歐拉不等式的一個加強(qiáng)的改進(jìn)

劉其右　郭要紅

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計算機(jī)科學(xué)學(xué)院　241003)

近年來，對歐拉關(guān)于三角形的外接圓半徑R與內(nèi)切圓半徑r的著名不等式R≥2r的隔離、加強(qiáng)與推廣研究精彩紛呈.文[1]給出歐拉不等式與邊長間的一個不等式鏈，文[2]建立了歐拉不等式的如下三角形式的加強(qiáng)不等式.

定理1設(shè)R,r分別為△ABC的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑，則有(∑表示循環(huán)和)

(1)

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時取等號.

文[3]將不等式(1)加強(qiáng)為：

定理2設(shè)R,r分別為△ABC的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑，則

(2)

類比不等式(2)，文[3]得到歐拉不等式的如下三角形式的加強(qiáng)式：

定理3設(shè)R,r分別為△ABC的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑，則

(3)

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時取等號.

本文將不等式(3)加強(qiáng)為：

定理4設(shè)R,r分別為△ABC的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑，則

(4)

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時取等號.

證明設(shè)s是△ABC的半周長，

不等式(4)等價于

?3s2(R+5r)2≥49r2(4R+r)2

只需證明

≥49r2(4R+r)2，

?6(2R-r)(R+5r)2≥49Rr(4R+r)

?12R3-82R2r+191Rr2-150r3≥0

?(12R2-58Rr+75r2)(R-2r)≥0，

(5)

由歐拉不等式R≥2r，

(12R2-58Rr+75r2)(R-2r)

所以，(5)式成立，于是，(4)式成立.

與定理2相比較，一個自然的、需要研究的問題是：

問題設(shè)R,r分別為△ABC的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑，使得

成立的λ最大值是多少？