一個不等式的推廣

重慶三峽學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 (404000) 陳曉春

這個不等式結(jié)構(gòu)對稱，因此值得關(guān)注，本文將對(1)作一探討.

1.不等式(1)的證明

2.不等式(1)的類似不等式

將分子疊加有

如將分母的項擴充有

如將不等式(1)的分母添加系數(shù)或擴充有：

不等式7 已知a,b,c>0滿足a+b+c=S，l,m,n是不全為零的非負實數(shù)，則

不等式8 已知a,b,c>0滿足a+b+c=S，l,m,n是不全為零的非負實數(shù)，則

將分子疊加，例如

3.不等式(1)的推廣

同不等式(1)的證明一樣，利用柯西不等式和冪平均不等式可以將(1)的元素個數(shù)和分子的次數(shù)推廣：

再由柯西不等式有

特別地,當n=3時,

同前面的討論一樣，如果對不等式(2)和(3)的分母進行擴充或變式，還可以得到許多新的不等式，在此不再贅述，有興趣的讀者不妨一試.