)點(diǎn)A在圓內(nèi)時(shí)(如圖2):

    由此我們可以得出如下結(jié)論:

    如果點(diǎn)A(異于B,C兩點(diǎn))在以BC為直徑的圓上,則∠BAC=90°;

    如果點(diǎn)A(不在線段BC上)在以BC為直徑的圓內(nèi),則∠BAC>90°;

    如果點(diǎn)A(不在直線BC上)在以BC為直徑的圓外,則∠BAC<90°.

    例1 如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中,以A(2,0)為圓心,2為半徑的圓與x軸交于O,C兩點(diǎn),過(guò)O點(diǎn)的直線l與圓交于B(2,2),問(wèn):

    直線l上能否找到點(diǎn)D(m,m)使得∠ODC為鈍角,寫(xiě)出m的取值范圍_____________.

    【解析】根據(jù)上述結(jié)論,要使得∠ODC為鈍角,那么點(diǎn)D必須在圓A內(nèi)部且在直線l上,即D點(diǎn)在O點(diǎn)和B點(diǎn)之間(不包括O,B兩點(diǎn)).所以0

    2. 圓中還有一些實(shí)用的公式

    例2 如圖5,△ABC的周長(zhǎng)為21,面積為42,求它的內(nèi)切圓的半徑.

    【解析】如圖6,連接OA,OB,OC,OE,OF,OG(通過(guò)這些輔助線,我們可以把原△ABC的面積分成△ABO,△BOC,△AOC三個(gè)三角形面積之和).

    設(shè)△ABC內(nèi)切圓半徑為r,原△ABC的面積為S,周長(zhǎng)為C.

    答:內(nèi)切圓半徑為4.

    【點(diǎn)評(píng)】其實(shí)這種方法也可以推廣到任意三角形中,我們可以把它當(dāng)作求一般三角形內(nèi)切圓半徑的公式,即r=(其中S表示三角形面積,C表示三角形周長(zhǎng),r表示三角形的內(nèi)切圓半徑).

    在求直角三角形內(nèi)切圓半徑時(shí)我們往往還會(huì)利用下面的公式.

    例3 如圖7,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,求出Rt△ABC的內(nèi)切圓半徑.

    【解析】連接OE,OF,OG.

    【點(diǎn)評(píng)】這種求內(nèi)切圓半徑的方法我們可以推廣到任意直角三角形.如圖8,在Rt△ABC中,∠C=90°,△ABC的內(nèi)切圓半徑 r=.

    3. 圓不僅僅是問(wèn)題的背景,也經(jīng)常被用來(lái)作為解決問(wèn)題的輔助工具.

    例4 如圖9,四邊形ABCD中,AB∥CD,且AB=AC=AD=5,BC=,求BD的長(zhǎng).

    【解析】因?yàn)轭}中給出了AB=AC=AD,所以以點(diǎn)A為圓心,AB長(zhǎng)為半徑構(gòu)造圓A(如圖10),那么圓A一定經(jīng)過(guò)B,C,D三點(diǎn),延長(zhǎng)BA交圓A于點(diǎn)E,連接ED,易得BC=DE.

    【點(diǎn)評(píng)】這道題看似與圓無(wú)關(guān),但是恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造圓這個(gè)圖形加以輔助,就使得這個(gè)問(wèn)題簡(jiǎn)單化,從而快速地解決問(wèn)題.

    例5 如圖11,已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,求tan∠ACB的值.

    【解析】如圖12在網(wǎng)格中利用三角形外接圓的知識(shí)確定△ABC的外接圓圓心O,由圓周角定理可知,弧AB所對(duì)的圓周角是圓心角的一半,即∠ACB=∠AOB=∠HOB,所以tan∠ACB=.

    【點(diǎn)評(píng)】網(wǎng)格圖中求一個(gè)角的三角函數(shù)值我們有多種方法,可以構(gòu)造直角三角形,也可以用面積法解決,這里我們介紹的是利用三角形外接圓的知識(shí)來(lái)轉(zhuǎn)移要求的∠ACB.

    “對(duì)稱圖形——圓”是初中數(shù)學(xué)重要組成部分,也是我們解決一些問(wèn)題的重要工具.以上我們總結(jié)了圓中一些比較實(shí)用的結(jié)論和三角形內(nèi)切圓半徑的一些公式,同時(shí)我們也認(rèn)識(shí)到了對(duì)待一些看似與圓無(wú)關(guān)的題目,有時(shí)候構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱A加以輔助,往往可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化,從而更快地解決問(wèn)題.

    (作者單位:江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué))

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