三角形半角正切立方和的幾何不等式的加強

楊標桂

福建師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 (350007)

文[1]收錄了如下關于三角形半角正切立方和的幾何不等式:

本文將利用r-s-R法并結合著名的Gerretsen不等式和Kooi不等式.給出不等式(1)的加強.

定理設r,R,s分別為△ABC的內切圓半徑、外接圓半徑與半周長,則有

為了證明不等式(2)，我們先利用r-s-R法給出幾個關于三角形半角正切的公式.

引理1 設r,R,s分別為其內切圓半徑、外接圓半徑與半周長,則有

16Rr-5r2≤s2≤4R2+4Rr+3r2(7).

其中∑,∏分別表示循環(huán)和與循環(huán)積.

公式(4)是熟知的半角正切公式.

不等式(7)是Gerretsen不等式，(8)的右邊不等式就是著名的Kooi不等式.