一個擂臺不等式的探究

廣東省佛山市順德區(qū)樂從中學(528315) 王志國

一、題目呈現(xiàn)

題目(《中學數(shù)學教學》2021年第6 期的“有獎解題擂臺(138))設(shè)a,b,c是正實數(shù),證明或否定

該不等式簡潔且內(nèi)涵豐富,很有新意,值得探究.本文呈現(xiàn)其解法,并作拓展探究,與大家分享.

二、證法探究

這個不等式是成立的,下面給出3 種證法.

證法1先證:

由

綜上可得(?)成立,當且僅當a=b=c時,(?)中等號成立.

證法2先證:

由均值不等式,得

下同證法1.

證法3由均值不等式,得

評注由證法1,可得到一個不等式的隔離:

三、進一步探究

3.1 題目的猜想

利用均值不等式,易得:

由②、③及原題,有如下的:

猜想設(shè)a,b,c是正實數(shù),n∈N+,有

3.2 當n=4 時的探究

當n=4 時,猜想是成立的,即有:

命題1設(shè)a,b,c是正實數(shù),則

先給出一個引理:

引理1若x,y是正實數(shù),則.

引理1 的證明由柯西不等式,有故待證式成立.

下面給出n=4 時不等式的證明.

證明令x=b2,y=c2,由引理1,有b2+c2?bc,即從而有同理可得三式相加得由柯西不等式,有

因為不等式∑a2(a?b)(a?c)≥0 正是四次舒爾(Schur)不等式,所以原不等式得證.當且僅當a=b=c時,等號成立.

由證明過程,易得不等式鏈:

另外,由冪平均不等式,有

可得

同理,

三式相加得

結(jié)合②,④,即得不等式鏈:

3.3 當n ≥5 時的探究

當n≥5 時,猜想是不成立的.

例如取a=b=1,,當n=5 時,則有此時不等式顯然不成立.

事實上,有如下引理:

引理2若a,b>0,則.

對于原不等式

不妨設(shè)0