模4法在清華北大強基計劃(自主招生)數(shù)學試題中的應用

廣州市花都區(qū)秀全中學(510800) 林堃

一、考情分析

數(shù)論題目在清華大學和北京大學的強基計劃中的分量越來越大,2021年和2020年這兩年,北京大學強基計劃數(shù)學試題都考了五道數(shù)論題目,占全部數(shù)學試題的四分之一.在十年前的清華北大自主招生中,數(shù)論題目只是偶爾出現(xiàn),是配角.2020年我國實施強基計劃以來,數(shù)論題目成為了清華北大強基計劃試題的主角.有志于參加清華北大強基計劃招生考試的同學,要加大對數(shù)論的重視程度.筆者研究了近十年來清華大學和北京大學的強基計劃(自主招生)數(shù)論題目,發(fā)現(xiàn)有很多題目可以用“模4”這一方法解決問題.本文對這些題目進行了解答以及分類整理.

二、相關(guān)數(shù)論知識和應用

1.平方數(shù)模4 余0 或1

定理1偶數(shù)的平方除以4 的余數(shù)是0,奇數(shù)的平方除以4 的余數(shù)是1,平方數(shù)除以4 的余數(shù)不可能是2 或3.

證明如果n是奇數(shù),設n=2k+1,k∈Z.則n2=(2k+1)2=4k2+4k+1≡1( mod 4);如果n是偶數(shù),設n=2k,k∈Z.則n2=(2k)2=4k2≡0( mod 4).

例1(2021年北京大學強基計劃)設n≤2021,且n5?5n3+4n+7 是完全平方數(shù),則可能的n的個數(shù)是( )

A.1 B.2 C.3 D.前三個答案都不對

解n5?5n3+4n+7≡ n5?n3+3≡n3(n+1)(n?1)+3( mod 4).如果n是偶數(shù),則n2≡0(mod 4);如果n是奇數(shù),則n+1 和n?1 都是偶數(shù),所以(n+1)(n?1)≡0( mod 4).所以n5?5n3+4n+7≡3(mod 4),由定理1 可知,這是不可能的,所以符合條件的n不存在,選D.

例2[1](2019年北京大學自主招生暨博雅計劃)已知x,y為整數(shù),若(x2+x+1)2+(y2+y+1)2為完全平方數(shù),則數(shù)對(x,y)有( )組.

A.0 B.1 C.無窮多 D.前三個答案都不對

解由于x(x+1)為兩個相鄰整數(shù)的積,其必為偶數(shù),所以x2+x+1=x(x+1)+1 必為奇數(shù),同理y2+y+1 也是奇數(shù).由定理1 可得,(x2+x+1)2+(y2+y+1)2≡1+1≡2( mod 4),由定理1 可知(x2+x+1)2+(y2+y+1)2不是完全平方數(shù),與題意矛盾,所以本題無解,選A.

2.兩個完全平方數(shù)之差模4 不余2

定理2兩個完全平方數(shù)之差模4 不余2.

證明n,k是兩個整數(shù),對n,k的奇偶性進行分類討論,由定理1 可得

所以兩個完全平方數(shù)之差模4 只能余0,1,3,不余2.

例3(2018年清華大學自主招生暨領(lǐng)軍計劃)在2000,2001,··· ,2017 這18 個連續(xù)整數(shù)中,能表示成兩個整數(shù)平方之差的數(shù)的個數(shù)為( ).

A.9 B.10 C.14 D.15

解由定理2 可知,兩個完全平方數(shù)之差模4 不余2.在2000,2001,···,2017 這18 個連續(xù)整數(shù)中,2002,2006,2010,2014 這4 個數(shù)模4 余2,不符合條件,其余14 個數(shù)能表示成兩個整數(shù)平方之差.選C.

3.5 n+1 的標準分解式中素因數(shù)2 的冪數(shù)是1[2]

定理35n+1 的標準分解式中素因數(shù)2 的冪數(shù)是1,其中n是正整數(shù).

證明由下面兩個引理,定理得證.

引理1模4 余2 型整數(shù)的素因數(shù)2 的冪數(shù)是1.

證明4n+2=2(2n+1),由于2n+1 是奇數(shù),里面沒有2,得證.

引理25n+1 是模4 余2 型整數(shù),其中n是正整數(shù).

證明5n+1≡(4+1)n+1≡1+1≡2( mod 4).

例4(2015年北京大學自主招生)已知1020?220是2n的整數(shù)倍,則正整數(shù)n的最大值是( ).

A.21 B.22 C.23 D.前三個答案都不對

解這道題實際上問的是1020?220素因數(shù)2 的冪數(shù).

由定理3 可知,510+1 和55+1 里面素因數(shù)2 的冪數(shù)都是1,54+53+52+51+1 是奇數(shù),它沒有2 這個因數(shù).所以1020?220里面素因子2 的冪數(shù)是22+1+1=24 個.選D.

4.不定方程ax+by=cxy 的解法

由ax+by=cxy可得cxy?ax?by=0,所以原方程可以化為:

這樣就能將x,y分離,把問題轉(zhuǎn)化成ab的分解問題.分解滿足cx?b ≡?b( modc),cy?a ≡?a( modc)即可.

例5(2020年北京大學強基計劃)方程19x+93y=4xy的整數(shù)解的個數(shù)為( ).

A.4 B.8 C.16 D.前三個答案都不對

解由題可知4xy?19x?93y=0.注意到

由于4x?93≡3( mod 4),4y?19≡1( mod 4),3≡3(mod 4),19≡3( mod 4),31≡3(mod 4),所以

共8 種情況,選B.

5.其他用模4 法解答的題目

例6(2015年北京大學自主招生暨博雅計劃)已知n為不超過2015 的正整數(shù),且1n+2n+3n+4n的個位數(shù)字是0,則滿足條件的n有( )個.

A.1511 B.1512 C.1513 D.前三個答案都不對

解①若n ≡0( mod 4),即n=4k,k∈Z.

②若n ≡1( mod 4),即n=4k+1,k∈Z.

③若n ≡2( mod 4),即n=4k+2,k∈Z.

④若n ≡3( mod 4),即n=4k+3,k∈Z.

只有當n ≡0( mod 4)時不符合題意,有個,所以符合題意是有2015?503=1512 個.選B.

另解由于題目是選擇題,對嚴謹性要求不是特別高.我們可以通過列表找規(guī)律的方法得到答案.令Sn=1n+2n+3n+4n,列表如下:

n 1n 的個位數(shù)2n 的個位數(shù)3n 的個位數(shù)4n 的個位數(shù)Sn 的個位數(shù)1 1 2 3 4 0 2 1 4 9 6 0 3 1 8 7 4 0 4 1 6 1 6 4 5 1 2 3 4 0

我們發(fā)現(xiàn)從n=5 開始出現(xiàn)循環(huán),所以1n+2n+3n+4n的個位數(shù)字的周期是4,按照0,0,0,4,0,0,0,4 這樣的規(guī)律出現(xiàn),符合題意的n一共有=1512 個.

例7(2014年清華大學自主招生)已知正整數(shù)a1,a2,a3,a4,a5滿足:任意四個數(shù)之和構(gòu)成集合{44,45,46,47},求a1,a2,a3,a4,a5的值.

解a1,a2,a3,a4,a5任取四個數(shù),一共有C45=5 種情況,這五個和全部加起來等于4(a1+a2+a3+a4+a5),它模4 余0.因為44+45+46+47≡2( mod 4),所以第五個和一定是模4 余2 型整數(shù),只有46 符合條件.所以這五個和分別是44,45,46,46,47.我們有4(a1+a2+a3+a4+a5)=44+45+46+46+47=228,所以a1+a2+a3+a4+a5=57,所以a1,a2,a3,a4,a5,這五個數(shù)分別是57?44=13,57?45=12,57?46=11,57?46=11,57?47=10.

三、反思與建議

作為數(shù)學培優(yōu)教師或者數(shù)學競賽教練,我們在研究和講解數(shù)學競賽和強基計劃(自主招生)中相關(guān)問題的時候,要保持對數(shù)學競賽和強基計劃(自主招生)試題的熱情,勤做題,多思考,多研究.本文就是筆者近期對近十年清華北大強基計劃數(shù)學試題進行重新解答后,進行反思歸類的結(jié)果.

教學中我們也要培養(yǎng)學生對數(shù)學競賽知識的熱愛,激發(fā)他們自主獲取新知識,學習新方法,處理新問題的意愿,以期獲得持續(xù)性的發(fā)展.數(shù)學競賽內(nèi)容的學習從來不是“一日之功”,需要大量時間和精力的付出,更需要不畏難題,鍥而不舍的精神和態(tài)度.[3]