活用“1”之“妙筆”巧繪“齊次”之美
——齊次化在2022年高考試題中的應(yīng)用例析

江蘇省天一中學(xué)(214101) 安愷凱

江蘇省前黃高級中學(xué)(213172) 周大勇

英國著名數(shù)學(xué)家哈代說:“不美的數(shù)學(xué)在世界上是找不到永久容身之地的”,在一個多項式或分式中,各個單項式的次數(shù)都相同的式子通常被稱為齊次式,由于齊次式各項的次數(shù)相同,其結(jié)構(gòu)特征別具簡潔美、對稱美、規(guī)律美,這份美彌漫在2022年高考的多份試卷中和多個模塊內(nèi)容中.但齊次式的美往往被淹沒在形式演繹的海洋里,需要借用“‘1’的代換”這支“妙筆”,才能描繪構(gòu)建出問題中齊次式的美來,從而促使問題化難為易,化繁為簡,達到運用智慧優(yōu)化解題的效果.以下筆者結(jié)合2022年高考中的具體實例,與讀者一起來賞析齊次式的獨特魅力和自然數(shù)“1”的獨具妙用.

1 齊次化在不等式中的應(yīng)用

例1(2022年全國新高考Ⅱ卷第12 題)若x,y滿足x2+y2?xy=1,則( )

A.x+y≤1 B.x+y≥?2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

解析當(dāng)x,y中僅有一個為0 時,x2+y2=1.當(dāng)x,y都不為0 時,

若x,y同號,則從而1

評注注意到C、D 選項中要求一個齊二次整式的取值范圍,而題目條件恰巧給出了另一個值為“1”的齊二次整式,“齊次化”呼之欲出,可分前后兩步實施,第一步先將選項中的齊二次整式除以“1”,再將“1”代換為條件中的齊二次整式,自然構(gòu)建出齊二次分式.第二步在齊二次分式中構(gòu)建出齊次分式以達到符合基本不等式的使用條件,從而實現(xiàn)問題的解決.對于A、B 選項中的齊一次整式,則不能直接除“1”,這也是實施齊次化需要注意的一點,分子分母次數(shù)要一致,故可通過平方先化為齊二次整式,再施以同樣的齊次變換得以圓滿解答.

例2(2022年高考全國甲卷(理科)第23 題)已知a,b,c均為正數(shù),且a2+b2+4c2=3,證明:

(1)a+b+2c≤3;(2)若b=2c,則.

解析(1)由三元柯西不等式,可得(a+b+2c)2≤3[a2+b2+(2c)2]=9,所以a+b+2c≤3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2c=1 時等號成立.

(2)(解法1)由0

當(dāng)且僅當(dāng)a=2c=1 時等號成立.

(解法2)由a2+b2+4c2=3 及b=2c,得a2+8c2=3,即.因為a,c均為正數(shù),所以要證即證即證即證a4+2a3c?18a2c2+16ac3+8c4≥0.因為a4+2a3c?18a2c2+16ac3+8c4=(a2+6ac+2c2)(a?2c)2≥0,所以.

評注本題第一問可用柯西不等式直接證明,柯西不等式作為高考階段中的重要不等式,本身就是齊次不等式,讓人有和諧對稱之感.第二問的解法1 運用“1”來進行不等放縮,巧妙地找到了利用基本不等式的解題途徑.解法2 則運用“1”來進行恒等變形,最后轉(zhuǎn)化為證明一個齊四次整式非負(fù),雖不具運算優(yōu)勢,但也稱得上別具匠心.

2 齊次化在三角函數(shù)中的應(yīng)用

例3(2022年高考浙江卷第13 題)若3 sinα?sinβ=,則sinα=____,cos 2β=____.

解析(解法1)因為,所以

平方得9sin2α?6 sinαcosα+cos2α=10=10(sin2α+cos2α),整理得(sinα+3 cosα)2=0,即

(解法2)由解法1 中的②式可得tanα=?3,從而.所以

評注解法1 通過對條件中的數(shù)式平方后,由“1 的代換”化得齊二次完全平方式,其本源是同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式:1=sin2α+cos2α.解法2 則在解法1 的基礎(chǔ)上,運用三角恒等變形中的重要變形技巧——弦切互化,實現(xiàn)三角函數(shù)名的“減名增效”,其本源是同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系式:,其本身亦是齊次化思想的體現(xiàn).同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式與商數(shù)關(guān)系式可以說是三角函數(shù)問題中齊次化實施的獨有“妙筆”,但在其它模塊內(nèi)容的問題中,若題目條件中出現(xiàn)數(shù)式平方和恒為1的形式,亦可考慮引入三角函數(shù),進行三角換元,使得三角函數(shù)中的齊次化關(guān)系式亦能在其它模塊內(nèi)容的問題中“妙筆生花”,以下便是一個具體實例.

3 齊次化在解析幾何中的應(yīng)用

例4(2022年上海春季高考卷第20 題)已知橢圓Γ:A、B兩點分別為Γ 的左頂點、下頂點,C、D兩點均在直線l:x=a上,且C在第一象限.

(1)略;(2)略;

(3)設(shè)直線BC、AD分別交橢圓Γ 于點P、Q,若P、Q關(guān)于原點對稱,求|CD|的最小值.

解析根據(jù)橢圓方程,可設(shè)P(acosθ,sinθ),Q(?acosθ,?sinθ),且可知點P在第一象限,即.因為A(?a,0),B(0,?1),所以直線BP的方程為y=,直線AQ的方程為從而可得所以

評注本題解析中一共先后實施了四次齊次變換,一為結(jié)合橢圓方程平方和為1 的結(jié)構(gòu)特征,自然地聯(lián)想到引入三角元素,把解析幾何問題合理轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的三角函數(shù)問題:二為在轉(zhuǎn)化后的三角函數(shù)表達式中,利用二倍角公式,將非齊次分式轉(zhuǎn)化為齊二次分式:三為對轉(zhuǎn)化后的齊二次分式化弦為切,轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù):四為根據(jù)單變量函數(shù)中兩個分式的分母和為1 的特征,巧乘“1”配湊出基本不等式從而求得最值.齊次化在本題中的精彩演繹可謂四美其美,美美與共.

例5(2022年全國新高考Ⅰ卷第21 題)已知點A(2,1)在雙曲線C:上,直線l交C于P,Q兩點,直線AP,AQ的斜率之和為0.

(1)求l的斜率;(2)略.

解析因為直線l不過點A(2,1),所以可設(shè)直線l的方程為

易得a2=2,雙曲線C的方程可等價為

由①②得

即

③式兩邊同除以(x?2)2,得

評注本題屬于解析幾何中典型的動直線定向問題,通過齊次化法解答有兩個關(guān)鍵:一是根據(jù)直線l的設(shè)定,不過點(x0,y0),可設(shè)直線方程為m(x?x0)+n(y?y0)=1;二是將曲線方程變形為關(guān)于x?x0,y?y0的形式,然后巧妙地借助所設(shè)直線方程實施齊次化,把兩直線斜率之和問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率的二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解.這種解法通過重構(gòu)曲線方程和巧設(shè)直線方程,進一步整合了代數(shù)與幾何的關(guān)系,“齊次化”為簡化運算找到了出路.

4 齊次化在函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

例6(2022年高考全國甲卷(理科)第21 題)已知函數(shù).

(1)若f(x)≥0,求a的取值范圍;

(2)證明:若f(x)有兩個零點x1,x2,則x1x2<1.

解析(1)a≤e+1,過程從略.

(2)由(1)可知,若f(x)有兩個零點,則a >e+1,且兩個零點在極小值點x=1 兩側(cè),不妨設(shè)0

評注本題以重要不等式——對數(shù)平均不等式為背景,考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的綜合運用.首先由同構(gòu)思想通過重構(gòu)函數(shù),化簡求得“1”恰為x1與x2這兩個變量的對數(shù)均值.其次證明對數(shù)均值不等式的關(guān)鍵是將成立,從而原不等式化為,右邊是一個齊一次分式,再通過化為用表示的不等式后,要構(gòu)造的輔助函數(shù)便顯露無疑.值得注意的是,在近幾年的各類考試中,以對數(shù)平均不等式為背景的試題屢見不鮮,且?？汲Ｐ?以下便又是一例.

例7(2022年全國新高考Ⅱ卷第22 題)已知函數(shù)f(x)=xeax?ex.

(1)略;(2)略;(3)設(shè)n∈N?,證明:

解析同例6 解析,先可證得不等式

(其中n∈N?),即.再用替換k,可得所以

評注本題通過巧添“1”轉(zhuǎn)化視角,將原根式轉(zhuǎn)化為幾何均值,再利用對數(shù)均值不等式得到放縮所需的不等式,整個不等式鏈的放縮過程顯得恰如其分,絲絲入扣,令人回味無窮.

對于2022年高考的幾份試卷,多種渠道都反饋出學(xué)生具有普遍的不適應(yīng)性.隨著新課改的逐漸深入與成熟,高考試題呈現(xiàn)出“形式設(shè)計新”和“思維含量高”的典型特征,尤其注重對學(xué)生思維靈活性與創(chuàng)新性的考查,即考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想,具體體現(xiàn)便是學(xué)生合理變化問題的能力.一般來說,解題始于對題目所給條件的利用與變換,有效的變換是解題成功的關(guān)鍵.因而,教學(xué)生合理地變換條件是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的重要任務(wù).通常來說,對一個條件進行變換的方法多種多樣,變得恰當(dāng)能使問題迎刃而解,變得不當(dāng)則會使解題陷入“無從入手應(yīng)對”的“窘境”,或掉入“粗暴粗淺運算”的“困境”,而“齊次化”是轉(zhuǎn)化與化歸思想的一種具體實踐,是合理變化問題的一種特征方式,只要教師在平時教學(xué)中具有引導(dǎo)學(xué)生感悟齊次之美的意識與觀念,教學(xué)中的高質(zhì)量思維活動就可能隨時隨地發(fā)生,學(xué)生合理變換問題的能力便會有顯著提升,從而更好適應(yīng)新高考帶來的變化.