明確路徑，有序探究
——以“線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理”教學(xué)為例

楊克林

福建省漳浦第一中學(xué) (363200)

眾所周知，數(shù)學(xué)探究是一種尋求新知的過(guò)程，同時(shí)也一種教學(xué)模式，是一種在教師指導(dǎo)下學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程.數(shù)學(xué)探究教學(xué)在激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、豐富學(xué)生學(xué)習(xí)方式、增強(qiáng)學(xué)習(xí)效果、培養(yǎng)創(chuàng)新人才上具有其他教學(xué)方式不可替代的功能.但當(dāng)前的數(shù)學(xué)探究教學(xué)也存在形式化及無(wú)序性等弊端.例如，探究的問(wèn)題要么過(guò)于簡(jiǎn)單，使得探究過(guò)程流于形式，要么探究的問(wèn)題過(guò)難，學(xué)生無(wú)處探究；在探究過(guò)程中，要么教師過(guò)度干預(yù)，探究成為了教師的“表演”，要么教師指導(dǎo)缺位，學(xué)生盲目探究.若要從根本上解決探究教學(xué)中存在的這些弊端，首先必須要讓學(xué)生明確探究的路徑，從而使得數(shù)學(xué)探究成為一種有序的學(xué)習(xí)活動(dòng).最近，筆者觀(guān)摩了一堂市級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)公開(kāi)課，教學(xué)的課題是“線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理”.本文結(jié)合這堂課的教學(xué)過(guò)程，談?wù)剬?duì)數(shù)學(xué)探究教學(xué)的一點(diǎn)認(rèn)知.

1 探究教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)介

首先，教師讓學(xué)生回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，復(fù)習(xí)線(xiàn)面垂直的判斷定理，然后問(wèn)學(xué)生，類(lèi)比前面的學(xué)習(xí)順序，接下去要學(xué)習(xí)什么？學(xué)生自然想到應(yīng)該學(xué)習(xí)“性質(zhì)定理”，接著教師又問(wèn)，是怎么樣的性質(zhì)定理？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生眾說(shuō)紛紜，有的認(rèn)為應(yīng)該研究線(xiàn)線(xiàn)垂直，有的則認(rèn)為面面垂直.看到回答內(nèi)容有些混亂，教師就直接給出了性質(zhì)定理“同垂直于同一平面的兩條直線(xiàn)平行”.

接下去就是定理的證明環(huán)節(jié)，首先教師讓學(xué)生把用文字語(yǔ)言描述的定理轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言“已知直線(xiàn)a⊥平面α，直線(xiàn)b⊥平面α，則a//b”，然后就讓學(xué)生自主探究證明的過(guò)程.利用線(xiàn)面垂直的判斷定理，就很容易證明這個(gè)定理.最后，就進(jìn)入了性質(zhì)定理的應(yīng)用環(huán)節(jié)，這也是本節(jié)課的重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，一節(jié)課中的三分之二時(shí)間都花在這個(gè)環(huán)節(jié)上.

筆者認(rèn)為，雖然本節(jié)課進(jìn)行了所謂的“探究”教學(xué)，但實(shí)際上探究的過(guò)程只留于表層，或者說(shuō)探究的層次非常的淺.首先，在判斷定理的猜想環(huán)節(jié)，學(xué)生處于一種“盲猜”狀態(tài)，因?yàn)榇蠖鄬W(xué)生根本不知道究竟什么是性質(zhì)，什么是性質(zhì)定理，最后教師只能自己給出定理的內(nèi)容；其次，定理證明環(huán)節(jié)，并不是學(xué)生獨(dú)立的探究發(fā)現(xiàn)過(guò)程，更多的是在教師引導(dǎo)下的一種常規(guī)證明；而且，本節(jié)課也沒(méi)有對(duì)性質(zhì)定理再進(jìn)一步深入的探究，而是把大量的時(shí)間花在學(xué)生習(xí)題訓(xùn)練上.

2 探究教學(xué)路徑要義

數(shù)學(xué)探究目的就是引導(dǎo)學(xué)生以自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)方式,使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生、形成、展開(kāi)和應(yīng)用的過(guò)程,在探究中感受數(shù)學(xué)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué),發(fā)展解決問(wèn)題的策略.倘若沒(méi)有設(shè)計(jì)好探究路徑的指示牌,就會(huì)造成學(xué)生探究方向不明,探究效率低下，從而探究活動(dòng)難以達(dá)到預(yù)期的效果.

對(duì)于數(shù)學(xué)探究，首先應(yīng)該明確開(kāi)展數(shù)學(xué)探究教學(xué)本身的總路徑，即提出問(wèn)題-猜測(cè)結(jié)論-制定方案-驗(yàn)證(證明)結(jié)論-應(yīng)用結(jié)論.這是區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)探究教學(xué)與常規(guī)教學(xué)的標(biāo)志，是確保數(shù)學(xué)探究課具備“探究”意義的關(guān)鍵.在大路徑明確的前提下，還要進(jìn)一步明確針對(duì)不同數(shù)學(xué)對(duì)象如何開(kāi)展探究的基本路徑.比如，數(shù)學(xué)概念構(gòu)建的路徑、推理證明的路徑、數(shù)學(xué)解題的路徑等.數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過(guò)程是按照“背景—概念—性質(zhì)—應(yīng)用”；解題探究的過(guò)程是按照“嘗試—碰撞-優(yōu)化-應(yīng)用”等過(guò)程.再進(jìn)一步細(xì)化，還需要明確研究某一個(gè)知識(shí)模塊的路徑，比如，研究立體幾何的“直觀(guān)感知-操作確認(rèn)-思辨論證-度量計(jì)算”的路徑，研究向量運(yùn)算的“運(yùn)算背景-運(yùn)算規(guī)則-運(yùn)算性質(zhì)-運(yùn)算定律”的路徑，研究解析幾何的“幾何問(wèn)題代數(shù)化，代數(shù)式子坐標(biāo)化”的路徑等.繼續(xù)細(xì)化，還需明確探究某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的路徑，比如，利用“圖像直觀(guān)”來(lái)研究函數(shù)性質(zhì)的路徑、利用“數(shù)形結(jié)合”來(lái)研究函數(shù)零點(diǎn)的路徑、利用“單位圓的對(duì)稱(chēng)性”來(lái)研究三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的路徑.只有對(duì)研究路徑的不斷細(xì)化，數(shù)學(xué)探究的路徑才會(huì)逐步清晰，從而被納入學(xué)生的“已有經(jīng)驗(yàn)”中，真正實(shí)現(xiàn)有序探究的目的.

3 探究教學(xué)改進(jìn)建議

對(duì)于“線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理”探究教學(xué)，其關(guān)鍵是必須明確三個(gè)問(wèn)題.首先，何為性質(zhì)？所謂的性質(zhì)就是線(xiàn)面垂直的一個(gè)必要條件，即已知“直線(xiàn)與平面垂直”能推出什么樣的結(jié)論，但“性質(zhì)”有很多，到底哪個(gè)性質(zhì)才被稱(chēng)為“定理”，要明確探究的第二個(gè)問(wèn)題，也即“何為性質(zhì)定理”.一般地，立體幾何中，性質(zhì)定理的產(chǎn)生一般都基于兩個(gè)方面的需求.一是，解決實(shí)際問(wèn)題的需求，比如，在證明線(xiàn)面平行時(shí)，需要在平面內(nèi)找到一個(gè)直線(xiàn)與平面外的直線(xiàn)平行，但有時(shí)平面內(nèi)的這條直線(xiàn)不好找，怎么辦？這可以從必要性的角度去分析，去找線(xiàn)索，即如果直線(xiàn)已經(jīng)與平面平行了，它會(huì)具備怎樣的性質(zhì)，而這個(gè)性質(zhì)剛好能夠幫助找到所需要的“平面內(nèi)”的直線(xiàn).另一個(gè)需求就是數(shù)學(xué)知識(shí)自我完善的需求，例如，線(xiàn)面平行的判斷定理已經(jīng)解決了從“線(xiàn)線(xiàn)平行”到“線(xiàn)面平行”推理，那么能不能倒推呢？如果能夠倒推，就形成了邏輯推理的“閉環(huán)”.基于這兩個(gè)方面的思考，于是線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理就是“已知直線(xiàn)平行平面，若過(guò)這條直線(xiàn)的平面與已知平面相交，那么這條直線(xiàn)與交線(xiàn)平行”，即從“線(xiàn)面平行”推出了“線(xiàn)線(xiàn)平行”.面面平行的性質(zhì)定理也是按照這樣的邏輯進(jìn)行確定的，即從“面面平行”推出“線(xiàn)線(xiàn)平行”，這就形成了針對(duì)整個(gè)空間平行關(guān)系的推理閉環(huán).

線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理也可以類(lèi)比空間平行關(guān)系的性質(zhì)定理的研究路徑來(lái)確定.因此，首先讓學(xué)生回顧線(xiàn)面平行、面面平行的判斷定理及性質(zhì)定理，在明確兩個(gè)定理的功能，進(jìn)一步猜想線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理應(yīng)該是怎樣的.但線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理與前面的又有差異，因?yàn)楦鶕?jù)線(xiàn)面垂直的定義，實(shí)現(xiàn)了由“線(xiàn)面垂直”到“線(xiàn)線(xiàn)垂直”的推導(dǎo)，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判斷定理，又實(shí)現(xiàn)了由“線(xiàn)線(xiàn)垂直”到“線(xiàn)面垂直”的推導(dǎo)，垂直關(guān)系的推理閉環(huán)問(wèn)題已經(jīng)解決，這就導(dǎo)致線(xiàn)面垂直的判斷定理的確定又陷入了迷茫之中.面對(duì)這個(gè)問(wèn)題，教師不妨讓學(xué)生大膽的猜想：能否建立起空間垂直關(guān)系與平行關(guān)系的聯(lián)系？如果能夠建立起來(lái)，就實(shí)現(xiàn)了平行與垂直關(guān)系的之間推理，這樣的性質(zhì)定理也更具價(jià)值.這樣一來(lái)，線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理的探究路徑明確了，即從“線(xiàn)面垂直”推出“線(xiàn)線(xiàn)平行”.

最后要解決的是第三個(gè)問(wèn)題，即性質(zhì)定理的構(gòu)成要素，即條件是什么，結(jié)論是什么.現(xiàn)在條件很清楚了，即“已知直線(xiàn)與平面垂直”，結(jié)論是“直線(xiàn)與直線(xiàn)平行”，當(dāng)然這個(gè)命題的條件還不夠充分，需要再增加其它條件.那么應(yīng)該增加什么條件？通過(guò)分析空間平行關(guān)系的性質(zhì)定理的構(gòu)成要素，不難發(fā)現(xiàn)，構(gòu)成性質(zhì)定理還需要引入“新的幾何對(duì)象”并賦予“新的位置關(guān)系”.現(xiàn)在的結(jié)論涉及到“直線(xiàn)與直線(xiàn)平行”，因此引入的新的幾何對(duì)象肯定是“直線(xiàn)”，至于“這條新的直線(xiàn)”與已知直線(xiàn)、已知平面的位置關(guān)系可以通過(guò)枚舉的方法進(jìn)行確定.不妨設(shè)已知的直線(xiàn)為a，已知的平面為α，新引入的直線(xiàn)為b.在直線(xiàn)a⊥平面α的前提下，如果b∥α，a∥b成立嗎？如果b?α，a//b成立嗎？如果b⊥α，a∥b成立嗎？這樣性質(zhì)定理就很容易被確定出來(lái)了.按照這樣的思路，如果引入的其它幾何對(duì)象，比如平面，通過(guò)改變其位置關(guān)系，就可以獲得更多的性質(zhì)，然后讓學(xué)生判斷這些性質(zhì)的真假，并進(jìn)行證明或說(shuō)明.這樣一來(lái)，整節(jié)課探究意義就更加明顯了.

總之，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢.數(shù)學(xué)探究的路徑要根據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)進(jìn)行精心預(yù)設(shè),從而在確保探究活動(dòng)自然發(fā)生的同時(shí)，發(fā)展學(xué)生是核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”的跨越.