安振平老師的博客中兩個(gè)不等式證明

陜西省綏德縣綏德中學(xué) (718000) 王 煒

問題4737 已知x、y、z≥0，xy+yz+zx=1，求證：2(x2+y2+z2)+5xyz+6≥5(x+y+z).

證法一:設(shè)s=x+y+z,p=xyz,∑x2=(∑x)2-2∑xy=s2-2,只需證明：2(s2-2)+5p+6≥5s等價(jià)于5p≥-2s2+5s-2(1).

綜上所述，原不等式成立.

綜上所述，原不等式成立.

證法三:記s=x+y+z,p=xyz,∑x2=(∑x)2-2∑xy=s2-2,只需證明:2(s2-2)+5p+6≥5s?5p≥-2s2+5s-2?5p+(s-2)(2s-1)≥0(2).

當(dāng)s≥2時(shí)，(2)成立.

問題4738 已知x、y、z≥0，xy+yz+zx+xyz=1，求證：2(x2+y2+z2)+2xyz+6≥5(x+y+z).

綜上所述，原不等式成立.

綜上所述，原不等式成立.

證法三:設(shè)s=x+y+z,p=xyz,∑x2=(∑x)2-2∑xy=s2-2(1-xyz),只需證明

2[s2-2(1-xyz)]+2xyz+6≥5s?6xyz≥-2s2+5s-2?6xyz+(s-2)(2s-1)≥0(2).

當(dāng)s≥2時(shí)，(2)成立.