一道抽象函數(shù)題的解法思考與改編*

福建省泉州市第七中學(xué)(362000) 黃永生 林志敏 楊 丹

1.試題呈現(xiàn)

(A)有極大值，無(wú)極小值

(B)有極小值，無(wú)極大值

(C)既有極大值又有極小值

(D)既無(wú)極大值也無(wú)極小值

2.思路分析與解答

3.解法思考

(1)根據(jù)求導(dǎo)法則，對(duì)已知條件作變形，構(gòu)造一個(gè)與原函數(shù)f(x)相關(guān)的g(x)；

(2)根據(jù)構(gòu)造的g(x)，對(duì)已知條件作變形，構(gòu)造一個(gè)與導(dǎo)函數(shù)f′(x)相關(guān)的h(x)；

(3)對(duì)含有g(shù)(x)和h(x)的等式兩邊求導(dǎo)，通過(guò)研究h(x)的最值，判定f′(x)的符號(hào).

4.試題改編

(A)有極大值，無(wú)極小值

(B)有極小值，無(wú)極大值

(C)既有極大值也有極小值

(D)既無(wú)極大值也無(wú)極小值

改編2 定義在(0,+∞)的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f′(x)，且滿足f′(x)-f(x)=e2xlnx，f(1)=0，則f(x)( ).

(A)單調(diào)遞增 (B)單調(diào)遞減

(C)最大值為0 (D)最小值為0

(A)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減

(B)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增

(C)f(x)在(0,+∞)上有極大值

(D)f(x)在(0,+∞)上有極小值

解答：在x2f′(x)+xf(x)=lnx中令x=e，得到f′(e)=0.

解答：由改編3解答可知f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減，不等式f(x+1)-f(e+1)>x-e等價(jià)于f(x+1)-(x+1)>f(e+1)-(e+1).令g(x)=f(x)-x，則g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減.不等式g(x+1)>g(e+1)等價(jià)于0