構(gòu)造可導(dǎo)解析函數(shù)常見類型例析*

甘肅省蘭州市第四十五中學(xué) (730070) 宋 波甘肅省蘭州市第六十九中學(xué) (730094) 魏國斌

近年來，高考數(shù)學(xué)試題和模擬題的客觀性試題中常出現(xiàn)構(gòu)造可導(dǎo)解析函數(shù)的問題，它旨在考察學(xué)生熟練掌握函數(shù)的求導(dǎo)公式和法則的基礎(chǔ)上，通過逆向思維構(gòu)造可導(dǎo)解析函數(shù)的能力，這類試題因思維含量高，綜合性強，難度大，故不易求解，已逐漸成為高考客觀性試題中的熱點和難題.要解決這類問題，需要熟練掌握一些特殊解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即能通過求導(dǎo)公式和法則構(gòu)造這些特殊導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)，從而使問題迎刃而解.下面例析構(gòu)造可導(dǎo)解析函數(shù)的四種常見類型，供大家參考.

類型一 若f′(x)=ex，則構(gòu)造f(x)=ex+C(C為常數(shù)).

例1 函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)滿足xf′(x)+f(x)=ex，且f(1)=e，則函數(shù)f(x)的極值情況正確的是( ).

(A)有極大值，無極小值

(B)有極小值，無極大值

(C)既有極大值又有極小值

(D)既無極大值又無極小值

類型二：若f′(x)=xex，則構(gòu)造f(x)=(x-1)ex+C(C為常數(shù)).

例2 若函數(shù)f(x)滿足xf′(x)-f(x)=x3ex，且f(1)=0，則當x>0時，f(x)( ).

(A)有極大值，無極小值

(B)有極小值，無極大值

(C)既有極大值又有極小值

(D)既無極大值又無極小值

類型三 若f′(x)=lnx，則構(gòu)造f(x)=xlnx-x+C(C為常數(shù)).

(A)有極大值無極小值

(B)有極小值無極大值

(C)既有極大值又有極小值

(D)既無極大值也無極小值

簡單的正向應(yīng)用求導(dǎo)運算法則僅僅考查了學(xué)生對法則的掌握，而在此基礎(chǔ)上構(gòu)造可導(dǎo)解析函數(shù)，則更能檢閱學(xué)生對求導(dǎo)運算的全方位把握，更能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維的雙向變通.正因為如此，考查構(gòu)造可導(dǎo)解析函數(shù)應(yīng)用的試題倍受命題者的青睞，意在考查學(xué)生熟練掌握求導(dǎo)法則應(yīng)用的能力和靈活、變通應(yīng)用的能力.